人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.2.3一元二次不等式的解法课件

2．2.3一元二次不等式的解法【课程标准】从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．

ax2＋bx＋c>0知识点二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．

(3)代数法：将所给不等式化为一般式后借助配方法：一元二次不等式ax2

＋bx

＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，再由k值情况，可得原不等式的解集，如表：

k>0k＝0k<0(x－h)2>k(－∞，h)∪(h,+∞)R(x－h)2<k∅∅

答案：C解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．

答案：B解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B.3．(多选)下列不等式的解集不是空集的是(

)A.x2－x＋1>0 B．－2x2＋x＋1>0C.2x－x2>5 D．x2＋x>2答案：ABD解析：因为x＝0满足选项A，B中的不等式，所以这两个不等式的解集不是空集．因为x＝2满足选项D中的不等式，所以这个不等式的解集不是空集．因为x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，所以x2－2x＋5<0不成立，即2x－x2>5的解集是空集．故选ABD.

题型1解不含参数的一元二次不等式例1(1)求不等式x2－x－2＞0的解集；(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集；(3)求不等式－x2＋2x－1＜0的解集．

方法归纳我们以求解可化成ax2＋bx＋c＞0(a＞0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1

解下列不等式：(1)x2－7x＋12＞0；答案：因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4.再根据函数y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．(2)－x2－2x＋3≥0；答案：不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1.再根据函数y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(3)x2－2x＋1＜0；答案：因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1.再根据函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅.(4)－2x2＋3x－2＜0.答案：原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

状元随笔题型2三个“二次”之间的关系[经典例题]例2已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX题型3含参数的一元二次不等式的解法[经典例题]例3解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

状元随笔二次项系数为a，故不能确定相应二次函数图象的开口方向，因此需对a的符号进行讨论，并且需要比较两根的大小．方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当Δ＞0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3

求关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)的解集．答案：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.当a<a2，即a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当a2<a，即0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a2＝a，即a＝0或a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠a}．综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠a}．

答案：原不等式等价于即

⇒－2≤x<3.所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜3}．

方法归纳1．解分式不等式的步骤(1)移项：将不等式移项，使其一侧为0；(2)通分：将不等式通分成同分母的分式不等式；(3)转化：将分式不等式转化为整式不等式；(4)求解：解出整式不等式的解集，并作答．

答案：A

(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？答案：当3＜x≤7时，f(x)＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，f(x)有最大值4.5，而当x＞7时，f(x)＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．状元随笔(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)＞0⇒回答实际问题．(2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)求：解不等式；(4)答：回答实际问题．提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练5

某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

状元随笔根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：

原计划降税后价格(元/担)200200税率10%(10－x)%(0＜x＜10)收购量(万担)aa(1＋2x%)收购总金额(万元)200a200·a(1＋2x%)税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%

答案：B

(3)若不等式的解集是R，求k的取值范围；(4)若不等式的解集是∅，求k的取值范围．

答案：D解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y＝3x2－2x＋1开口向上，与x轴无交点，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.

答案：B

3．(5分)某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P(单位：元/件)与月销售量x(单位：件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本(单位：元)R＝500＋30x.若每月获得的利润y(单位：元)不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为(

)A．(20，45)B．[20，45) C．(20，45]D．[20，45]答案：D解析：由题意，得y＝xP－R＝x(160－2x)－(500＋30x)，∴y＝－2x2＋130x－500，令y≥1300，得－2x2＋130x－500≥1300，∴x2－65x＋900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，∴20≤x≤45.故选D.

答案：BD解析：A选项，Δ＝12－4×(－1)×1＝5>0，所以－x2＋x＋1≤0的解集不可能为空集；B选项，Δ＝32－4×2×4＝－23<0，而f(x)＝2x2－3x＋4开口向上，所以2x2－3x＋4<0解集为空集；C选项，x2＋6x＋9＝(x＋3)2≤0的解集为x＝－3，所以不为空集；

二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分)不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为________．

7．(5分)[2024·四川绵阳中学月考]某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是________．(假设每件衬衫的售价是m)[45，65]解析：假设每件衬衫的售价是m元，则每天的销售量为80－m(0<m≤80)件，每天出售衬衫的净收入f(m)＝(80－m)(m－30)，0<m≤80，令f(m)＝(80－m)(m－30)≥525，即m2－110m＋2925≤0，(m－45)(m－65)≤0，解得45≤m≤65.三、解答题(共44分)8．(10分)[2024·江苏常州高级中学月考]已知函数f(x)＝ax2＋4x＋3.(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(b，1)，求a，b的值；

(2)若a>0，求关于x的不等式f(x)>－ax－1的解集．

9．(17分)解不等式：(1)－x2＋4x＋5>0；答案：－x2＋4x＋5>0可化为x2－4x－5<0，即(x＋1)(x－5)<0，解得－1<x<5，∴原不等式的解集