20.4 解直角三角形 同步练习

第二十章解直角三角形二解直角三角形20.4解直角三角形基础过关全练知识点1解直角三角形1.(2023江苏太仓一中月考)在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边AC的长是()A.m·sin35° B.mcos35° C.msin35° D.m2.(2022陕西中考)如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6，tanC=2，则边AB的长为()A.32 B.35 C.37 D.623.如图所示的是某航母的示意图，已知该航母长BD约为306m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC的长，经测量，∠BAC=71.6°，∠EAC=80.6°，则舰岛AC的长是多少?(结果精确到1m，参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04)4.(2023北京顺义期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2，请你添加一个条件：，设计一道解直角三角形的题目(不用计算器计算)，并画出图形，解这个直角三角形.

5.如图，线段BC长为13，以C为顶点，射线CB为一边的∠α满足cosα=513.锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sinA=45.求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边知识点2解非直角三角形6.(2021广西玉林中考)如图，△ABC的底边BC上的高为h1，△PQR的底边QR上的高为h2，则有()A.h1=h2 B.h1<h2 C.h1>h2 D.以上都有可能7.(2023山东淄博张店期中)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，BC=66，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为()A.66 B.12 C.63 D.68.(2023河北邯郸永年期中)如图，在△ABC中，BC=3+1，∠B=45°，∠C=30°，则△ABC的面积为()A.3+12 B.32+1 C.3−19.(2023山东莱阳期中)如图所示的衣架可近似看成一个等腰三角形，若AB=AC=18cm，∠ABC=27°，则衣架宽BC约为cm.(结果保留整数，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)

10.(2023上海杨浦期末)如图，已知tanO=43，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，如果MN=2，那么PM=11.在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素(其中至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素，对于任意三角形，我们需要知道几个元素才可以求出其余的未知元素呢?思考并解答下列问题：(1)观察图1～图4，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的是；

(2)如图5，在△ABC中，已知∠A=37°，AB=12，AC=10，能否求出BC的长度?如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)能力提升全练12.(2022四川乐山中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD.若tan∠A=12，tan∠ABD=13，则A.25 B.3 C.5 D.213.(2022四川泸州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43.若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线lA.y=3x B.y=-34x+152 C.y=-2x+11 D.y=-214.(2022黑龙江齐齐哈尔中考)在△ABC中，AB=36，AC=6，∠B=45°，则BC=.

15.(2023北京石景山期末)如图，在△ABC中，∠C=60°，tanB=34，BC=10，求AC的长16.(2021北京十二中期中)一副直角三角板按如图所示的方式放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.素养探究全练17.(2023江苏苏州工业园区星海实验中学月考)我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角，如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且BCAC=223，求∠

第二十章解直角三角形二解直角三角形20.4解直角三角形答案全解全析基础过关全练1.D由题意知∠C=90°，∵∠A=35°，∴AC=m·cos35°，故选D.2.D∵2CD=6，∴CD=3，∵tanC=ADCD=2，∴AD=2CD=6在Rt△ABD中，AB=AD2+BD3.答案38解析如图，过E作EH⊥AC于H，则四边形EHCD是矩形.∴DE=CH=6m，CD=EH.设舰岛AC的长为xm，则CD=EH=AH·tan80.6°≈6.04(x-6)m，BC=AC·tan71.6°≈3.01xm，∵BD≈306m，∴3.01x+6.04(x-6)≈306，解得x≈38.故舰岛AC的长约为38m.4.解析答案不唯一，如添加条件：BC=1，如图：∵∠C=90°，AB=2，BC=1，∴AC=AB2−BC2=22−12∴∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，∴AC=3，∠A=30°，∠B=60°.5.解析如图，作BD⊥l于点D，在Rt△CBD中，∠CDB=90°，BC=13，∴cosC=cosα=CDBC=513，∴CD=BC·cosC=13×5∴BD=BC2在Rt△ABD中，BD=12，sin∠BAD=BDAB=4∴AB=BDsin∠BAD=15，∴AD=A作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB.6.A如图，分别作出△ABC的底边BC上的高AD，即h1，△PQR的底边QR上的高PE，即h2，在Rt△ADC中，h1=AD=5×sin55°，在Rt△PER中，h2=PE=5×sin55°，∴h1=h2，故选A.7.B如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△BCE中，∠B=45°，BC=66，∴CE=BC·sin45°=66×22=63在Rt△ACE中，∠BAC=60°，∴AC=CEsin60°=6332=12，∵∴∠DAB=12∠CAB=30°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=75°∵∠ACD=180°-∠CAB-∠B=75°，∴∠ACD=∠ADC，∴AD=AC=12，故选B.8.A如图，过A点作AD⊥BC于点D，∵∠B=45°，∴∠BAD=45°=∠B，∴AD=BD，设BD=x(x>0)，则AD=x，∵∠C=30°，∴tanC=ADCD=3∴CD=3AD=3x，∵BC=3+1，∴x+3x=3+1，∴x=1，即AD=1，∴S△ABC=12BC·AD=12×(3+1)×1=3+19.答案32解析如图，过点A作AH⊥BC于点H.∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH，∴BH=AB·cos∠ABC=AB·cos27°≈18×0.89=16.02(cm)，∴BC=2BH=32.04≈32(cm).10.答案17解析如图，过P作PD⊥OB于点D，∵tanO=PDOD=4∴设PD=4x(x>0)，则OD=3x，∵OP=5，∴由勾股定理得(3x)2+(4x)2=52，∴x=1，∴PD=4，∵PM=PN，PD⊥OB，MN=2，∴MD=ND=12MN=1，在Rt△PMD中，由勾股定理得PM=MD211.解析(1)题图1已知一个角及其所对的边，而另外两个角可以任意变动，故题图1不能求出其余未知元素，题图2已知三个角，而三条边可以任意变动，故题图2不能求出其余未知元素，题图3已知两个角及其夹边，那么第三个角是固定的，然后作出三角形的一条高，即可求出题图3中其余未知元素，题图4已知两角及其中一个角的对边，那么第三个角是固定的，然后作出三角形的一条高，即可求出题图4中其余未知元素.故答案为图3、图4.(2)能.如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，sinA=CDAC，cosA=AD∴CD=10×sin37°≈6，AD=10×cos37°≈8，∵AB=12，∴BD=AB-AD=12-8=4，∴BC=CD2+能力提升全练12.C如图，过D点作DE⊥AB于E，∵tan∠A=DEAE=12，tan∠ABD=DEBE∴AE=2DE，BE=3DE，∴AB=AE+BE=2DE+3DE=5DE，在Rt△ABC中，tan∠A=12，BC=5∴BCAC=5AC=12，解得AC∴AB=AC2+BC2∴AE=2，∴AD=AE2+DE∴CD=AC-AD=5，故选C.13.D如图，连接OB，AC，OB与AC交于点M，连接AE，BF，AE与BF交于点N，作直线MN，则直线MN为符合条件的直线l，如图，∵四边形OABC是矩形，∴OM=BM.∵B的坐标为(10，4)，∴M(5，2)，AB=10，BC=4.∵四边形ABEF为菱形，∴BE=AB=10.过点E作EG⊥AB于点G，在Rt△BEG中，∵tan∠ABE=43，∴EGBG=∴设EG=4k(k>0)，则BG=3k，∴BE=EG2+BG2=5k，∴5k=10，∴k=2，∴EG=8，BG=6，∴AG=4.∵B的坐标为(10，4)，AB∥x轴，∴A(0，4).∵N为AE的中点，∴N(2，8).设直线l的解析式为y=ax+b(a≠0)，∴5解得a=−2,b=12,∴直线l的解析式为y=-2故选D.14.答案33+3或33-3解析①当△ABC为锐角三角形时，如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=36，∠B=45°，∴AD=BD=AB·sin45°=33，∴CD=AC2−AD2=3，∴BC=BD②当△ABC为钝角三角形时，如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，∵AB=36，∠B=45°，∴AD=BD=AB·sin45°=33，∴CD=AC2−AD2=3，∴BC=BD综上，BC的长为33+3或33-3.15.解析如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，tanB=ADBD=3∴设AD=3x(x>0)，则BD=4x，在Rt△ADC中，∠C=60°，∴CD=ADtanC=3x∵BC=BD+CD=10，∴4x+x=10，解得x=2，∴CD=2，在Rt△ADC中，AC=CDcos60°=21∴AC的长为4.16.解析如图，过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC·tan60°=103，∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC·sin30°=103×12=53，CM=BC·cos30°=15在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45