人教B版高中数学必修第一册第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系课件

3.2函数与方程、不等式之间的关系【课程标准】运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．知识点一函数的零点1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系交点的横坐标零点状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集____________________Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集______________________________{x|x<x1或x>x2}

{x|x1<x<x2}∅∅知识点三函数零点的判定函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.状元随笔定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)f(b)＜0.

答案：B

2．函数f(x)＝x3－x的零点个数是(

)A.0B．1C.2D．3解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x1＝0，x2＝1，x3＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．答案：D3．函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为(

)A.(0，1)B．(1，2)C.(2，3)D．(3，4)解析：根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)，故选B.答案：B4．不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________．解析：由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为(－4，1)．答案：(－4，1)题型1函数零点的概念及求法例1.(1)下列图象表示的函数中没有零点的是(

)

【解析】

由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．【答案】

A

【解析】当x＜0时，x＋2＝0，则x＝－2.当x＞0时，x2－1＝0，则x＝1，x＝－1(舍)．所以函数f(x)的零点为－2和1.－2和1状元随笔(1)由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点．(2)求函数对应方程的根即为函数的零点．方法归纳函数零点的求法求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

题型2确定函数零点的个数例2.已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：则下列说法正确的是(

)A.函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点B.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点C.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点D.函数y＝f(x)在区间[1，2]上无零点x123456y123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88【答案】

B【解析】

由表可知f(2)f(3)＜0，f(3)f(4)＜0，f(4)f(5)＜0.由函数零点存在定理知，函数y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．虽然f(1)f(2)＞0，但函数y＝f(x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点．方法归纳判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．

答案：B

答案：A解析：作出f(x)的图象，函数y＝f(x)－a有3个不同的零点，即为y＝f(x)的图象与y＝a有3个交点，可得0<a<4，故选A.状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图象，依据两个函数图象交点的个数来判断函数的零点个数．题型3判断函数的零点所在的大致区间例3，

设x0是函数f(x)＝ln

x＋x－4的零点，则x0所在的区间为(

)A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【解析】

因为f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3－1＞lne－1＝0，f(2)f(3)＜0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2，3)．【答案】

C状元随笔根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3

[2024·辽宁鞍山月考]函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上的零点(

)A．至多有一个B．有1个或2个C．有且仅有一个D．一个也没有状元随笔利用f(a)f(b)＜0求零点区间．

答案：C解析：当a＝0时，函数f(x)＝bx＋c为一次函数，因为f(1)>0，f(2)<0，所以b≠0，所以函数f(x)＝bx＋c为一次函数，在区间(1，2)上为单调递减函数，因为f(1)f(2)<0，所以由函数零点存在性定理可知函数f(x)在区间(1，2)上有1个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若函数f(x)在区间(1，2)上有2个零点，则必有f(1)f(2)>0，与已知条件矛盾，因为f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上有1个零点．综上所述，函数f(x)在区间(1，2)上有且仅有1个零点．故选C.

(3，＋∞)【解析】

作出f(x)的图象如图所示，当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.(2)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.①若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；②若方程有两个不相等实根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．

方法归纳

已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．

答案：BC

(2)函数f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k有两个不等零点x1，x2，且0<x1<1<x2<2，求实数k的取值范围．

答案：B

答案：D

答案：C

答案：C

3．(5分)用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(

)A．(0，0.5)，f(0.125)B．(0.5，1)，f(0.875)C．(0.5，1)，f(0.75)D．(0，0.5)，f(0.25)答案：D解析：∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)，故选D.4．(6分)(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是(

)A．函数一定有两个零点B．a>0时，函数一定有两个零点C．a<0时，函数一定有两个零点D．函数的零点个数是1或2答案：BCD解析：当a＝0时，函数y＝ax2－x－2a有唯一零点x＝0，故A不正确；当a≠0时，由y＝ax2－x－2a＝0，Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，故B，C正确；所以函数的零点个数是1或2，故D正确．故选BCD.二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分)[2024·上海市进才中学高一月考]已知函数y＝kx＋1的零点在区间(－1，1)内，常数k的取值范围为____________________．

答案：1，－17．(5分)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0，1)上有零点，则a的取值范围为________．解析：由题意知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0，1)上单调递增，函数f(x)在(0，1)上有零点，可得f(1)f(0)＜0.∴a(2＋a)＜0，∴－2＜a＜0.答案：(－2，0)三、解答题(共44分)8．(10分)求下列函数的零点．(1)y＝3x2－2x－1；(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．

9．(17分)已知函数f(x)