2023年中考数学综合压轴题训练：二次函数

（2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大?最大利润是多少？

2023年中考数学综合压轴题训练——二次函数4.某文具店购进A,B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B

一、综合题种钢笔5支，共需145元.

1.生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律:每年年产量为x（吨）时所需的全部费

（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？

用y（万元）与X满足关系式y=—x2+5x+90，投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价

（2）若该文具店要购进A,B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A种钢笔的数量少于B种

心，P乙（万元）均与x满足一次函数关系.（注:年利润=年销售额-全部费用）钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？

（1）当在甲地生产并销售x吨时，满足编=-焉%+14,求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元；（3）文具店以每支30元的价格销售B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再

购进一批B种钢笔，涨价卖出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每涨价1元，每月将少

（2）当在乙地生产并销售x吨时，生=-，％+15，求在乙地当年的最大年利润应为多少万元？

卖4支，设文具店将新购进的B种钢笔每支涨价a元（a为正整数），销售这批钢笔每月获利W元，试求W

2.某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利与a之间的函数关系式，并且求出B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？

润y甲（万元）与进货量％（t）近似满足函数关系y甲=0.3%；乙种水果的销售利润，乙（万元）与进货量了5.已知二次函数y=—x?+4x—3.

（1）若一3WX&3,则y的取值范围为（直接写出结果）；

（t）近似满足函数关系=ax2+bx（其中awO,。、b为常数），且进货量尤为It时，销售利润

（2）若一80ys—3,则x的取值范围为（直接写出结果）；

%为L4万元；进货量%为2t时，销售利润，乙为2.6万元.3

（3）若A（m,yi）,B（m+1,y2）两点都在该函数的图象上，且满足mV—,试比较yi与y2的大小，并说

（1）求y乙（万元）与％（t）之间的函数关系式；明理由.

（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共10t,设乙种水果的进货量为t（t）,请你写出这两种水果所获得6.面朝大海，春暖花开！榴岛大地正值草莓上市销售的旺季.某商家以每盒20元的价格购进一批盒装草莓，

的销售利润之和W（万元）与t（t）之间的函数关系式.并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和经市场调查发现：在一段时间内，草莓的日销售量y（盒）与每盒售价x（元）满足一次函数关系，其图象如

最大，最大利润是多少.下图所示：

3.某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价%（元）与

销售时间第冗月之间存在如图1（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本%（元）与销售时间第冗月

之间存在如图2（一段抛物线，对称轴为直线x=5）所示的变化趋势.

ot2535x（X）

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）根据市场的定价规则，草莓的售价每盒不得高于49元，当售价定为多少时，日销售利润最大？最大

利润是多少？

（3）为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动，顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励

（«>0）,商家想在日销售量不少于40盒的基础上，使日销售最大利润为1568元，求此时a的值.

7.如图，在△ABC中，BC=7cm,AC=24cm,AB=25cm,P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C

点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s.若点P、Q分

（1）分别求函数%和y2的表达式别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：

（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下.“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；

（2）求N两点的坐标；

（3）在第三象限内的抛物线。上是否存在一点P,使得△胸的面积最大？若存在，求出△外〃的面积

的最大值；若不存在，说明理由.

1、

10.如图，抛物线丁二二/一％一3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.直线1与抛

4

（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为58cm?物线交于A,D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为（4,-3）.

（2）经过多少时间后，Sipce的面积为15s??

（3）用含t的代数式表示APCQ的面积，并用配方法说明t为何值时APCQ的面积最大，最大面积是多

少？

_3

8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线Ci：y=-x2+6x+2的顶点为M,与y轴相交于点N,先将抛

物线C1沿X轴翻折，再向右平移P个单位长度后得到抛物线C2,直线1：y=kx+b经过M,N两点.

（1）请直接写出A,B两点的坐标及直线1的函数表达式；

（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为机（机之。），过点P作尸轴，垂足为M.PM与直线1

交于点N,当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；

（3）若点Q是y轴上的点，且NADQ=45。，求点Q的坐标.

11.对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p,当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个

函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差夕称为这个函数的不动长度，

3

（1）求点M的坐标，并结合图象直接写出不等式-x2+6x+2Vkx+b的解集；

2特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度9为0,例如，下图中的函数有。和1两个不动值，其不动长

（2）若抛物线C2的顶点D与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；

（3）若抛物线Ci与x轴的交点为E、F,试问四边形EMBD是何种特殊四边形？并说明其理由.

9.定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线如

图，抛物线G与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线G与抛物线C2与x轴有相同的交点N

（点”在点N的左侧），与y轴的交点分别为A,8且点4的坐标为（0,-3）,抛物线C2的解析式为y=

Mx2+47n¥-12m,（zn>0）.

（1）下列函数①y=2x,②y=N+l,③y=N-2%中存在不动值的是（填序号）

（2）函数y=3%2+Z?%,

①若其不动长度为0,则人的值

为

②若-2W/2,求其不动长度9的取值范围；

（3）记函数y=/-4x（应力的图象为Gi,将Gi沿％=，翻折后得到的函数图象记为G2,函数G的图象由

G和G两部分组成，若其不动长度q满足0<^<5,则t的取值范围为.~O'1x01x

12.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交工轴于A，B两点，

备用图1备用图2

交y轴于点C，直线y=x-3经过8,C两点.

14.已知梯形ABCD中，AZ)〃,且AD<BC,AD=5,AB=DC=2.

APD

BC

（D如图，P为AD上的一点，满足NBPC=NA,求AP的长；

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点D不重合），且满足NBPE=NA,BC交直线BC于点

露用图

E,同时交直线DC于点Q.

（1）求抛物线的解析式；①当点Q在线段DC的延长线上时，设。。=丁，CQ=y,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的

（2）过点C作直线CDLy轴交抛物线于另一点D,点、P是直线CD下方抛物线上的一个动取值范围；

点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE±x轴于点E,PE交CD于点、F,交BC于点②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程）

〃，连接AC,过点M作MNA.AC于点N,设点尸的横坐标为£,线段MN的长为15.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中点，E,F分别是AC,BC±

。，求d与/之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；的点（点E不与端点A,C重合），且AE=CF,连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使

（3）在（2）的条件下，连接PC,过点B作BQLPC于点。（点Q在线段PC上），BQGO=OD,连接DE,DF,GE,GF.

交CD于点T,连接0Q交CO于点S,当ST=TD时，求线段MN的长.

13.已知：关于x的方程X?-（m+2）x+m+l=0.

（1）求证：该方程总有实数根；

（2）若二次函数y=x2-（m+2）x+m+1（m>0）与x轴交点为A,B（点A在点B的左边），且两交点间

（1）求证：四边形EDFG是正方形；

的距离是2,求二次函数的表达式；

（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值.

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

16.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-—x2+26x-6与x轴交于A、B两点（点A在点

在（2）的条件下，垂直于y轴的直线y=n与抛物线交于点E,F.若抛物线在点E,F之间的部分与线段

2

EF所围成的区域内（包括边界）恰有7个整点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

B的左侧），与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点E,直线CE交抛物线于点F（异于点C）,直线

CD交x轴交于点G.

18.如图，抛物线y=-炉+云+c交y轴于点A(0,2),交X轴于点8(4,0)、C两点，点D为线段03上的一

过点D作。轴，交于点M,交抛物线于点N.

(1)如图1,求直线CE的解析式和顶点D的坐标；

(备用图)

(2)如图1,点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF,当APCF的面积最大时，点M是过P垂

(1)求抛物线的解析式；

直于x轴的直线1上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+MN+NO的最小值；

(2)连接AN和3N,当的面积最大时，求出点D的坐标及△ABN的最大面积；

(3)如图2,过点D作DILDG交x轴于点L将△GDI沿射线GB方向平移至△GDT处，将△GDT绕

(3)在平面内是否存在一点P,使得以点A,M,N,P为顶点，以AM为边的四边形是菱形？若存在,

点D，逆时针旋转a(0VaV180。)，当旋转到一定度数时，点G，会与点I重合，记旋转过程中的AGUT为

请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

△G〃D4〃，若在整个旋转过程中，直线G〃I〃分别交x轴和直线GD，于点K、L两点,是否存在这样的K、L,

使AGKE为以NLGK为底角的等腰三角形？若存在，求此时GL的长.

17.如图，抛物线y=-1x2+2x+3与直线1交于A,B两点，点A是对称轴与x轴的交点.

(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线1的函数表达式；

(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP,AP,求4ABP的面积的最大

值；

(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作NACD=30。交抛物线于点D,求出D点的坐标；并探究：在y

轴上是否存在点Q,使NCQD=60。？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分k=—

解得彳3,

1.【答案】(1)解：根据题意可得：b=n

甲地当年的年销售额为(-—X+14)X=(-—X2+14X)万元，1-

2020y.=—x+12；

3

设利润为贝

Hqj,ij=+14%)—+5x+90)=—+9%—'90,2

设y2=a(x-5)+8,

将(11,14)代入y=a(x-5)2+8,得:

在甲地生成并销售20吨时利润为：把x=20代入，2

得：%=--x202+9x20-90=30万元，14=4(11—5)2+8,

中20

二•在甲地生成并销售20吨时利润为30万元.解得«=j,

6

(2)解：乙地当年的年销售额为(-—x+15)%=(--X2+15X)万元，1°

5>+8,

6

设利润为,贝！J：二[―+15%)—+5%+9°)=—二%?+1°JV—9°=—二(%—25/+21511

函数%和y的表达式分别为％=——x+12,%=_(%.5)9+8

236

二•乙地生产并销售25吨时，利润最大为215万元.(2)解：设第x月每千克所获得的利润为w(元)，由题意得:

11

fa+b=\Aw=——X+12-[-(X-5)92+8]

2.【答案】(1)解：由题意，得：L〜.36

[4a+26=2.6

1

=——(X-4)29+2.5,

[a=-0A6

解得：一v.

[b=1.5••・当％=4时，w有最大值，w最大=2.5.

所以y乙=-0.1炉+1.5%二•销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是2.5元/千克.

4.【答案】(1)解：设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元，

(2)解：由题意，得：W=y甲+y乙=0.3(10—£)+(—0.1〃+1.5力,

由题意得:12%+3y=90

所以W=-0.k2+1.2z+3=-0.1(r-6)2+6.6,[3x+5y=145'

即当方=6时，W有最大值为6.6.%=15

解得:

所以10-6=4(t).y=20

答：甲种水果的进货量为43乙种水果的进货量为6t时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元答：A种钢笔每只15元，B种钢笔每支20元;

3.【答案】(1)解：由题意设y=区+6/。0),(2)解：设购进A种钢笔z支，

[15z+20(90-z)<1588

由题意得：，

将(6,10),(9,9)代入yx=kx+b,得：I“‘

[z<90-z

6k+b=W

.\42,4<z<45,

9k+b=9

・・・z是整数

z=43,44,

.,.90-z=47,或46；又•・•日销售量不少于40盒，

・••共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔47支，.\-2x+160>60,

方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只；.\x<60,

7

(3)解：W=(30-20+a)(68-4a)=-4a2+28a+680=-4(a--)2+729,A20<x<60,

2

①当;a+50V60,即aV20时，

•・•-4V0,・・・W有最大值,Ta为正整数，

当a=3,或a=4时，W最大，大值=(万〃+50—20—a]]—215〃+5C)J+160=—tz2—60a+1800=1568,

7

.・.W最大=-4x(3--)2+729=728,30+a=33,或34；

2

解得：a=116(不合题意，舍去)或a=4,

答：B种铅笔销售单价定为33元或34元时，每月获利最大，最大利润是728元.

②当;a+50N60,即aN20时，卬最大值=(60—20-。)(一120+160)=1568,

5.【答案】⑴解：-24<y<l

(2)解：-10x00或铝xW5解得：a=0.8(不合题意，舍去)，

(3)解：由题意，yi=­m2+4m—3,y2=—(m+1)2+4(m+1)—3・•・商家想在日销售量不少于40盒的基础上，使日销售最大利润为1568元时，a=4.

则yi—y2=2m-37.【答案】(1)解：设经过ts后，P、Q两点的距离为50cm,

3

又mV—,2m-3<0,即yiVy2则ts后，PC=(7-2t)cm,CQ=5tcm,

6.【答案】(1)解：设丫=履+>BC2+BC2=49+576=625,AB2=625

V(25,110)和(35,90)在函数图象上，.-.BC2+BC2=AB2

(25女+6=110,[k=-2△ABC是直角三角形，即ZC=90°

••135%+人=90,'解得]人=160’

在RtAPCQ中，PC2+CQ2=PQ2,

y=-2x+160；.-.(7-2t)2+(5t)2=(5V2)2

(2)解：设日销售利润为W元，

解之：1=1或1=-'(不符合题意，舍去)

由题意，得:W=(x-20)(-2x+160),

整理，得：W=-2(x-50)2+1800,答：设经过1s后，P、Q两点的距离为50cm；

V-2<0,即二次函数图象开口向下，(2)解：设经过ts后，S2kPCQ的面积为15cm2

当xV50时，W随x的增大而增大，则ts后，PC=(7-2t)cm,CQ=5tcm,

V20<x<49,SAPCQ=；XPCXCQ=；X(7-2t)x5t=15

・•・当x=49时，W取得最大值，Wmax=1798元，

解之：ti=2,t2=1.5,

答：当售价定为每盒49元时，日销售利润最大，最大利润是1798元；

答：经过2或L5s后，SAPCQ的面积为15cm2；

(3)解：•・•顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励(a>0),

(3)解：设经过ts后，△PCQ的面积最大，

...W=(x-20-a)(-2x+160)=-2x2+(2a+200)x-3200-160a,

则ts后，PC=(7-2t)cm,CQ=5tcm,

..a+1001“

..对称轴为x=----------=—a+50,

22SAPCQ=xPCxCQ=x(7-2t)x5t

=-5(t-1.75)2+——同理点A、B、D的坐标分别为(2-友,0)、(2+侦，0)、(2,4),

16

33

Va=-5<0,抛物线开口向下

245由点的对称性知，DM、EB相互平分，故四边形EMBD是平行四边形，

・••当t-1.75时，SAPCQ的值最大，最大值为：——

16经验证该四边形不是矩形、菱形，故四边形EMBD是平行四边形.

245

答：当t-1.75时，△PCQ的面积最大值为；;。.【答案】(解：如图