2022-2024北京重点校初二（下）期中数学汇编：解直角三角形及其应用

第1页/共1页2022-2024北京重点校初二（下）期中数学汇编解直角三角形及其应用一、单选题1．（2024北京清华附中初二下期中）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022北京海淀初二下期中）如图，在中，AD＝4，＝120°，AC平分∠DAB，P是对角线上的一个动点，点Q是边上的一个动点，则PB＋PQ的最小值是（

）A．4 B． C． D．二、填空题3．（2024北京西城初二下期中）将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点A落在折痕上，并使折痕经过点D，得到折痕和线段，记与的交点为H．若，则．4．（2023北京八一学校初二下期中）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为．5．（2024北京广渠门中学初二下期中）如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为m(结果保留根号)．6．（2022北京西城第八中学初二下期中）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于

.三、解答题7．（2024北京汇文中学初二下期中）某中学组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示：活动课题测量古树的高度研学小组甲组乙组测量示意图测量说明于点E，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内．于点D，图中所有的点都在同一平面内．测量数据，，，，请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度．（结果保留根号）8．（2024北京丰台初二下期中）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”如图1所示，现需要配一适合该地下车库的车辆限高标志牌，点A是栏杆转动的支点，距离地面的高度约为米，点E是栏杆两段的联结点，距离点A约为米．当车辆经过时，栏杆升起，受现实因素限制，栏杆最多只能升起到如图2所示的水平位置，（栏杆宽度忽略不计），经测量，此时．要想解决这个问题，小张这样思考：将此问题抽象为数学图形如图3所示，过点E向作垂线，交延长线于点C，计算的长，就可以估计出匹配的限高标志牌（限高值应小于实际高度0.2米）．请你结合小张的思路进行计算，并在以下选项中选出适合该地下车库的车辆限高标志．A．

B．

C．

D．9．（2024北京清华附中初二下期中）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，）10．（2024北京房山初二下期中）如图，在矩形中，，相交于点O，，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．11．（2024北京第四中学初二下期中）如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货轮相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？12．（2022北京西城第八中学初二下期中）如图，在中，，求的长．13．（2022北京大兴初二下期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B位于y轴正半轴，，点C位于x轴正半轴，．(1)求点B，C的坐标；(2)垂直于y轴的直线l与线段AB，BC分别交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G．横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记四边形DFGE围成的区域（不含边界）为W．若点D的纵坐标为，当区域W内整点个数达到最多时，直接写出的取值范围．14．（2022北京中关村中学初二下期中）如图，在ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝，求DF的长．

参考答案1．D【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点E作交FD于点M，求出，再证明，即可知④正确．【详解】解：∵旋转得到，∴，∵为正方形，，，在同一直线上，∴，∴，故①正确；∵旋转得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正确；设正方形边长为a，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正确；过点E作交FD于点M，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．2．B【分析】先根据题意证出四边形ABCD是菱形，根据菱形的对称性可得，线段AB与AD关于AC对称，设点Q’是点Q的对称点，则PB＋PQ=PB＋PQ’，当点Q’运动到点Q’’时，即BQ’’⊥AD时，PB＋PQ’最小，解直角三角形即可．【详解】解：在中，AD＝4，AC平分∠DAB，∴是菱形，AB＝AD＝4，∵＝120°，∴＝60°，∵是菱形，∴线段AB与AD关于AC对称，点Q关于AC对称的点在AD上，设点Q’是点Q的对称点，则PB＋PQ=PB＋PQ’，当点Q’运动到点Q’’时，即BQ’’⊥AD时，PB＋PQ’最小，此时，BQ’’=ABsin∠DAB=，∴PB＋PQ的最小值是，故答案选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称−最短路线问题，菱形的性质与判定，根据垂线段最短作出辅助线，确定点Q’’的位置是解答此题的关键．3．2【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形成为解题的关键．由折叠的性质可得：，在根据特殊角的三角函数值可得，进而得到、，再解直角三角形得到,，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：由折叠的性质可得：，，∴,∴,∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴,，∴．故答案为2．4．2或2．【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，证出BE＝DE，即可求出m；当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝AB·sin60°=，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵＝2，∴＝3，∴＝＝2，∴m＝2，综上所述，m的值为2或2，故答案为：2或2．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握等边三角形的性质、垂直平分线的性质、分类讨论的数学思想、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键．5．【详解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°，∴AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD•sin∠ADB=60×=(m).故答案是：.6．或【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，分点E在AB上或AB的延长线上两种情况，分别利用三角函数求出AE、DE的长，利用勾股定理求出BE的长，继而可得AB的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即可.【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E，如图1，点E在AB上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，BE=，∴AB=AE+BE=8，∴平行四边形ABCD的面积为；如图2，点E在AB的延长线上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，BE=，∴AB=AE-BE=4，∴平行四边形ABCD的面积为，故答案为或.【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的面积，正确地画出图形是解题的关键.7．【分析】本题是解直角三角形的应用，选甲组，根据矩形的性质得出的长，再根据锐角三角函数求出的长即可得出结果；选乙组，根据锐角三角函数得出与的长即可得出结果；掌握锐角三角函数及特殊角三角函数值是解题的关键．【详解】解：选甲组：∵四边形为矩形，，∴，，∴，∵，，∴，∴，即古树的高度为；选乙组：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，即古树的高度为．8．A【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，则，得到，由限高值应小于实际高度0.2米，则限高标志上的数值为，即可得到答案．【详解】解：如图，过点E向作垂线，交延长线于点C，则，∵，∴，∴，∴∵限高值应小于实际高度0.2米∴限高标志上的数值为∴适合该地下车库的车辆限高标志为．即适合该地下车库的车辆限高标志为A．9．82米【分析】设的长为，可以得出BD的长也为，从而表示出AD的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．【详解】解：设为，∵，∠CDB=90°，∴，∴，在中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，，即，∴∴．答：此建筑物的高度约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确的找准每一个直角三角形中边的关系，利用正弦，余弦，正切列出方程求解是解题的关键．10．(1)见解析(2)【分析】(1)根据矩形的性质得出OA=OB，进而利用菱形的判定解答即可；(2)根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．【详解】（1）证明：，四边形AEBO是平行四边形又四边形ABCD是矩形，，四边形AEBO是菱形（2）解：如图：连接EO，交AB于点F四边形ABCD是矩形，，又是等边三角形，四边形AEBO是菱形，四边形的面积为：【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．11．A港与B港相距海里．【分析】先作于点C，根据题意求出，从而得出的值，得出的值，即可求出答案．【详解】解：作于点C，由题意得，∴海里，∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴，，∴海里，∴海里，答：A港与B港相距海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．12．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出CD的长，根据等角对等边求得BD，进而可得出结论．【详解】∵∠A=105°，∠C=30°，∴∠B=45°，过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=30°，AC=4，∵，∴AD=2，∴由勾股定理得：，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°，∴∠DAB═∠B=45°，∵，∴．【点睛】本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义、等角对等边等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．13．(1)B（0，4），C（，0）(2)【分析】（1）根据题意作出图形，借助勾股定理和三角函数解直角三角形，求出OB、OC的长度，即可求得点B、C的坐标；（2）根据题意作出图形，由题意易知四边形DFGE为矩形，再结合（1）的结果，可设，则，，结合图形确定区域W内整点个数达到最多时点D、E的位置，列出不等式组，解不等式组以确定的取值范围．【详解】（1）解：如图1，∵点A（﹣4，0），∴，在中，，∴点B（0，4），在中，，即，∴，∴点C（，0）；（2）如图2，易知四边形DFGE为矩形，，由（1）可知，，即为等腰直角三角形，，在中，，在中，，，设，则，，区域W内整点个数最多时，有，解得，∴，即．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征、利用勾股定理和三角函数解直角三角形以及解不等式组等知识，根据题意作出图形并加以分析是解题关键．14．（1）见解析；（2）8【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF∥DB，CF＝DB即可；（2）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可；【详解】（1）证明：∵C