人教B版高中数学必修第一册第三章函数3.1.1.第1课时函数的概念课件

第1课时函数的概念【课程标准】在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．教

材

要

点知识点一函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．

状元随笔对函数概念的3点说明(1)当AB为非空实数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二同一函数一般地，如果两个函数表达式表示的函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．知识点三常见函数的定义域和值域{x|x≠0}R

基

础

自

测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(

)A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义；只有A符合函数定义．故选A.答案：A

答案：D

解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；C中函数定义域、对应法则、值域都相同，故是同一个函数；D中两函数对应法则不同．答案：C

答案：4题型1函数的定义

[经典例题]

例1.根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1.状元随笔从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．状元随笔判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．【解析】

(1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是从集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是从集合A到集合B的函数．方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1

(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(

)A．0个B．1个C．2个D．3个①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N的范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．答案：B解析：图号正误原因

①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性(2)(多选)集合A，B与对应关系f如图所示，下列说法正确的是(

)A．f：A→B是从集合A到集合B的函数B．f：A→B不是从集合A到集合B的函数C．f：A→B的定义域为集合A，值域为集合BD．f(3)＝3f(5)答案：AD解析：对于集合A的每一个数都有唯一的数对应，满足函数的定义，则f：A→B是从集合A到集合B的函数，故A正确；函数的定义域为A，值域为{2，3，8，9}是B的真子集，f(3)＝9，f(5)＝3，则f(3)＝3f(5)，故D正确．故选AD.

方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

(1)分母不为0解析：要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．

【答案】

B

方法归纳求抽象函数定义域的方法(1)当对应关系f所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，应将左、右两端统一，也可以用“换元法”，将较难配凑的式子化简．(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即得，若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数g(x)在x∈[a，b]时的取值范围即为所求函数f(x)的定义域．

【答案】

D【解析】

函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f(x)与g(x)对应关系不同，故排除选项A；选项B，C中两函数的定义域不同，排除选项B，C.故选D.方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．

解析：序号是否相同原因(1)不同定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R(2)不同(3)不同定义域相同，对应关系不同(4)相同定义域和对应关系相同状元随笔判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型5求函数的值域

[经典例题]例5.求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；【解析】因为－1<x≤3，所以－12≤－4x<4，所以－9≤3－4x<7，所以函数y＝3－4x，x∈(－1，3]的值域是[－9，7)．

(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；【解析】函数的定义域为{1，2，3}，当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}．(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；【解析】y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．

状元随笔求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．

注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练5

求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；解析：将x＝1，2，3，4，5分别代入y＝2x＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．

(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；解析：y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1，所以1≤(x＋1)2≤16，所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].

答案：B

03.课时作业(十五)一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共22分)1．(5分)下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(

)解析：对于A，1个x有无数个y与其对应，故不是y的函数．答案：A

答案：B

答案：ACD

答案：ABD解析：选项A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－2}，故定义域不同，因此不是相等函数；选项B中f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因此不是相等函数；选项D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的．二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分)已知函数f(x)＝ax3－bx－3，若f(－1)＝7，则f(1)＝________．答案：－13解析：∵f(x)＝ax3－bx－3，∴令g(x)＝f(x)＋3＝ax3－bx，则由定义域为R，关于原点对称且g(－x)＝－(ax3＋bx)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，∴g(－1)＝－g(1)，∴f(1)＋3＝－[f(－1)＋3]，∵f(－1)＝7，∴f(1)＝－13.6．(5分)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．解析：由f(x)的图象可知－5≤x≤5，－2≤y≤3.

答案：[－5，5]

[－2，3]

答案：[－4，1)

(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．

9．(15分)求下列各函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{2，3，