2024-2025学年广东省广州市某中学高三（上）第三次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市执信中学高三(上)第三次月考数学试

卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列四组函数中，表示同一函数的一组是()

A.y=\x\,u=B.y=\[x1,s=(V^)2

C.y-=n+1D.y=yjx+1-y/x-l,y=ylx2-l

2.若复数Z满足z(l—i)=1+i,贝旧4=()

A.1B.-1C.iD.16

3.若ab=^/ln2-ln5,c=ln0^,贝!］a、b、c的大小关系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

4.已知向量集合M=(a\a=(3,4)+4(1,2),%GR},N=(a\a=(4,5)+A2(-2,-2),AGR},则MnN=

()

A.［(4,5)}B.{(3,4),(4,5)}C.{(3,4)}D.0

5.函数/(%)=Asin^x+9)(3>0,4>0)在区间［nvi］上是增函数，且/(zn)=-A,f(n)=4则函数

g(x)=Acos^x+0)(3>0,A>0)在区间［皿九］上()

A.是增函数B.是减函数

C.可以取到最大值/D,可以取到最小值

6.已知点P在抛物线M：y2=4x上，过点P作圆C：(久-2)2+*=1的切线，若切线长为2々，则点P到M的

准线的距离为()

A.5B.A/29C.6D.回

7.设{an}为等比数列,则“对于任意的ri€N*,an+2<an”是“{an}为递减数列”的()

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D,既不充分也不必要条件

8.如图，B地在2地的正东方向4kni处，C地在B地的北偏东30。方向2/OTI处，河流

的没岸PQ(曲线)上任意一点到4的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向8、C两

地转运货物.经测算，从M到B、"到C修建公路的费用分别是a万元/小、2a万元/km,那么修建这两条

公路的总费用最低是()

北

A.(2W-2)a万元u

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.——1

B.5a万元

C.(2y/7+l)a万元

D.(2避+3)a万元

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.函数/(%)=eR)的图象可能是()

10.有一组样本数据0,1,2,3,4,添加一个数X形成一组新的数据，且P(X=k)=||

(k6{0,1,2,3,4,5},则新的样本数据()

A.极差不变的概率是flB,第25百分位数不变的概率是亮

±o

C.平均值变大的概率是寺D.方差变大的概率是强

11.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好

经过正四棱锥的顶点P,如果将容器倒置，水面也恰好经过点P,则下列命题中正确的是()

A.正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半

B,若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满

C.将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P

D.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数/'(%)的导函数为且满足/(X)=2x/,(e)+Inx,则广(e)=.

13.如图，圆。与X轴的正半轴的交点为4点C、B在圆。上，且点C位于第一象限，点B的坐标为弓-1),

Z.AOC=a,若|BC|=L则避cos2〉si击cos,字的值为.

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14.对有71024)个元素的总体｛1,2,...,71｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1,2,…即｝和

｛m+1,爪+2,...,?i｝(ni是给定的正整数，且2WmWn-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.

用Pi/表示

元素济叩同时出现在样本中的概率，贝叶1'=；所有P/IWi</三用的和等于.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在△ABC中，内角4、B、C的对边分别为a、b、c,且c=2b,2sin力=3sin2c.

(1)求价值；

⑵若△ABC的面积为邛，求4B边上的高.

16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，2C与BD交于点。，点P在平面力BCD内的投影为点0,若△BCD为正三角形，

且AB=AD=^AC,P0=0C.

(1)证明：AC1平面PBD；

(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值.

17.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，椭圆c：,+餐=i(a>b>0)的左、右焦点分别为乙、尸2,椭圆与y轴正半轴的

交点为点B,且人尸道尸2为等腰直角三角形.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知斜率为1的直线Z与椭圆C相切于点P,点P在第二象限，过椭圆的右焦点尸2作直线Z的垂线，垂足为

点、H,若用T无？=一整，求椭圆C的方程.

18.(本小题12分)

已知函数,/(%)=(%+l)e2~ax+1,g(x)=(x+1)。全2+(1—©x+1.

(1)若a=l,求/■(>)的极值；

(2)当a<0时，讨论/(x)零点个数；

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(3)当x20时，/(x)>g(,x'),求实数a的取值范围.

19.(本小题12分)

将九(九>2)个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列｛斯｝，对任意1<i<j<n,如果%>aj,那么称

数对(四,%)构成数列｛即｝的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数.

(1)若将1,2,3,4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；

(2)计算以下数列的逆序数.

(i)an=-2n+19(1<n<100)；

../为奇数”,、

(If/为偶数MC

(3)已知数列@i，a2,0n的逆序数为a,求an，斯一…，Qi的逆序数.

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参考答案

1.A

2.A

3.D

4.C

5.C

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.ACD

11.BC

14.皿71—TH)6

15.解：(1)2sinX=3sin2C,

sinA=3sinCcosC,

由正、余弦定理可得，a=3c丁①,

2ab

又c=2b②,

由①②得,a2b=3b(a2+Z)2—4h2),

・•・a2=3b2=a=,:.三=

22b2

(2)由(1)得，cosC=^=£=^=*，

(或由余弦定理得cosC=*■=吟『=¥)

C为锐角，sinC=殍,

4

•••△力BC的面积S=|aZ?sinC另x宜如x』H=空,

，，242

・•・b=2,

设48边上的高为九，

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则△ABC的面积S=1c/i=bh=军,

h=啤,即4B边上的高为呼.

44

16.证明：(1)因为4B=AD,BC=CD,AC=AC,

故△ABC三△4DC,

TT

：.乙4cB=^ACD=g,CO1BD,即AC1BD.

又点P在平面ABC。内的投影为点。，

即P。1平面4BCD,

又ACu平面ABC。，PO1AC,

又BDCPO=0,BD,POu平面PBD,

.­.AC1平面PBD.

(2)由(1)可得P。J.平面力BCD,而RDu平面4BCD,故P。1BD,

故。8,OC,OP两两垂直，建立以。为原点如图所示的空间直角坐标系,

设CD=3,则B(20,0),D(-1,0,0),P(0,0琴,4(0,—乎,0),

乙乙ZZ

所以丽=60,—挈)，砺=(0,一察一崂，丽=(—1,0,—崂,

设平面PAD的法向量为有=(x,y,z)f

m-PA==0,

则有有•丽=一了久一宜L=o

22

令z=1,则zn=(一避,—3,1),

设直线PB和平面PAD所成角为仇

贝!Jsin。=|cos<m,->1=0

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3A/3_3^/3I

22।

J3+9+1X第寻13

.­■直线PB与平面PAD所成角的正弦值为曙.

17.(1)解：设椭圆C的半焦距为c,由已知得点B(O,b),

因为AF1BF2为等腰直角三角形，且。为的中点，所以|。印=|。?2|,即匕=5

所以a2=扶+°2=202,有e=?=&=孝.

(2)解：由⑴知e=孝，设椭圆C方程为蔡+改=1,

因为切点P在第二象限，且直线I的斜率为1,

由d=16m2—12(2m2—2c2)=24c2—8m2=0,可得m2=3c2,即瓶=y/3c,

所以，/=一与，%=-粤+m=£，所以P(-竽,£),

因为直线尸2”与直线1垂直，所以直线尸2”的斜率为-1，

则直线F2H的方程为y=—x+c,

(X=_一僧

联立g+肾，可得,二工，即点”(与％，亨)，

又因为%(-c,0)、F2(C,0),

有士厂J(丁3c-m,Tm+c\，F厂2P】=(—-2mL+3c，wm"\

vr-77_(3c_=)(2m+3c)(m+c)m_37n2_如_2cHi___4倍

'1〃•'2尸=6+6=6=~-6~='

所以C2=4,所以椭圆C的方程为《+。=1.

o4

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18.解：(1)

当a=1时，/(%)=(x+l)e2-x+1,

则/(%)=e2~x-(x+l)e2~x=-xe2~x,

令f'(%)=0，解得久=0，

当工€(—8,0)时，((%)>0,

所以/(%)在(-8,0)上单调递增，

当%6(0,+8)时，尸(%)<0,

所以/(%)在(0,+8)上单调递减，

所以/(%)有极大值/(0)=/+1,无极小值;

(2)

/(%)=e2~ax—a(x+l)e2-ax

=e2~ax{—ax—a+1),

令/'(%)=。，得x

因为a<0,所以—a>0,-——<0,

a

当XG(—8,宁)时，f'(X)<0,

则;■(%)在(-8,号)上单调递减，

当xe(勺2+8)时，f(x)>0,

则/(X)在(詈+8)上单调递增，

所以/(%)》/(早)

=(―宁+1=-e1+a+1,

vaya

设/i(a)=~el+a+l,a<0,

则"(a)=—*i+a+5ei+a=ei+a整，

因为a<0,所以h'(a)<0,

所以h(a)在(-8,0)单调递减，

又因为九(—1)=0,

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所以当a<—l时，-e1+a+l>0,

a

则/(%)>0,无零点；

当a=—1时，和1+。+1=0,f(x)有1个零点,

当一l<a<0时,和1+。+1<0,

又/X。)=62+1>0,

当时，/(久)-1,/(尤)有2个零点；

⑶若fO)》g(X)，

则(久+l)e2-ax+l>(x+l)"e2+(i-a)x+l,

2-<zxax

所以(久+l)e>(x+l)e2+(l-a)x；

因为x20时，x+1>l,e2-ax>0,

所以ef>(X+1产-1,

两边同时取对数得，"-x>(ax-l)ln(x+1),

当x=0时，0N0成立，

当x>0时，ln(x+1)>0,

.一11

则In(久+1)+x^a,

—11

设皿%)=府不+诃>。，

111

则加(久)=ln2(x+1)-^-^

_%2—(%+l)Zn2(%+1)

-%(%+l)ln2(x+1)'

设?1(%)=%2—(%+l)ln2(x+l),x>0,

则?T(X)=2x—ln2(x+1)

1

一(％+1)•2•In(%+1)-%+]

=2x—ln2(%+1)-21n(x+1),

设p(%)=2x—ln2(%+1)-21n(x+l),x>0,

i2

则P'O)=2-21n(%+1)-

_2x-21n(x+1)

%+1'

设k(%)=2%—21r1(%+V),x>0,

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则/光)=2一系=盖>0,

所以k(x)在(0,+8)上单调递增，

又k(0)=2x0-21n(0+1)=0,

所以k(x)>0,所以p，(x)>0,

则p(x)在(0,+8)单调递增，

又p(0)=2x0-Zn2(0+l)-21n(0+1)=0,

所以p(x)>0,所以"(x)>0,

则n(x)在(0,+8)单调递增，

又n(0)=02-(0+l)Zn2(0+1)=0,

所以n(x)>0,所以加(x)>0,

则m(久)在(0,+8)单调递增，

又当—0时，

所以m(x)