2024-2025学年北京师大二附中高三（上）统练数学试卷（三）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京师大二附中高三（上）统练数学试卷（三）一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=(

)A.{x|0≤x<1} B.{x|−1<x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x<1}2.已知(m−i)2为纯虚数，则实数m=(

)A.0 B.1 C.−1 D.±13.已知α终边经过点P(sinπ6,−cosπA.5π6 B.π6 C.−π4.若a、b、c是互不相等的正数，且a2+c2A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b5.f(x)=2sin2x，则f(x)A.在[0,π]上单调递增 B.在[0,π]上单调递减

C.在[0,π2]上单调递增 D.6.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa+b与c共线，则实数λ=(

)

A.−2 B.−1 C.1 D.27.已知a，b，c均为非零向量，则“<a，c>=<b，c>”是“aA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数f(x)=2x+12,x≤0logA.(0,12) B.(0,1) C.(−1,9.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n天后，甲同学的知识储备量为(1+2%)na，乙同学的知识储备量为(1−2%)na，则甲、乙的知识储备量之比为2时需要经过的天数约为(    )(参考数据：A.15 B.18 C.30 D.3510.等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=−1，a5A.最小项为b3 B.最大项为b3 C.最小项为b4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.已知θ为第三象限角，且sinθ=−23，则cosθ=______，sin(θ+π)=12.抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x23−y13.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<0)，满足：∀x∈R,f(x)≤f(π3)恒成立，则φ=14.边长为2的等边△ABC中，|BD|=1，CE=EA，则15.已知函数f(x)=sinxx，下面命题正确的是______．

①存在x0∈(π,2π)，使得f′(x0)=0；

②存在x1，x2∈(0,π)，使得f(x2)−f(x1)x2−三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

若函数f(x)=2cosωx(sinωx+cosωx)−1(0<ω<4).从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在．

(Ⅰ)求f(x)的解析式与最小正周期；

(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最值．

条件①：f(π8)=3；

条件②：∀x∈R，f(x)≤f(π8)恒成立；

条件17.(本小题12分)

已知函数f(x)=λln(x+1)−sinx．

(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程；

(2)当λ=1时，判断函数f(x)在[π2,+∞)上零点的个数；

(3)已知f(x)≥2(1−ex)在x∈[0,π]上恒成立，求实数λ参考答案1.B

2.D

3.C

4.C

5.C

6.D

7.D

8.C

9.B

10.C

11.−5312.4

13.−π6

14.−15.①③

16.解：f(x)=2cosωx(sinωx+cosωx)−1

=sin2ωx+cos2ωx

=2sin(2ωx+π4)，

若选条件①：f(π8)=3，

∵f(x)=2sin(2ωx+π4)≤2，而3>2，

∴f(π8)≠3，这种情况不存在；

若选条件②：(Ⅰ)∀x∈R，f(x)≤f(π8)恒成立，

则2ω×π8+π4=2kπ+π2(k∈Z)，

∴ω=8k+1(k∈Z)，又0<ω<4，

∴ω=1．

f(x)=2sin(2x+π4)，T=2π2=π；

(Ⅱ)x∈[0,π2]⇒2x+π4∈[π4,5π4]⇒2sin(2x+π4)∈[−1,2]，

∴当2x+17.解：(1)f′(x)=λx+1−cosx，则f′(0)=λx+1−cosx=λ−1，f(0)=0，

∴y−0=(λ−1)(x−0)，

故切线方程为(λ−1)x−y=0；

(2)当λ=1时，f(x)=ln(x+1)−sinx，则f′(x)=1x+1−cosx，

当x∈[π2,π)时，−cosx≥0，1x+1>0，

∴f′(x)>0，

∴f(x)在[π2,π)上单调递增，

又f(π2)=ln(π2+1)−1<0，f(π)=ln(π+1)>0，

∴在[π2,π)上有且仅有一个零点；

当x∈[π,+∞)时，f(x)=ln(x+l)−sinx>ln(π+1)−1>0，∴在[π,+∞)上无零点，

综上，f(x)在[π2,+∞)上有且仅有一个零点．

(3)由f(x)≥2(1−ex)在x∈[0,π]上恒成立，

即λln(x+1)−sinx≥2(1−ex)在x∈[0,π]上恒成立，

整理得2ex−sinx+λln(x+1)−2≥0在x∈[0,π]上恒成立，

令g(x)=2ex−sinx+λln(x+1)−2，

则g′(x)=2ex−cosx+λx+1，

当λ≥0时，对任意x∈[0,π]有cosx∈[−1,1]，又2ex≥2，λx+1≥0，

∴g′(x)>0，此时g(x)在[0,π]上单调递增，

∴g(x)≥g(0)=0，符合题意；

当λ<0时，令ℎ(x)=g′