福建省龙岩市2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试卷含答案VIP

福建省龙岩市2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知等差数列满足，则（）A． B．1 C．0 D．2．已知直线与直线间的距离为2，则（

）A．或4 B．4 C．或6 D．或163．“”是“直线与直线平行”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（

）A．5 B．6 C．9 D．115．等比数列的前项积为，则的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．6．用，，，，，这六个数字可以组成（

）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数”A．108 B． C． D．7．从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（

）A．480种 B．240种 C．120种 D．60种8．已知实数x，y满足，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．二、多选题9．下列说法中错误的是（

）A．不过原点的直线都可以用方程表示B．若直线，则两直线的斜率相等C．过两点的直线都可用方程表示D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直10．若，其中为实数，则（

）A． B． C． D．11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的周长是；②曲线C围成的图形的面积是2π；③曲线C上的任意两点间的距离不超过2；④若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是其中正确的结论为（

）A．① B．② C．③ D．④三、填空题12．已知直线过点且与以为方向向量的直线平行，则的方程为.13．曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是．14．将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为.四、解答题15．若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：(1)求圆C的方程．(2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度．16．已知数列的前n项和为，从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，条件①，且；条件②为等比数列，且满足；解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求数列an(2)设，记的前n项和为，若对任意正整数n，都有，求实数的取值范围．17．已知的二项式系数之和为4096．(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大项．18．已知过原点的动直线与圆．(1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围；(2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程．19．出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：．请解决以下问题：(1)求线段上一点到原点的“距离”；(2)求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长；(3)在“欧式几何学”中有如下两个与“距离”有关的正确结论：①平面上任意三点A，B，C，；②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若；则是以为直角三角形.上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由．参考答案：题号12345678910答案CDACCBCBABDBC题号11答案AD1．C【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】由可得：，所以，故选：C2．D【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以，因为直线与直线间的距离为2，所以，解得或.故选：D.3．A【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与直线平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当时，直线与平行；当直线与直线平行时，有且，解得，故“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选：A.4．C【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.【详解】因为等差数列和的前项和分别为和，且，所以.故选：C5．C【分析】根据等比数列的性质可得，即可根据基本不等式求解.【详解】由等比数列的性质可知，所以，所以，当且仅当时等号成立，故选：C.6．B【分析】根据题意，分千位小于，千位为，百位小于，千位为，百位等于，当十位小于时，然后根据分类计数原理可得．【详解】当千位小于时，有种，当千位是，百位小于时，有种，当千位是，百位是，十位小于时，有种，由分类计数原理，可得小于的四位偶数共有，故选：B.7．C【分析】结合捆绑法与全排列，并消除和的顺序即可求解.【详解】站在一起有种，将看成一个整体与进行全排列，共有种，同时要求在的左边，共有种．故选：.8．B【分析】设Px,y为圆上的任意一点，构造直线，过点p作，将转化为点p到直线的距离和到原点的距离的比，即，然后利用数形结合法求得的范围求解.【详解】如图所示：设Px,y为圆上的任意一点，则点P到直线的距离为，点P到原点的距离为，所以，设圆与直线相切则圆心到直线的距离：，解得，所以的最小值为，最大值为，所以，即故的最大值为，故选：B【点睛】本题主要考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.9．ABD【分析】根据对直线的截距式、两点式的理解即可判断AC；根据两直线的位置关系即可判断BD.【详解】A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误；B：和的斜率有可能不存在，故B错误；C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果，直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就可以表示任意直线，故C正确；D：直线斜率不存在，则直线垂直于x轴；直线斜率存在，但不一定为0，所以两直线不一定垂直，故D错误.故选：ABD.10．BC【分析】根据给定的条件，把写成，再利用二项式定理结合赋值法，逐项计算判断作答.【详解】依题意，令，对于A，，A错误；对于B，是按展开的第4项系数，因此，B正确；对于C，，，所以，C正确；对于D，，D错误.故选：BC11．AD【分析】对绝对值里面的进行分类讨论，去掉绝对值；根据图象曲线C是四个半径为的半圆围成的图形，求出周长判断①正确；可以知道曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，判断②错误；由曲线C的图象可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，判断③错误；利用点到直线距离判断④正确.【详解】当时，曲线C的方程可化为；当时，曲线C的方程可化为；当时，曲线C的方程可化为；当时，曲线C的方程可化为；由图可知，曲线C是四个半径为的半圆围成的图形，即曲线C围成的图形的周长是，故①正确；曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线C所围成图形的面积为，故②错误；由曲线C的图象可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故③错误；因为到直线的距离为，所以，当d最小时，易知在曲线C的第一象限内的图象上，因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而，即，故④正确.故选：AD.【点睛】绝对值问题的处理思路：对绝对值里面的数的正负进行分类讨论，去掉绝对值，从而确定方程，确定图象.12．【分析】根据直线的方向向量求斜率，再结合直线的点斜式方程运算求解.【详解】由题意可知：直线的方向向量为，则直线的斜率，所以直线的方程为，即.故答案为：.13．【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线是过定点的直线，利用数形结合判断的取值范围.【详解】直线l过点A（2，4），又曲线的图象是以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，如图，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，

即，解得.当直线l过点B（－2，1）时，直线l的斜率为，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.故答案为：14．/【分析】分为奇数和偶数，按照最优分解定义，求数列的通项，再求和.【详解】当时，，则，当时，，则，故数列的前2023项和为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对新概念的理解，并对分奇数和偶数两种情况进行讨论，从而得到数列的通项公式.15．(1)(2)【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程；（2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得.【详解】（1）因为和，线段的中点为0,2，且，则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上，又已知圆心在轴上，令，得，故圆心为，半径，则圆圆C的方程为.（2）由圆心2,0到直线的距离，.故线段的长度为.

16．(1)(2)【分析】（1）若选择①得到，得到等比数列公比为，计算得到，若选择②，计算，得到公比，计算得到通项公式.（2）确定，，利用裂项相消法得到，得到实数的取值范围.【详解】（1）若选择条件①：且，则，两式相减，，又，，解得，则an为公比的等比数列，因此数列an的通项公式为：；若选择条件②：an为等比数列，且满足，则，，因此可得，则.（2）由（1）知，，则，，又，则，故，要使不等式恒成立，则，即.17．(1)(2)【分析】（1）利用二项式系数可得，求得，进而求得展开式的通项为，根据题意得，可求得展开式的常数项；（2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，可求得系数最大的项.【详解】（1）因为的二项式系数之和为4096．所以，解得，所以二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.（2）设展开式中第项的系数最大，则，可得，解得，因为，所以，所以系数最大的项为.18．(1)(2)，【分析】（1）利用直线与圆的位置关系计算即可；（2）设坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理用坐标表示M坐标，消参化简即可.【详解】（1）圆，整理可得标准方程为，圆的圆心坐标为，半径为2．设直线的方程为，即，直线与圆相交，圆心到直线的距离，解得，即的取值范围是；（2）由（1）知直线的方程为，．设,将直线与圆的方程联立，可得．由根与系数的关系可得，所以．线段的中点的轨迹的参数方程为，其中，则，即消去得，线段的中点的轨迹的方程为，其中．19．(1)2(2)(3)①正确，②错误；理由见解析【分析】（1）根据“直角距离”的定义直接求解即可；（2）设点到定点的“距离”为2，再根据定义：任意两点间的“距离”，分四种情况求解即可；（3）直接证明或举出反例判断即可.【详解】（1）易得线段上一点Mx,y到原点O0,0.（2）设点到定点的“距离”为2，则①当时，，此时为线段，②当时，，此时为线段，③当时，，此时为线段，④当时，，此时为线段，易得围成的图形的形状为以，为顶点的正方形，故周长为.（3）①设，则