人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质课件

2．2不等式2．2.1不等式及其性质【课程标准】理解不等式的概念，掌握不等式的性质．教

材

要

点知识点一实数大小比较1．文字叙述如果a－b是________，那么a＞b；如果a－b________，那么a＝b；如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．正数等于0负数2．符号表示a－b＞0⇔a________b；a－b＝0⇔a________b；a－b＜0⇔a________b．>＝<状元随笔1.不等式“a≤b”的含义是“a＜b”或“a＝b”．2．比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a＞b⇔________可逆2传递性a＞b，b＞c⇒________

3可加性a＞b⇔___________可逆4可乘性________c的符号____________b<aa>ca＋c>b＋cac<bcac<bc5同向可加性_____________同向6同向同正可乘性________同向7可乘方性a＞b＞0⇒_____________(n∈N，n≥2)同正8可开方性a＞b＞0⇒____________(n∈N，n≥2)同正a＋c>b＋dac>bdan>bn

状元随笔(1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b＞c⇒a＞c－b.性质3是可逆性的，即a＞b⇔a＋c＞b＋c.(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．

不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．知识点三证明问题的常用方法方法定义综合法从__________出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．分析法从要证明的__________，__________使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．反证法首先假设结论的________成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法．已知条件结论出发逐步寻求否定基

础

自

测1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(

)A．T＜40B．T＞40 C．T≤40D．T≥40答案：C解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(

)A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．与x有关答案：A

3．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(

)A．x2＜a2＜0B．x2＞ax＞a2C．x2＜ax＜0D．x2＞a2＞ax答案：B解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.题型1比较大小例1比较x2－x和x－2的大小．答案：因为(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，又因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1＞0，从而(x2－x)－(x－2)＞0，因此x2－x＞x－2.状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．方法归纳用作差法比较两个实数大小的步骤

答案：(1)∵(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a>0，b>0，且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.状元随笔

答案：C

状元随笔

方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2

(1)已知a＜b，那么下列式子中，错误的是(

)A．4a＜4b B．－4a＜－4bC．a＋4＜b＋4 D．a－4＜b－4答案：B

解析：根据不等式的性质，a<b，4>0⇒4a<4b，A项正确；a<b，－4<0⇒－4a>－4b，B项错误；a<b⇒a＋4<b＋4，C项正确；a<b⇒a－4<b－4，D项正确．状元随笔利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．

答案：ABD解析：对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，c2>0，∴一定有a>b，故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．题型3利用不等式性质求范围[经典例题]例3已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.答案：(1)∵－2<a≤3，∴|a|∈[0，3].(2)∵－2<a≤3，1≤b<2，∴－2＋1<a＋b<3＋2，∴－1<a＋b<5.(3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2.(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6，①由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②由①②得－10<2a－3b≤3.状元随笔运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．方法归纳利用不等式性质求取值范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3

(1)已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，①求xy的取值范围；②求x－2y的取值范围．答案：(1)①∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy的取值范围是(2，6)．②由(1)知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是(－5，－2)．(2)若－2<x＋y≤2且－1≤x－y≤1，则z＝4x＋2y的最大值是________．7

(3)用反证法证明：若a，b，c∈R，且x＝a2－2b＋1，y＝b2－2c＋1，z＝c2－2a＋1，则x，y，z中至少有一个不小于0.答案：假设x，y，z均小于0，即x＝a2－2b＋1<0

①，y＝b2－2c＋1<0

②，z＝c2－2a＋1<0

③，①＋②＋③得x＋y＋z＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2<0，这与(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0矛盾，则假设不成立，∴x，y，z中至少有一个不小于0，即得证．

方法归纳利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点(1)实质：就是根据性质把不等式变形．(2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法．

a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0

答案：C

答案：A

答案：D

3．(5分)[2024·宁夏中宁一中阶段练习]已知实数x，y满足1≤x－y≤2，2≤x＋y≤4，则4x－2y的取值范围是(

)A．[3，12]B．[5，10] C．[6，12]D．[3，10]答案：B

答案：AD

二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分)已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)．<解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．

④

161解析：①设蔬菜水果类店面m间，其中m∈N*，则2400×80%≤28m＋20(80－m)≤2400×85%，解得，40≤m≤55，则两类店面间数的建造方案共有55－40＋1＝16种；②由题意可得：mx＋0.8(80－m)≥80×0.9x(40≤m≤55)，整理为关于m的一元一次不等式，可得：(x－0.8)m－72x＋64≥0(40≤m≤55)，由题意可转化为关于m的一元一次不等式在40≤m≤55恒成立，所以(x－0.8)×40－72x＋64≥0，且(x－0.8)×55－72x＋64≥0，解得x≤1，故x的最大值为1万元．8．(10分)比较大小：(1)a2＋b2和2(a－b－1)；答案：因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)．

9．(17分)已知－1<x<4，2<y<3.(1)求x－y的取值范围；(2)求3x＋2y的取值范围．答案：(1)因为－1<x<4，