人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集课件

2．1.1等式的性质与方程的解集【课程标准】1.掌握等式的性质及常用的恒等式.2.理解方程的解集．知识点一等式的性质(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．

状元随笔用符号语言和量词表示上述等式的性质：(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc.知识点二恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．

状元随笔初中学习的恒等式(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)；(2)(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2(两数和的平方公式)；(3)(a＋b)c＝ac＋bc；(4)t3＋1＝(t＋1)(t2－t＋1)．知识点三十字相乘法具体形式：(1)二次项系数为1时，x2＋(a＋b)x＋ab＝____________________.(2)二次项系数不为1时，acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝____________________．记忆口诀：拆两头，凑中间．(x＋a)(x＋b)(ax＋b)(cx＋d)知识点四方程的解集方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．基

础

自

测1．分解因式a2＋8ab－33b2得(

)A．(a＋11)(a－3) B．(a＋11b)(a－3b)C．(a－11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)答案：B解析：a2＋8ab－33b2＝(a－3b)(a＋11b)．2．若多项式－6ab＋18abx＋24aby的一个因式是－6ab，那么另一个因式是(

)A．1＋3x－4y B．－1－3x－4yC．1－3x－4y D．－1－3x＋4y答案：C解析：－6ab＋18abx＋24aby＝－6ab(1－3x－4y)，所以另一个因式是1－3x－4y.

答案：C

4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________．{3，－5}解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，所以x＝3或x＝－5.所以方程的解集为{3，－5}．题型1因式分解[经典例题]例1把下列各式因式分解：利用十字相乘法因式分解(1)6x2＋11x－7；(2)a2－2ab－8b2；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；(4)2x4－5x2＋3.

方法归纳对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：

，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．跟踪训练1

把下列各式分解因式：(1)x2－2x－51＝_____________________________________________；(2)(a2＋1)2－4a2＝___________________________________________；(3)12x2－5xy－2y2＝_________________________________________；(4)(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12＝___________________________________.(x－5)(x＋3)(a＋1)2(a－1)2(3x－2y)(4x＋y)(x＋3)(x－2)(x＋2)(x－1)解析：(1)x2－2x－15＝(x－5)(x＋3)．(2)(a2＋1)2－4a2＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2.(3)12x2－5xy－2y2＝(3x－2y)(4x＋y)．(4)(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12＝(x2＋x－6)(x2＋x－2)＝(x＋3)(x－2)(x＋2)(x－1)．题型2一元一次方程的解集[经典例题]例2求下列方程的解集：(1)4－3(10－y)＝5y；答案：去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4.合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13.所以该方程的解集为{－13}．

(3)求关于x的方程ax＝2的解集，其中a是常数．

题型3因式分解法解一元二次方程例3求下列方程的解集：(1)x(x－2)＋x－2＝0；答案：因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0.于是得x－2＝0或x＋1＝0，即x＝2或x＝－1，因此方程的解集为{－1，2}．(2)6x(x＋1)＝5(x＋1)；

(3)x2＋5x－6＝0；答案：分解因式得：x2＋5x－6＝(x－1)(x＋6)，1×(－1)＋1×6＝5，因为x2＋5x－6＝0，所以(x－1)(x＋6)＝0，所以x－1＝0或x＋6＝0，即x＝1或x＝－6.因此方程的解集为{－6，1}．(4)ax2－(a＋1)x＋1＝0.

方法归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．

(2)(x－3)2＋2x－6＝0；答案：(x－3)2＋2(x－3)＝0，(x－3)(x－3＋2)＝0，所以x－3＝0或x－1＝0，所以x1＝3，x2＝1，所以该方程的解集为{3，1}．(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0；

(4)12x2＋5x－2＝0；

(5)12x2－ax－a2＝0.

答案：A

2．分解因式：x2－4y2＋4x＋4y＋3.答案：x2－4y2＋4x＋4y＋3＝x2＋4x－4y2＋4y＋3＝x2＋4x＋(2y＋1)(－2y＋3)＝(x＋2y＋1)(x－2y＋3)．

答案：D解析：A.根据等式性质，等式两边都减c，即可得到a－c＝b－c，故这个选项不符合题意；B．根据等式性质，等式两边都加c，即可得到a＋c＝b＋c，故这个选项不符合题意；C．根据等式性质，等式两边都乘以－3，根据等式性质，等式两边都加2，即可得到2－3a＝2－3b，故这个选项不符合题意；D．根据等式性质，等式两边都除以c时，应加条件c≠0，等式不一定成立，故这个选项符合题意．故选D.2．(5分)若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是(

)A．a＝10，b＝2 B．a＝10，b＝－2C．a＝－10，b＝－2 D．a＝－10，b＝2答案：C

答案：ABD解析：由等式的性质知A，B选项正确；

由(x＋2y)2＝x2＋4xy＋4y2知C选项错误；

由平方差公式知D选项正确．故选ABD.

答案：CD

二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分)已知x＋y＝7，xy＝－8，则：(1)x2＋y2＝________；(2)(x－y)2＝________．解析：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝72－2×(－8)＝65.6581解析：(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝72－4×(－8)＝81.6．(5分)《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”经计算可得，长________步，宽________步.3624解析：设矩形田地长为x步，宽为(x－12)步，根据题意列方程得x(x－12)＝864，x2－12x－864＝0，解得x1＝36，x2＝－24(舍)．∴x－12＝24.故长为36步，宽为24步．7．(5分)若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝________．

三、解答题(共43分)8．(13分)因式分解：(1)x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y；(2)4xy＋1－4x2－y2.答案：x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y＝(x＋2y)(x＋y)＋2(x＋2y)＝(x＋2y)(x＋y＋2)．答案：4xy＋1－4x2－y2＝1－(4x2－4xy＋y2)＝1－(2x－y)2＝(1＋2x－y)(1－2x＋y)．9．(15分)用因式分解法求下列方程的解集：(1)x2－10x＋9＝0；(2)2(x－3)＝3x(x－3)；答案：(x－1)(x－9)＝0，所以x1＝1，x2＝9；所以该方程的解集为{1，9}．

(3)4(3x－2)(x＋1)＝3x＋3；(4)2(2x－3)2－3(2x－3)＝0；

(5)2x2－16＝x