2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：拓展之通过求二阶导函数解决导数问题（学生版+解析）

第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题

目录

1、函数极值的第二判定定理：..............................1

类型一：利用二阶导数求函数的极值.........................1

类型二：利用二阶导数求函数的单调性.......................3

类型三：利用二阶导数求参数的范围........................18

类型四：利用二阶导数证明不等式............................5

1、函数极值的第二判定定理：

若/(X)在x=x0附近有连续的导函数尸(X),且/'(/)=0,r(X0)H0

(1)若尸(%)<0,则/(x)在点x0处取极大值；

(2)若/"(5)〉0,则/(x)在点x0处取极小值

2、二次求导使用背景

(1)求函数的导数r(x),无法判断导函数正负；

(2)对函数/(X)一次求导得到/''(%)之后，解不等式r(x)>0和/”(x)<0难度较大甚至

根本解不出.

(3)一阶导函数中往往含有/或Inx

3、解题步骤：

设g(x)=/'(x)，再求g'(无)，求出g'(x)>0和g'(x)<0的解,即得到-函数g(x)的单调性，

得到函数g(x)的最值，即可得到了'(x)的正,负情况，即可得到函数/(x)的单调性.

高频考点

类型一：利用二阶导数求函数的极值

典型例题

例题1.(2024・贵州贵阳•一模)英国数学家泰勒发现了如下公式：

e*=l+x+土+工+…+土+…其中”!=1X2X3X4X…x”,e为自然对数的底数，

2!3!n\

e=2.71828…….以上公式称为泰勒公式.设/@)=三0超(力=三二，根据以上信息,

并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

⑴证明：e，Nl+x;

(2)设xe(O,"),证明：qhg(x)；

⑶设尸(x)=g(x)-+若x=0是尸(x)的极小值点，求实数”的取值范围.

例题2.(23-24高二下•云南玉溪•阶段练习)已知函数〃x)=ar-lnrTaeR.

(1)讨论函数〃尤)的单调区间；

(2)当a=l时，设g(x)=e"(x)+e，+M(〃?eR),若g(x)20恒成立，求冽的取值范围.

练透核心考点

1.(2024・四川遂宁•二模)已知函数〃x)=e*-ox—2.

(1)若〃尤)在区间(0,1)存在极值，求。的取值范围；

(2)若,f(x)>x-sinx-cosx,求。的取值范围.

2.(2024•四川广安•二模)已知函数/(力=/一水一1.

(1)若/(尤)存在极值，求。的取值范围；

(2)若aVl,xe(0,+oo),证明：/(x)>%-sinx.

类型二：利用二阶导数求函数的单调性

典型例题

例题1.(2024•江西九江•二模)已知函数〃尤)=(2x—a)ln(x—l)+6(a,6eR)在x=2处的切

线方程为3x_y_2=0

(1)求a,b的值；

(2)判断的单调性.

例题2.(23-24高二下•广东清远■阶段练习)已知函数"x)=lnx-«x+a,g(x)=xev-2x.

(1)求函数y=的单调区间；

⑵已知a=l,当x«0,4w),试比较/(x)与g(x)的大小，并给予证明.

练透核心考点

1.(23-24高二下,重庆铜梁•阶段练习)拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点(即

曲线的凹凸分界点).设了'⑺是函数y=〃尤)的导函数，广⑺是函数广⑺的导函数，若

方程广(无)=0有实数解尤=%,并且在点(厮,/(%))左右两侧二阶导数符号相反，则称

(%，/(%))为函数丁=/(元)的"拐点

⑴经研究发现所有的三次函数/(X)=ax3+bx2+cx+d(a^0)都有"拐点"，且该"拐点"也是函

数y=的图象的对称中心.已知函数/(x)=V+加一9尤+。的图象的对称中心为(-1,10),

讨论函数〃无)的单调性并求极值.

1QC

⑵已知函数g(x)=27加+[61n(/nr)-15]^+—x---+1,其中机>0.求g(x)的拐点.

mm

2.(23-24高二下•宁夏•阶段练习)已知函数〃x)=(x-1声-加.

(1)当a40时，求证：/(x)>-2x2-l；

(2)当a=-l时，函数g(x)=/(x)-xe、'+尤在(0,+8)上的最大值为机，求不超过机的最大整

数.

练透核心考点

1.(23-24高三下•山东潍坊•阶段练习)已知函数/(尤)=g*一；/一x.

(1)若/(大)在R上单调递增，求实数a的取值范围;

⑵当a=l时，证明：Vxe(-2,+oo),/(x)>sinx.

2.(2023•河南•三模)已知函数〃%)=lnx-%+2,e为自然对数的底数.

(1)若此函数的图象与直线x=L交于点P,求该曲线在点P处的切线方程;

e

(2)判断不等式>0的整数解的个数；

⑶当・<e2时，(1+依e2r—a)/(x)Wxe2r-l,求实数。的取值范围.

类型四：利用二阶导数证明不等式

典型例题

例题1.(23-24高二下•江苏苏州,阶段练习)已知〃了)=芸(e为自然对数的底数)

⑴求曲线,=〃力在点(0/(0))处的切线方程;

(2)求证：当％>0时，/(%)>—^恒成立；

x+2

(3)已知%>0,如果当x>0时，/(同〉丁匚恒成立，求女的最大值.

''ex+l

I—Y

例题2.(2024•黑龙江齐齐哈尔・二模)已知函数/(x)=alnx+^j,a£R.

⑴当〃=2时，求曲线>=/(同在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)当工之。时，证明：exln(x+l)+e-x-cosx>0.

练透核心考点

1.(23-24高三下•全国•阶段练习)已知函数〃x)=(x-a—l)ei—x+alnx(a>0).

(1)讨论的单调性；

(2)若/(元)在(L+8)上有极值点％,求证：/(x0)<-2.

2.(2024•四川广安二模)已知函数〃x)=e「依-1.

⑴若“X)存在极值，求”的取值范围；

(2)若aWl,xe(0,+oo),证明：/(x)>x-sinx.

第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题

目录

1、函数极值的第二判定定理：..............................1

类型一：利用二阶导数求函数的极值.........................1

类型二：利用二阶导数求函数的单调性.......................3

类型三：利用二阶导数求参数的范围........................18

类型四：利用二阶导数证明不等式............................5

1,函数极值的第二判定定理：

若/(X)在％=不附近有连续的导函数广(X),且r(/)=o,r(xo)*o

(1)若<0,则/(x)在点%0处取极大值；

(2)若f\x0)>0,则/(%)在点x0处取极小值

2、二次求导使用背景

(1)求函数的导数r(x),无法判断导函数正负；

(2)对函数/(X)一次求导得到了'(X)之后，解不等式/'(x)>0和/>'(%)<0难度较大甚至

根本解不出.

(3)一阶导函数中往往含有俄或Inx

3、解题步骤：

设g(x)=f\x),再求g'(x),求出g\x)>。和g'(x)<0的解，即得到-函数g(x)的单调性，

得到函数g(x)的最值，即可得到/"(x)的正,负情况，即可得到函数/(x)的单调性.

高频考点

类型一：利用二阶导数求函数的极值

典型例题

例题1.(2024・贵州贵阳•一模)英国数学家泰勒发现了如下公式：

e*=1+*+上+上+…+工+…其中”!=1X2X3X4X…x”,e为自然对数的底数，

2!3!n\

e=2.71828…….以上公式称为泰勒公式.设/(司=甘二,g(x)=二二，根据以上信息,

并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

(1)证明:ex>1+x；

(2)设xe(O,+®),证明：*!<g(x)；

⑶设*x)=g(x)-d1+；；若x=0是尸⑴的极小值点，求实数”的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

⑶(川

【分析】(1)首先设/<x)=e，-x-1,利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值

问题；

(2)首先由泰勒公式，由e*和0，再求得和g(x)的解析式，即可证明；

(3)分aVl和两种情况讨论，求出产(力在x=0附近的单调区间，即可求解.

【详解】(1)设Mx)=e=x-1,则〃(x)=e，-L

当尤>0时，//(x)>0：当x<0时，/Z(x)<0,

所以h(x)在(―,0)上单调递减，在(0,+“)上单调递增.

因此，/z(x)>/i(0)=0,即e*21+x.

(2)由泰勒公式知e'=l+x+《+立+^+曰+..・+日+…，①

2!3!4!5!n\

丫2345n

2!3!4!5!n\

由①②得

35

0%_「一尤vvV2H-1

/'(无)=-----------=x+——+——+••-+---------------

v'23!5!(2«-1)!

A-x24

z、e+eXx尤”'-2

g(x)=---------=1+—+——+…+T-----+

'，22!4!(2〃-2)!

所以

।fx4”一2

—―=1H--------1-----------1•…+7---------------------------

x3!5!(2n-l)!

22-2

.x尤4x"(\

<1+5+疝+…++…=g()

即g<g(x).

(3)F(x)=g(x)-a1+=_a1+yJ'则

pX_p-XpX-p~XpX_Lp-X

尸(x)=——-----ax,设G(x)=——-----ax,G，(x)=——-----a.

由基本不等式知，=1,当且仅当尤=0时等号成立.

22

所以当aWl时，G'(x)21-。20,所以尸'(x)在R上单调递增.

又因为P(x)是奇函数，且9(0)=0,

所以当x>0时，F(x)>0；当x<0时，F(x)<0.

所以*x)在(-8,0)卜.单调递减，在(0,+")匕单调递增.

因此，x=0是网力的极小值点.

下面证明：当a>l时，x=0不是尸(无)的极小值点.

Ina,-Inai/i\i/i、

当a>]时，G，(ln4)=----------a=—IaH—I—a=—I—oI<0,

又因为G'(x)是R上的偶函数，且G'(x)在(0,+e)上单调递增，

所以当尤e(—Ina,Ina)时，G(x)<0.

因此，尸(x)在(-Ina,Ina)上单调递减.

又因为F(x)是奇函数，且F(0)=0,

所以当一lna<x<0时，Ff(x)>0；当0<x<lna时，

所以尸(x)在(Tna,0)上单调递增,在(O,lna)上单调递减.

因此，x=0是尸(力的极大值点，不是网力的极小值点.

综上，实数。的取值范围是(f』.

【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分。VI和。>1两种情况，利用导数判

断x=0附近的单调性.

例题2.(23-24高二下•云南玉溪•阶段练习)已知函数〃x)=ar-lnx-l,aeR.

(1)讨论函数〃x)的单调区间；

(2)当a=l时，设g(尤)=e"(x)+e*+7nr(〃zeR),若g(x)20恒成立,求加的取值范围.

【答案】⑴答案见解析；

(2)[-e,+a)).

【分析】(1)根据题意，求导可得尸(x),然后分aWO与。>0讨论，即可得到结果；

(2)根据题意，分离参数，然后构造函数一"),求导可得研x),转化为最值

问题，即可得到结果.

【详解】⑴〃尤)定义域为(0,+8),r(x)=a-^=竺?，

①当时，/'(同40恒成立，〃尤)在(0,+e)上单调递减

②当。>0时，

X

a小

/'(尤)

-0+

单调递减单调递增

综上所述，当aWO时，/⑺的单调递减区间为(。,+"),

当。>0时，/(x)的单调递增区间为/⑴的单调递减区间为

(2)g(x)=eX(x-lnx-l)+e，+如=已，(%—111%)+如20恒成立，

所以加2」-----^怛成立，设------L,

XX

皿ex|lwc-x+--l\x-ex(\nx-x}(八

则H(Q_IxJI'_ex«T)(—),

、11—y

设O=lnx—x—l,贝"/(%)=——1=----,

当Ovxvl时，/(九)>0/(九)递增，当x>l时，(X)〈0/(%)递减，

所以*光)max=，(1)=一2<。，所以当x>。时，Inx-x—l<0恒成立，

当Ovxvl时，〃(x)>O,/z(x)递增，当%>1时，”(x)<0,力(元)递减,

所以以肛皿=/i(l)=-e,

由机2-(爪7)恒成立得mN一

X

所以加的取值范围为［-Q+8).

练透核心考点

1.(2024・四川遂宁•二模)已知函数〃x)=e*-ox—2.

⑴若〃尤)在区间(0,1)存在极值，求。的取值范围；

⑵若尤e(0,+oo),/(x)>x-sinx-cosx,求。的取值范围.

【答案】⑴(l，e)

(2)(-«),1]

【分析】(1)对。分类讨论研究单调性后，结合极值的定义计算即可得；

(2)设g(x)=e*+cosx+sinx-(a+l)x-2,原问题即为g(x)>0在xe(0,+oo)时恒成立，

多次求导后，对。VI时及。>1时分类讨论，结合零点的存在性定理与函数的单调性即可得

解.

【详解】(1)由/(x)=e，—办—2,得尸(x)=e-,

当“40时,尸(力>0,则/(x)单调递增,f(x)不存在极值,

当a>0时，令((x)=0,则x=lna,

若x<lna,则广(x)<0,“X)单调递减；

若x>lno,则尸(x)>0,f(x)单调递增，

所以x=lna是〃尤)的极小值点，

因为/(X)在区间(0,1)存在极值，则0<lna<l,即l<a<e,

所以，"力在区间(0」)存在极值时，。的取值范围是(Le)；

(2)由了(%)>龙一$111%—(：0$尤在了€(0,+8)时恒成立，

即e*+cosx+sinx-(a+l)尤一2>0在元e(0,+8)时恒成立，

设g(x)=e，+cosx+sinx-(a+l)x-2,贝!Jg(x)>0在xe(0,+8)时恒成立，

贝！]g'M-^-sinx+cosx-(a+l),

令〃?(x)=(x)=eA-sinx+cosx-(fl+1),贝!J〃/(x)=e*-cosx-sinx,

令〃(x)=〃z'(x)=eX-cosx-sin%,贝!|n'(x)=er+sinx-cosx,

xe(0,l)时，e*+sinx>l,贝卜/(x)=e"+sinx-cosx>0,xe[l,+8)时,12e,贝I〃'(x)>0,

所以尤e(0,+8)时，//(x)>0,则〃(x)即加(x)单调递增,

所以加(x)>加(0)=0,则即g'(x)单调递增,

所以g'(x)>g'(O)=l-。,

①当aWl时，g,(0)=l-fl>0,故尤e(O,+e),g[x)>0,则g(x)单调递增，

所以g(x)>g⑼=0,

所以〃x)>x-sinx-cosx在xe(0,+oo)时恒成立，

②当a>l时，g,(0)=l-«<0,

g,[ln(a+3)]=a+3-sin[in(a+3)]+cos[in(a+3)]-(a+1)

=2-V2sinIn(a+3)-?>0,

故在区间(0,ln(a+3))上函数/(x)存在零点看,即5(x°)=0,

由于函数g'(x)在(O,+e)上单调递增，则x«0,%)时,g'(x)<g'仇)=0,

故函数g(无)在区间(0,尤。)上单调递减，

所以，当xe(O,x0)时，函数g(x)<g(O)=O,不合题意,

综上所述，的取值范围为(为』.

【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于多次求导后，得到g'(x)>g'(O)=l-。，从而通

过对。V1及。>1进行分类讨论.

2.(2024,四川广安•二模)已知函数〃力=3—以-1.

⑴若〃尤)存在极值，求。的取值范围；

(2)若aVl,xe(0,-Hx>),证明：/(x)>x-sinx.

【答案】⑴(0,+功

⑵证明见解析

【分析】(1)求函数的导函数，分aWO、a>0两种情况讨论，即可得到函数的单调性，

从而得到函数的极值点，即可得解；

(2)依题意即证明e*+sinx—(a+l)x—l>。在尤«0,收)时恒成立，设

g(x)=e'+siar-(a+l)x-l,xe(0,4w),利用导数说明函数的单调性，即可得证.

【详解】(1)由/(％)=6"-办-1,x&R,得/'(x)=e*—a,

当aWO时，f\x)>0,则/(尤)单调递增，/(X)不存在极值；

当a>0时、令/'(x)=0,贝!]x=Ina,

当x<lna,则/'(力<0,即/(x)在(一8,Ina)上单调递减，

当x>lna,则用x)>0,即在(Ina,+“)上单调递增.

所以x=Ina是"力的极小值点，

所以当a>0时，“X)存在极值，

综上所述，/(无)存在极值时，。的取值范围是(0,+").

(2)欲证不等式〃x)>x-sinx在xe(O,"Hx>)时恒成立，

只需证明e'+sinx—(a+l)x—1>0在xe(0,+oo)时恒成立.

设g(x)=e*+sinx-(a+l)x-l,xe(0,+oo),

贝！Jg'(x)=e，+cosx—(a+1),

令77i(x)=g'(x)=e*+cos^-(a+l),xe(0,+oo),

则加(x)=ex—sinx.

当尤w(0,+oo)时e工>1,-l<-sinx<l,所以加(x)>0,

所以m(x)即g，(x)在(0,+动上单调递增,

所以g'(x)>g'(O)=l-。，

因为a<l,所以g'(0)=l-a20,

故xe(0,+co),g，(x)>0,所以g(x)在(0,+功上单调递增,

所以g(x)>g(O)=O，

即当xe(0,+oo)时，不等式/(x)>x-sinx恒成立.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单

调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、

不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

类型二：利用二阶导数求函数的单调性

典型例题

例题1.(2024•江西九江・二模)已知函数/(x)=(2x—a)ln(x—l)+b(a,Z?wR)在x=2处的切

线方程为3x_y_2=0

(1)求a,b的值；

⑵判断的单调性.

【答案】⑴」=1,b=4

(2)/(尤)在(1,+s)上单调递增

【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；

(2)借助导数的导数研究导数的最值后即可得原函数的单调性.

【详解】(1)r(%)=21n(x-l)+—由题意可得尸⑵=3,/⑵=3x2—2=4,

X—1

贝I］尸⑵=21n(2_l)+(2x2_a).」-=0+4_q=3,可得a=l,

2—1

/(2)=(2x2-«)ln(2-l)+/?=&=4,

即Q=1,Z?=4；

7r-I

(2)/(x)=(2x—l)ln(x-l)+4,/r(x)=21n(x-l)H-----(x>l),

令g(犬)=/'(%)=21n(x-l)+——-(x>1),

x—1

22(x-1)-(2x-1)2x—3

则g'(x)=----1------------=-----

x—1

当尤l)时,gf(x)<0,当xe,,+co)时,g，(x)>0,

故g(x)在［1,1］上单调递减，在弓，+j上单调递增，

3

即g⑴=广⑴2d2m+^

=4-21n2>0

2-

故了(无)在(1,+8)上单调递增.

例题2.(23-24高二下•广东清远•阶段练习)已知函数/(x)=lnx-ox+a,g(x)=xex-2x.

(1)求函数y=/(x)的单调区间；

⑵己知a=l,当xe(O,y),试比较〃x)与g(x)的大小，并给予证明.

【答案】⑴答案见解析

(2)/(x)<g(x),证明见解析

【分析】

(1)先求出〃力的导函数，再对。分类讨论，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

(2)构造函数尸(x)=g(x)—/(x),求出函数的导函数,再令力(x)=xe-l,利用导数分析版回

的单调性，从而得到函数尸(方的最值，从而得证.

【详解】(1)因为/(x)=ln尤-6+。，定义域为(0,+8),

所以尸(%)=4—a=(尤>0)，

XX

当。40时，r(x)>0,所以“X)的单调递增区间为(0,+8),没有单调递减区间；

当a>0时，令/(无)>0,得0<%<工；令/(无)<0,解得了>工，

aa

所以〃无)的单调递增区间为(0,J，单调递减区间为1,+8；

综上，当aWO时，/(无)的单调递增区间为(0,+8),没有单调递减区间；

当a>0时，〃尤)的单调递增区间为(0,单调递减区间为+8；

(2)f(x)<g(x),证明如下:

当1=1时，f(x)=]nx-x+l,又g(x)=xe"—2九，

令F(x)=g(x)-f(x)=xex-lnx-x-l(x>0),

贝Uk(无)=尤+e*—,一1=四(无e*-1),

XXv7

令人(x)=xe、—1,则“(%)=(%+1)炉>0,又力(0)<0,力⑴>0,

所以函数以工)在(。,+")上单调递增，且存在唯一零点。£(0」)，使得%(。)=0,

且光«0,c)时，h{x)<0；]£(c,+oo)时，h{x}>0,

即X£(o,c)时，Fr(x)<0；无£(0,+00)时，F'(X)>0,

所以函数/(%)在(o,c)上单调递减，在(c,y)上单调递增，

则方(无)之尸(。)=次'-111。一。一1,而/z(c)=ceC—1=0,即ce0=l,

两边取对数得lnc+c=0,

所以F(x)>F(c)=0,故f(x)<g(x)在(0,+e)上恒成立.

练透核心考点

1.(23-24高二下•重庆铜梁•阶段练习)拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点(即

曲线的凹凸分界点).设尸(x)是函数'=/(尤)的导函数，尸'(尤)是函数/⑴的导函数，若

方程广(无)=0有实数解x=x°,并且在点(厮,/(%))左右两侧二阶导数符号相反，则称

(%，/(%))为函数V=/(尤)的"拐点

⑴经研究发现所有的三次函数/。)=办3+6/+cx+d(a*0)都有"拐点"，且该"拐点”也是函

数y=/(x)的图象的对称中心.已知函数/(X)=尤3+加_9x+。的图象的对称中心为(-1,10),

讨论函数Ax)的单调性并求极值.

1Q,

(2)已知函数g(%)=2m/+[61口(如)一15]兀之+—x——-+1,其中机>0.求g(x)的拐点.

mm

【答案】⑴〃尤)在(―,-3),(1,口)上单调递增，在(-3,1)上单调递减，极大值为26,极小

值为-6；

【分析】

(1)根据题意，由条件结合二阶导数的定义可得/龛)=丁+3--缄-1,然后求导即可得

到单调区间以及极值；

(2)根据题意，求函数二阶导数可得g"(x)=12皿+121n(皿)-12,然后构造函数转化为零

点问题，即可求解.

【详解】(1)

尸(x)=3尤2+26无一9,f"(x)=6x+2b,

由题意得T'(T)=0,即-6+2b=0,解得6=3,

且/(—1)=10,即(一1)3+3乂(-1)2+9+°=10,解得a=T,

故/。)=丁+3/-9x-l,

所以尸(x)=3/+6x-9,

令/'(x)>0得尤>1或％<—3,令/'(尤)<0得一3<x<l,

故/(无)在(-8,-3),(1,+“)上单调递增，在(-3,1)上单调递减，

故〃尤)在x=-3处取得极大值，在x=1处取得极小值，

故极大值为〃-3)=-27+27+27—1=26,极小值为〃1)=1+3-9-1=-6；

(2)

g(x)=2iwc3+[61n(mx)—151J:2+-x--^-+1,

mm

由于m>0,mx>0,故x>0,即g(x)的定义域为(0,+a),

18

g'(x)=6mx2+6x+2[61n(mx)-15]XH,

m

gXx)=12mx+6+12+2[61n(mx)-15]=12mx+121n(mx)—12,

令g"(%)=°得，mr-l+ln(mx)=0,

令力(x)=x+lnx—l,x>0,

贝(x)=1+g>0在(0,+8)上恒成立，

故M%)=x+lnx-l在(0,+8)上单调递增，

又可1)=0,由零点存在性定理知，/i(x)=x+lnx—1有唯一的零点元=1,

故侬:=1,即％=工时，满足g-l+ln(mx)=0,

m

当了=!时，g215185…

正一府+版一版+1=1'

mm

故g(x)的拐点为

2.(23-24高二下•宁夏•阶段练习)己知函数〃x)=(x—1)/—62.

(1)当时，求证：/(%)>-2x2-l；

⑵当a=-l时，函数g(x)=〃x)-xe,+x在(0,+e)上的最大值为"z,求不超过机的最大整

数.

【答案】⑴证明见解析；

(2)-1.

【分析】(1)令网幻=〃幻+2犬2+1,利用导数证明1n20即可;

(2)利用导数求g(无)的最大值，得不超过〃，的最大整数.

【详解】(1)4(-^)=/(%)+2x2+1=(x-1)er-ox2+2x2+1,

则/'(x)=x(e*-2a+4),

当aWO时,xe(Yo,0)时，F(x)<0,尸(x)单调递减,

%w(0,+oo)时，Ff(x)>0,尸(x)单调递增，

则网x)1Al=产(0)=0,

所以尸(x)NO,gp/(x)>-2/-l.

(2)当a=T时，g(x)=f(%)—%el+x=-ex+x2+x,

g,(x)=-eT+2x+l,

令/z(x)=-e'+2x+l,贝=-e*+2,

当xe(O,ln2)时，h'(x)>0,则函数g'(x)单调递增，

xe(ln2,w)时，〃(x)<0,则函数g'(x)单调递减，

又g'(0)=0,g,(l)=3-e>0,g'[£|=4-£=厢-府<0,

所以存在唯一的％41,0,使/(为)=0,即e』=2x°+l,

所以当飞«0,%)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

时，g[x)<0,g(x)单调递减,

gOOxg"。)，

=

加=g(%o)=—e*。+XQ+XQ——(2%o+1)+%Q+XQ=XQ_x。—1(—-l-i

，所以加£(-1，一；

又/

所以不超过机的最大整数为-1.

类型三：利用二阶导数求参数的范围

典型例题

例题1.(23-24高二下•江苏苏州•阶段练习)己知了(*=17M(e为自然对数的底数)

(1)求曲线y=在点(0,”0))处的切线方程；

(2)求证：当尤>0时，恒成立；

x+2

kx

(3)已知%>0,如果当1>0时，/(力>丁；恒成立，求上的最大值.

Je+1

【答案】⑴y=gx

⑵证明见解析

(3)1

【分析】(1)求导，然后利用导数的几何意义求切线方程；

(2)将不等式转化为e*>x+l恒成立，构造函数g(x)=e-x-1,x>0,然后求其最小值

即可；

(3)将不等式转化为e，-1-丘>0恒成立，构造函数//(x)=e*-1-辰，然后求导研究其最

值即可.

e"e'+l)_e"e'-l)ex

【详解】(1)由已知尸(x)='J]——-=7——2口，

(51)"

则八。)=高4,/(。)=急肛

所以曲线y=/(x)在点(0,〃0))处的切线方程为y=

(2)——->1———«>ex>x+1,

v7x+2ex+lx+2ex+lx+2

设g(x)=eX—x—l,x>0,

则/⑺=1>0,所以g(x)在(0,+」)上单调递增,

所以g(%)>g⑼=0,即e"-x-1>0,

所以当X>。时，”力啖恒成立;

(3)当％>0,左>0时，f(x\>-^—<=>-——-><^>ex-1>kx<^ex-l-kx>0,

v7ex+le%+le%+l

令/?(%)=/一1一区，x>0,贝ij//(%)=e"—左，

令v(x)=ex-左，则/⑺=e”>0,所以〃(%)在(0,+。)上单调递增,

令”(x)>0,得光>ln左，令〃'(x)vO,得xvlnk,

当In/40,即0v左<1时，力⑺在(0,+功上单调递增，

所以/i(x)>M°)=°，即e-l—京〉0恒成立，

当In左>0,即左>1时，力(4)在(OJn左)上单调递减，在(in匕y)上单调递增，

所以/1(足左)<刈。)=0,不符合1-京〉0恒成立，

所以。〈左<1,

kx

所以当x>0时，/(x)〉E恒成立，上的最大值为1.

7e+1

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是等价转化为证明e-l-近>0在(0,+“)上恒成立，

然后再设新函数，利用导数得到范围.

例题2.(23-24高三下•江西•阶段练习)记函数y="x)(xe。)在。上的导函数为y=/'(x),

若尸'(x)>0(其中尸(x)=J(x)]')恒成立，则称y=/(x)在。上具有性质

(1)判断函数y=log“x(a>0且"1)在区间(0,+句上是否具有性质"?并说明理由；

(2)设。力均为实常数，若奇函数8(尤)=2/+62+三在了之处取得极值，是否存在实数c,

使得y=g(x)在区间匕y)上具有性质〃？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说

明理由；

⑶设左eZ且左>0,对于任意的工€(0,内)，不等式""(x+l)>上成立,求人的最大值.

XX+1

【答案】⑴不具有，理由见解析

⑵存在，(0,+8)

(3)3

【分析】(1)根据题意，求得r(x)=：J〃(x)=。一,结合新定义，即可求解；

x\naxma

(2)根据题意，求得g(x)=2/+g,得至Ijg，(x)=6/-A，进而得至IJg"(x)=12x+4,进

XXX

而新定义，即可求解；

(3)根据题意，转化为&<(x+l)[l+ln(x+l)],々b(x)=(x+l)[l+ln(x+l”,求得

XX

尸⑺=i(；+l)[令G(x)=x-ln(x+l)-l,利用导数求得函数G(x)的单调性，结合

G(2)<0,G(3)>0,得到存在毛e(2,3),使G(x0)=O,结合函数的单调性，求得尸⑴的最

小值为尸伉)，由G(x0)=O,得到求得—x0)e(3,4),即可求解.

【详解】⑴解：^y=/(x)=logax,xe(0,-H»),贝"⑺二-^!—J"(尤,

尤In。xln〃

-i_i

当Ova<l时，f，r(x)=~i——>0；当a>l时，f，f(x)=~i——<0,

xinaxIna

所以当0<。<1时，函数y=log«x在区间(0,+8)上具有性质"；

当时，函数y=log”尤在区间(0,+8)上不具有性质V.

/?h

(2)解：因为且(%)=2%3+依2+_,所以,(%)=6冗2+2以一--,

%x

因为g(x)在尤=1处取得极值，且g(x)为奇函数，

所以g(x)在x=-1处也取得极值，则：，：)=6-2a-b=0,解得"°，6=6，

所以g(无)=2/+9,可得短(尤)=6/一_与,

XX

当x>0时，令夕(力>0,解得x>l；令g[x)<0,解得0<x<l,

故g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，满足g(无)在x=l处取得极值，

19

所以g"(x)=12x+12尸=⑵+三，

1?

当x«0,y)时，g"(x)=12尤+了>0恒成立，

所以，存在实数C,使得y=g(x)在区间[。,+⑹上具有性质加，且C的取值范围是(0,+8).

(3)解：因为xe(O,y),所以1+E(x+1)>上,即左<310*131,

Xx+1X

令ax)=(x+l)[l+ln(x+l)],则/x)「一叱+1)-1,

X兀

1Y

令G(九)=%—ln(x+l)—l,贝!JG'(x)=l-----=----,

当x«0,y)时，G(x)>0,G(x)在区间(0,+8)上单调递增，

又因为G(2)=l—ln3<0,G(3)=2—ln4>0,

所以存在毛£(2,3),使G(%o)=毛-ln(Xo+l)-l=O,

因为当xe(O,x0)时，G(x)<0尸(x)<0,F(x)在区间(O,x0)上单调递减，

当尤e(与,+oo)时，G(x)>0尸(x)>0,尸(x)在区间优,+oo)上单调递增，

所以当xe(0,y)时，F(x)的最小值为F(x0)=伍+l)[l+g+l)],

由G(x())=尤o—In(龙o+l)—1=0,有始(为+1)=无0_1,

所以小。)=见史31-

玉)

因为X。42,3),所以尸(与)«3,4),

又因为左<G+1)口+1/+1)]

=F(x)恒成立，所以左</(不)，

因为keZ且左>0,所以人的最大值为3.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

练透核心考点

1.(23-24高三下•山东潍坊•阶段练习)已知函数/⑺=ae'-；/-x.

⑴若/")在R上单调递增，求实数a的取值范围；

⑵当4=1时，证明：VXG(-2,+00),/(x)>sin%.

【答案】⑴[1,+«0

(2)证明见解析

【分析】

(1)求得尸(x)=ae;x-1,转化为尸(x)2。在R上恒成立，进而转化为“二?在R上恒

成立，令刈月=可，得出函数外月的单调性和最大值，即可求解.

(2)当。=1时，得到〃司=6。]27且/(0)=1,当x>0时，只需使得利用导

数求得了⑺单调递增，得到/(x)>/(0)；当x=0时，显然满足了(期>1；当-2<x<0时,

由sinxvO和/(%)>0,得到f(x)>sinx,即可得证.

【详解】(1)

x

由函数/(力=〃©"-；入2一%,可得f^x)=ae-x-lf

因为fM在R上单调递增，可得之。在R上恒成立,

即海-％-120在R上恒成立，即盛中在R上恒成立，

e

令〃(x)=/,可得矶x)J-(；+l)=£,

当x>0时，〃(x)<0,版龙)在(0,+8)单调递减；

当无<0时，h'(x)>0,/z(x)在(一8,0)单调递增，

所以当x=0时，函数版x)取得极大值，最大值碗)=1,所以。21,

即实数。的取值范围为口,+⑹.

(2)

当。=1时，/(x)=e^-1x2-x,可得"0)=1

可得r(x)=e'-尤-1,要使得fa)>sim,只需使得/(x)>l,

当x>0时，令g(x)=/'(x)=eX—x—1,可得g，(x)=e=120,

所以g(无)在(0,+8)上单调递增，

又由g(0)=0,所以g(x)>g(x)=0,所以f(x)在(0,y)上单调递增,

所以/。)>/(0)=1；

当x=0时，可得"0)=1且sin0=0,所以〃0)>sin0,满足/(x)>l：

1191191

当一2<x<0时，可得sinx<0,因为e*>0且――9-尤=――(%+1?+->――(-2+1)-+-=0,

22''22'72

所以/(尤)>0,所以f(x)>Onx,

综上可得，对于Vxe(-2,+co),都有f(x)>sinx.

【点睛】

关键点睛：本题考查导数的综合应用，根据函数的单调性求解参数范围以及利用导数证明不

等式，解答的关键是将证明以4-2,+动时，不等式/'(x)>sinx成立，转化为证明

然后分类讨论x的取值范围，结合函数单调性，即可证明结论.

2.(2023•河南・三模)已知函数/(x)=lnx-x+2,e为自然对数的底数.

(1)若此函数的图象与直线x=L交于点P,求该曲线在点P处的切线方程；

e

(2)判断不等式/(x)>0的整数解的个数；

⑶当・<e2时，(1+依e2r—a)/(x)Wxe2r-l,求实数。的取值范围.

【答案】⑴1=(eT)x

(2)3

⑶aWl----

e-1

【分析】

(1)根据导数的几何意义可求得直线的斜率，继而可解；

(2)利用导数考查函数/(X)的单调性，确定零点所在区间即可求解；

(3)变形不等式，参变分离后，利用换元法变形不等式，利用导数考查函数的单调性即可

求解.

【详解】(1)=所以尸=X/f-Kln---