北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I）选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合，，则集合A.B.C.D.2.函数的定义域是A.B.C.D.3.命题“，”的否定是A.，B.，C.，D.，4.如果，那么下列不等式中正确的是A．B．C．D．5.下列函数中，在区间上为减函数的是A．B.C.D.6.函数的图像关于A．原点对称B．x轴对称C．y轴对称D．点对称7.已知，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.函数在区间内的零点个数是A．0B．1 C．2 D．39.下列函数中，满足的是A．B．C．D．10.两个不同的函数，满足，，则可能的情况是A．是一次函数，是二次函数B．在上递增，在上递减C．，都是奇函数D．是奇函数，是偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若，则实数x的值为.12.不等式的解集为，则，.13.函数QUOTEf(x)是定义在上的奇函数，当时，，则．14.函数，则的减区间为，的值域是.15.已知函数.①当时，在定义域内单调递减；②当时，一定有；③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；以上结论中，所有正确结论的序号是.三、解答题：本大题共3小题，共35分16.（12分）设集合，，.（I）求；（II）求；（III）若，求实数k的取值范围.17.（11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0~24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：（I）求的值；（II）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？18.（12分）已知函数.（I）判断在上的单调性，并用定义证明；（II）若是偶函数，求的值.卷（Ⅱ）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1.已知集合，，，则A．B． C． D．2.当时，恒成立，则的最大值为A．6 B．10 C．12 D．133.设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为A．14 B．15 C．16 D．18二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4.________.5.若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是.6.设函数.当时，的最小值是________；若是的最小值，则a的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分7.（10分）已知函数.（I）求方程组的解集；（II）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；（III）若在上具有单调性，求实数a的取值范围.8.（10分）如果正整数集的子集满足：①；②，，使得，则称为集.（I）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（II）当时，对于集，设，求证：；（III）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.

参考答案I卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号12345678910答案CBBDCAABDB二、填空题（每题5分，共25分）11.1或512.4，313.214.，15.②③注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）16.由题意，，，

(I)；(II)；(III)显然，，解得，因此的取值范围是.17.(I)，解得(II)①是..②时，，解得；时，，解得；,所以可以连续施工的最长时间为12小时.18.(I)在上单调递减.定义域为，任取且，所以在上单调递减.(II)，是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，此时，定义域，，符合题意，所以.

II卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1.A2.C3.C二、填空题（每题5分，共15分）4.5.6.，注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）7.，(I)，当，，，解得或；当，，即，解得或（舍）；综上，方程组的解集是.(II)（作图过程略）(III)在递增，在递减，所以或或，因此实数a的取值范围是.8.(I)注意到：，因此数集不是集.注意到：，因此数集是集.(II)由于集合是集，即对任意的，存在，使得成立。并且，故.从而.于是，对任意的均成立。因此，将这些不等式同向累加，有：.故.从而.于是.(III)数集中所有元素的和的最小值为.首先，注意到，根据集的定义，有.考虑集合，，此时是集.下面，我们证明数集中所有元素的和的最小值为.满足的集合只有有限多个，这是因为：，因此.故，当时，.因此满足的集合只有有限多个。设集合为满足的集。下面我们从最大和次大的元素两个角度分析集合的构成：.若，设，注意到，为了使得最小，不存在元素，使得.从而.若，由于集合是集，，存在，使得.由于，故，由于集合中至少有个元素，因此集合中至少还有个异于的元素，但此时，.矛盾！因此一定成立，此时.