海南省海口市2024−2025学年高二上学期第一次月考 数学试题含答案

海南省海口市2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．若，则的虚部为（

）A． B． C． D．23．若，且，则和的夹角是（

）A． B．C． D．4．已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（

）A．4.5 B．5 C．5.5 D．65．在中，，则的长为（

）A． B．4 C． D．56．在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．7．若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（

）A． B． C． D．8．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（

）A．1 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．某公司计划组织秋游活动，定制了一套文化衫，女职工需要不同尺码文化衫的频数如图．根据图中数据，下列结论正确的是（

）A．文化衫尺码的众数为187 B．文化衫尺码的平均数为165C．文化衫尺码的方差为28 D．文化衫尺码的中位数为16510．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（

）

A． B．平面ABCDC．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等11．已知函数的部分图象如图，则关于函数的描述正确的是（

）

A．关于对称B．关于点对称C．在区间上单调递增D．在区间上的最大值为3三、填空题（本大题共3小题）12．若，则.13．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是．14．各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则；此平行六面体的体积为．四、解答题（本大题共5小题）15．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.(1)求b的值；(2)求的值.16．已知函数(1)求的值；(2)求函数的递增区间；(3)求函数在区间上的值域．17．在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；(2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；(3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．18．已知空间四点，，，.(1)若向量与互相垂直，求实数的值：(2)求以，为邻边的平行四边形的面积：(3)若D点在平面上，求实数n的值.19．如图，在四棱锥中，平面为的中点，.

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案1．【答案】A【分析】先求出，再求交集.【详解】,则.则.故选A.2．【答案】D【详解】由.所以复数的虚部为：2.故选：D3．【答案】B【详解】设的夹角为，由于，所以，所以，由于，所以.故选：B4．【答案】C【详解】依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故选：C.5．【答案】C【详解】根据三角形内角和为，所以可知，则，根据正弦定理可知，代入解之可得.故选：C6．【答案】A【分析】先找到异面直线与所成角为（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值.【详解】如图分别取的中点，连接，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），设，由，所以，，，，所以由余弦定理可得：.则异面直线与所成角的余弦值是.故选A.7．【答案】D【详解】，，由基本不等式得，即，解得.故选：D8．【答案】B【详解】设沙漏下半部分的圆锥的容积为，沙子堆成的圆台体积为，该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为．由题意可知，即，则，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为．故选：B9．【答案】BD【分析】根据统计图可得样本数据的平均数、众数、中位数和方差，再逐一判断即可.【详解】由分析图中数据可知，众数为165，故A错误；总数为，平均数为，故B正确；方差为，故C错误；中位数为165，故D正确．故选BD.10．【答案】AD【详解】对A，不妨取点与点重合，因为平面，在平面内，且不过点，所以异面，即此时异面，A错误；对B，因为平面，且平面平面，所以平面，所以平面，B正确，不符合题意；对C，易知，点到平面的距离为定值，又，所以三棱锥的体积为定值，C正确；对D，记的中点分别为，连接，易知平面，平面，所以，因为，是平面内的两条相交直线，所以平面，又平面，所以，所以，所以，D错误.故选：AD

11．【答案】AD【详解】由函数的部分图象，得函数的最小正周期，则，由，则，有，将点代入函数解析式可得，即，由，得，所以，当时，，有最大值，的图象关于对称，A选项正确；时，，，，的图象关于点对称，B选项错误；时，，不是正弦函数的单调区间，C选项错误；时，，则当，即时，有最大值，D选项正确.故选：AD.12．【答案】【详解】，故答案为：13．【答案】/【详解】前局中，因第局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A，设乙第二局当裁判的事件A1、乙第三局当裁判的事件A2，乙第二局当裁判的事件A3，它们互斥，乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，第三局胜，则,乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则，乙第四局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局胜，第三局输，则，所以故答案为：.14．【答案】【分析】由空间向量基本定理可得，对其两边同时平方结合数量积的定义即可求出；连接交于点，连接，先证明平面，再由柱体的体积公式即可得出答案.【详解】因为，所以.连接交于点，连接，因为底面为边长是的正方形，所以，因为，连接，则，所以在中，，所以，又因为，所以，，平面，所以平面，所以平行六面体的体积为：.故答案为：；.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由结合正弦定理可得：，即，所以，由及余弦定理可得；（2）由得，由正弦定理得，由余弦定理得，所以，，所以.16．【答案】(1)(2),(3)【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数，即可得的值；（2）根据正弦型三角函数的性质列不等式求解单调增区间即可；（3）根据（2）确定函数在区间上的单调性，求值即可得函数的值域．【详解】（1）则；（2）令：，解得的单调递增区间为：；（3）由（2）可得，函数在区间上单调递增，在区间上的值域为：．17．【答案】(1)4(2)；平均数为71；中位数为(3)【详解】（1）从图中可知组距为，则的频率分别为,从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时,成绩不高于50分的人数为（人）.（2）由图可知，解得.使用组中值与频率可估计平均数为.因为且，所以中位数在内，设估计的中位数为，则，得.（3）记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于.18．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，，，，所以，，，所以，，因为向量与互相垂直，所以，化简得，解得，（2）因为，，且设夹角为，所以，而恒成立，所以，而，，所以平行四边形的面积为，（3）因为D点在平面上，所以四点共面，所以共面，而由题意得，，，故存在，使得，所以，，，解得，故实数n的值为.19．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）通过证明，，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，可证面面垂直.（3）先作出直线与平面所成的角，然后用直角三角形中的边角关系求角的正弦值.【