2024年人教版初中九年级数学上册同步讲义：一元二次方程应用题一

第06课一元二次方程应用题（1）

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课程标准

1、掌握列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、歹h解、检、答.

2、能利用一元二次方程解决问题：

①传播类问题；

②平均增长（降低）率问题

③其他增长率问题

④握手问题与送礼问题

⑤面积类问题（内挖型、外扩型、开路型、建舍型）.

3、能理找出等量关系，理解解列等量关系的过程。

根知识精讲

知识点传播类问题

1、传播类问题

一个人传染X人

传染源

第一轮新传染人数第一轮传染后总感染人数第二轮新传染人数第二轮传染后总感染人数

〃%+〃+〃(〃%+〃)

=(〃%+〃)+xdax+a)

aaxax+ax(ax+a)=(〃%+〃)(1+1)

=〃(x+l)(l+x)

=〃(l+x)2

【解释】

若传染源的数量为a,每轮传染的数量为x,则经过一轮传染后感染的总数量为a±ax7

则经过两轮传染后感染的总数量为a+ax+a（a+ax）整理后的结果为如处.若经过两轮传染后感染的总数量

为b,则所列方程为a(l+x)2=b.

【注意】

传播类问题所列方程

1.开始数量为L每轮感染的数量为x,经n轮传染后的数量为b,则所列方程为(1+x)』.

2.开始数量为a,每轮感染的数量为x,经n轮传染后的数量为b,则所列方程为a(l+x)n=b.

知识点02平均增长(降低)率问题

设平均增长率为X

终止量为b

起

起始量与增长2次与

始增长1次增长2次三者总和

增长2次之差增长1次之差

量

a〃(1+X)a(1+x)(l+%)=a(l+x)2a+a(l+x)+a(l+x)2ci(l+x)2—a

设平均降低率为X

终止量为b

起

起始量与降低2次与

始降低1次降低2次三者总和

降低2次之差降低1次之差

量

aa(l-x)a(l-x)(l-x)=a(l-x)2a+ci(l—x)+ci(l—x)2a—ci(l—x)2a(l—x)一—%)2

【解释】

①若开始的数量为a,增长率为x,则经过一次增长后的数量为a(l+x),经过两次增长后的总数量为a(l+xB若经

过两次增长后的数量为b,则可列方程a(l+x)2=b.

②若开始的数量为a,降低率为x,则经过一次增长后的数量为a(1—x),经过两次增长后的总数量为a(l—xB若

经过两次增长后的数量为b,则可列方程a(l—x)2=b.

【注意】

增长率(或降低率)问题的规律

1.增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(l+x),两次增长后的值为a(l+xB依次类推,n

次增长后的值为a(l+x)n.

2.降低率问题:设基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为皿。两次降低后的值为a(l-xB依次类推,n

次降低后的值为a(l-x)n.

知识点03其他增长率问题

1、转发消息类

A收到一条微信，转发给x人，要求这些收到微信的人继续转发给x人，此时共有b个人收到微信。

一开始，第一次转发后第二次转发后

第一次转发次数第二次转发次数

收到微信的人数收到微信的总人数收到微信的总人数

1X1+X(1+x)x1+%+%2

【解释】

A收到消息后，转发给x个人，此时，一共有1+X个人收到消息，第二次转发给(1+X)X个人，止匕时,

一共有1+X+V个人收到消息。

【注意】

转发消息类问题与传染问题类型不同的是，收到消息的人，只转发工次，转发给X个人后，再不转发;

而传染问题，每个被感染的人，每一轮传播都会传染给X个人。

2、长枝干类

1个主干长X个枝干，每个枝干长x个小枝干，共有b个分支,

则l+X+%2=b

知识点04握手问题和送礼问题

手问题

设有X个人互相握手，每个人都站起来和其他(x-1)个人握手，每个人都站起来和其他人握手之后，一共

握手x(x-1)次，但任意两人之间都握手2次，实际每两人之间只需要握手一次，设握手总次数为b,则

；x(x-1)=Z?：

2、送礼问题

设有X个人互相送卡片，每个人都给其余(X-1)个人送一张卡片，每个人都给其他人送卡片之后，一共送

了x(x-l)

如图所示的阴影部分矩形的长为a,宽为b,空白部分宽

均为x,则矩形ABCD的面积可表示为

(a+2x)(b+2x).

如图所示矩形的长为a,宽为b,在矩形中挖四条等宽的

小路，路宽均为x,则剩余部分(绿色阴影)面积可表

示为(a-2x)()一2x).

①如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD,

篱笆总长为a,设垂直于墙面的边CD长为x,则矩形

BC边的长为(a-2x),矩形ABCD的面积为

-2x)；

②如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD,

中间还有一道篱笆EF,篱笆总长为a,设垂直于墙面

的边CD长为x,则矩形BC边的长为(a-3x)，矩形

ABCD的面积为式a-3x)；

③如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD,

并开一个宽度为b的门，篱笆总长为a,设垂直于墙面

的边CD长为x,则矩形BC边的长为(。+人—2x),

矩形ABCD的面积为x(a+匕-2x)；

B能力拓展

考法01传播问题

【例题1】肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染

将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程()

A.l+x=225B.l+x?=225

C.(1+x)2=225D.1+(1+x2)=225

【答案】C

【解析】

【分析】

此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染(x+1)人，第二轮共感染Mx+D+x+l=(x+l)(x+l)人，根据题意

列方程即可.

【详解】

解：设1人平均感染无人，

依题意可列方程：(1+以=225.

故选：C.

【点睛】

此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决

问题的关键.判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

【即学即练1］有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均

一个人传染的人数是()

A.14B.11C.10D.9

【答案】B

【解析】

【分析】

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得l+x+x(l+x)=144,然后求解即可.

【详解】

解：设每轮传染中平均一个人传染了尤个人，由题意可得：

1+X+X(1+X)=144,

解得：玉=11,%=-13(舍去)，

故选B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键.

【即学即练2】2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对

人类的考验，将对全球造成巨大影响.新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，

经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：

(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？

(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？

【答案】(1)每轮传染中平均每个人传染了15个人；(2)按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096

人患病.

【解析】

【分析】

(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出

关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

(2)根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数x(1+15),即可求出结论.

【详解】

(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人，

依题意，得：1+x+x(1+x)=256,

解得：X7=15,尤2=-17(不合题意，舍去).

答：每轮传染中平均每个人传染了15个人.

(2)256x(1+15)=4096(人).

答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病.

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

考法02平均变化率

［例题2］某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均

增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为()

A.80(1+x)2=100B.100(1-x)2=80C.80(l+2x)=100D.80(1+x2)=100

【答案】A

【解析】

【分析】

利用增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x,根据“从80吨增加到100吨”,

即可得出方程.

【详解】

由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x,

根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨，

2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，

即：80(1+x)2=100,

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）.解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年

的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程.

【即学即练1】某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约

为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入

的年平均增长率约为（）

A.2%B.4.4%C.20%D.44%

【答案】C

【解析】

【详解】

分析：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据2017年及2019年“竹文化”旅

游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

详解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,

根据题意得：2（1+x）2=2.88,

解得：xi=0.2=20%,X2--2.2（不合题意,舍去）.

答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.

故选C.

点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

【即学即练2】某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢

铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为无，则可得方程

（）

A.560(1+x)2=1850B.560+560(1+x)2=1850

C.560(l+x)+560(l+x)2=1850D.560+560(1+尤)+560(1+无产=1850

【答案】D

【解析】

【详解】

第一个月是560,第二个月是560(1+x),第三月是560(1+无)2

,所以第一季度总计560+560(1+x)+560(1+x)2=1850,选D.

【即学即练3】某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在

售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是.

【答案】20%

【解析】

【详解】

解：设该药品平均每次降价的百分率是x,根据题意得25x(1-x)(1-x)=16,

整理得25(1-4=16，

解得x=0.2或1.8(不合题意，舍去)；

即该药品平均每次降价的百分率是20%.

考法03枝干问题

【例题3】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又

长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】

设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43,即可得出关于x的一元二次

方程，解之取其正值即可得出结论

【详解】

设这种植物每个支干长出X个小分支，

依题意，得：l+x+x'43,

解得：士=-7（舍去），々=6.

故选C.

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程

【即学即练1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小

分支的总数是13,则每个支干长出（）

A.2根小分支B.3根小分支C.4根小分支D.5根小分支

【答案】B

【解析】

【分析】

先设每个支干长出x个分支，则每个分支又长出尤个小分支，尤个分支共长出N个小分支；再根据主干有1

个，分支有无个，小分支有N个，列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的无的值即可.

【详解】

设每个支干长出彳个分支，

根据题意得

l+x+x*x=13,

整理得x2+x-12=0,

解得x/=3,尤2=-4（不符合题意舍去）,

即每个支干长出3个分支.

故应选B.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量

关系，列出方程，再求解.

【即学即练2】某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数

共57根，则主干长出枝干的根数为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

分别设出枝干和小分支的数目，列出方程，解方程即可得出答案.

【详解】

设枝干有x根，则小分支有V根

根据题意可得：X2+.X+1=57

解得：x=7或x=-8（不合题意，舍去）

故答案选择A.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是根据题目意思列出方程.

考法04握手问题与送礼问题

【例题4】“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员

赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（

A.x(x+1)=210B.x(x-1)=210

C.2x(x-1)=210D.；x(x-1)=210

【答案】B

【解析】

【详解】

设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(XT)本；

则总共送出的图书为X(x-l)；

又知实际互赠了210本图书，

则x(x-l)=210.

故选：B.

【即学即练1】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证

群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该

群一共有()

A.9人B.10人C.11人D.12人

【答案】B

【解析】

【详解】

试题解析：设这个QQ群共有x人，

依题意有x(x-1)=90,

解得：x=-9(舍去)或x=10,

.••这个QQ群共有10人.

故选B.

【即学即练2】某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次

比赛的球队数是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】

【分析】

根据球赛问题模型列出方程即可求解.

【详解】

解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得:

yx（x-1）=36,

化简，得x2-x-72=0,

解得xi=9,x2=-8（舍去），

答：参加此次比赛的球队数是9队.

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题.

【即学即练3】在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有二人参加这次聚会，则列

出方程正确的是（）

A.<%-1)=10B."一忆］。

2

C.x(x+l)=10D,^^=10

2

【答案】B

【解析】

【详解】

分析：如果有X人参加了聚会，则每个人需要握手（X-1）次，X人共需握手X（X-1）次；而每两个人都握

了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：x（xT）次;已知“所有人共握手10次”，据此可

2

列出关于x的方程.

解答：解：设X人参加这次聚会，则每个人需握手：X-1（次）；

依题意，可列方程为：@二D=10；

2

故选B.

考法05面积问题

［例题5］原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021

年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为

30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），

若设彩纸的宽度为xcm,根据题意可列方程（）

COP1S2021

CHINA

A.(30+2x)(20+2x)=1200B.(30+x)(20+x)=1200

C.(30-2A-)(20-2X)=600D.(30+x)(20+x)=600

【答案】A

【解析】

【分析】

由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程;

【详解】

依题意得：(30+2X)(20+2X)=30X20X2,

即（30+2x）（20+2x）=1200；

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列式是解题的关键.

【即学即练1】如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm,宽为50cm

的挂图，设边框的宽为疣/，如果风景画的面积是2800c/,下列方程符合题意的是（）

A.(50+x)(80+x)=2800B.(50+2x)(80+2尤)=2800

C.(50-x)(80-尤)=2800D.(50-2x)(80-2x)=2800

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图求出风景画的长、宽，再利用矩形的面积公式即可得出答案.

【详解】

由题意得：风景画的长为：（80-2x）cm,宽为：（50-2x）cm

利用矩形的面积公式得：（80-2x）（50-2%）=2800

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意求出风景画的长、宽是解题关键.

【即学即练2】如图，某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余

的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为无m,则下面所列方程正确的是(

32m

A.(32-2x)(20-x)=570B.32r+2x20尤=32x20-570

C.(32-x)(20-x)=32x20-570D.32x+2x20x-2尤2=570

【答案】A

【解析】

【详解】

解：设道路的宽为xm,根据题意得：

(32-2x)(20-x)=570,

故选：A

【即学即练3】如图，是一个长为30m,宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地

方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为米.

【答案】1.

【解析】

【详解】

试题分析：设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30-2x)(20-x)=532,

整理，得x2-35x+34=0.

解得，X1=1,X2=34.

V34>30(不合题意，舍去)，

x=l.

答：小道进出口的宽度应为1米.

考点：一元二次方程的应用.

【即学即练4】如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个

大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB,BC各为多少米？

BC

【答案】羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.

【解析】

【详解】

解:设的长度为x米，则的长度为(100-4%)米.

根据题意得(100-4x)x=400,

解得尤7=20,X2-5.

则100-4x=20或100-4x=80.

V80>25,

/.X2—5舍去.

gpAB=20,BC=2Q.

故羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.

【即学即练5】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长

的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多

少时，猪舍面积为80m2?

住房畸

【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2

【解析】

解:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm,可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+l）m,

由题意得x（25-2x+l）=80,

化简，得炉-13元+40=0,解得：％=5,无2=8,

当x=5时，25—2x+l=25—2x5+l=16>12（舍去），

当x=8时，25-2x+l=25-2x8+1=10<12,

答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.

【即学即练6】一幅长20c"、宽12c机的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：

2.设竖彩条的宽度为xaw,图案中三条彩条所占面积为

（1）求y与尤之间的函数关系式；

2

（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的（，求横、竖彩条的宽度.

t

12

【答案】（1）y=-3/+54x；（2）横彩条的宽度为3cm,竖彩条的宽度为2c%

【解析】

3

(1)根据题意可知，横彩条的宽度为］xcm,

33

/.y=20x—x+2x12*x-2x—x*x=-3x2+54x,

即y与x之间的函数关系式为y=-3x2+54x；

2

(2)根据题意，得：-3X2+54X==X20X12,

整理，得：x2-18x+32=0,

解得：xi=2,X2=16(舍)，

.3

•・x-3，

2

答：横彩条的宽度为3cm,竖彩条的宽度为2cm.

考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用.

【即学即练7】如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m,另三边用竹篱

笆围成，篱笆总长35m,围成长方形的养鸡场四周不能有空隙.

(1)要围成养鸡场的面积为150m2,则养鸡场的长和宽各为多少？

(2)围成养鸡场的面积能否达到200m2?请说明理由.

sl---------1c

【答案】(1)养鸡场的宽是10m,长为15m；(2)围成养鸡场的面积不能达到200m2,见解析

【解析】

解：(1)设养鸡场的宽为xm,根据题意得：

尤（35-2x）=150,

解得：x/=10,X2—1.5,

当尤/=10时，35-2尤=15<18,

当检=7.5时35-2x=20>18,（舍去）,

则养鸡场的宽是10m,长为15m.

(2)设养鸡场的宽为xm,根据题意得：

无(35-2元)=200,

整理得：2N-35x+200=0,

△=(-35)2-4x2x200=1225-1600=-375<0,

因为方程没有实数根，

所以围成养鸡场的面积不能达到200m2.

航分层堤分

题组A基础过关练

1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数X满足的方

程为()

A.1+x+x(1+x)=100B.x(1+x)=100

C.l+x+x2=100D.x2=100

【答案】A

【解析】

【分析】

每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，即经过第一轮有(x+1)人感染，则经过第二轮有[(x+D+x(x+1)]

人得了流感，根据两次一共有100患了流感即可列出方程.

【详解】

解：由题可知1+x+x(1+x)=100,

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用，属于简单题，认真审题,找到等量关系是解题关键.

2.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理，要在中间开辟一

横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据

题意，列方程为()

A.35x20-35x-20x+2x2=600B.35x20-35x-2x20.r=600

C.(35-2X)(20-x)=600D.(35-%)(20-2x)=600

【答案】C

【解析】

【分析】

把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可.

【详解】

解:如图，设小道的宽为初1,

则种植部分的长为(35-,宽为(20-力利

由题意得：(35-2x)(20-x)=600.

故选C.

【点睛】

考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长

与宽是解决本题的关键.

3.一棵树主干长出若干个枝干，每个枝干又长出枝干数两倍的小分支，主干、枝干和小分支共56个，则主

干长出的枝干数是（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

【答案】A

【解析】

【分析】

设主干长出x根枝干，根据主干、枝干和小分支总数共56根，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其

正值即可得出结论.

【详解】

解：设主干长出x根枝干，

依题意，得：l+x+2x2=56,

解得：Xl=5,X2=-y（不合题意，舍去）.

故选：A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

4.在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图.要

使整个挂图的面积为2800加2,设纸边的宽为x而，则可列出方程为（）

A.x2+100x-400=0B.x2-100%-400=0

C.x2+50x-100=0D.x2-50x-100=0

【答案】C

【解析】

【分析】

如果设纸边的宽为XCTM,那么挂图的长和宽应该为（40+2x）和（60+2x）,根据总面积即可列出方程.

【详解】

解：设纸边的宽为比拼，那么挂图的长和宽应该为（60+2%）和（40+2x）,

根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）=2800,

整理得：尤2+50、-100=0,

故选C.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知面积的公式.

5.国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,

通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平

均下降率为x,根据题意列方程得（）

A.9（1-2x）=1B.9（1）2=1A9（l+2x）=lD.9（l+x）z=l

【答案】B

【解析】

【分析】

等量关系为：2016年贫困人口x(l-下降率y=2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可.

【详解】

解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x,根据题意得：

9(1-蛾=1,

故选B.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键.

6.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x,

则由题意列方程应为()

A.200(1+x)2=1000

B.200+200x2%=1000

C.200+200x3尤=1000

D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000

【答案】D

【解析】

【分析】

根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200(1+x),三月为200(1+x)2,三个月相加即得第一季度的

营业额.

【详解】

解：：一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x,

.••二月份的营业额为200x(1+尤),

，三月份的营业额为200x(1+x)x(1+x)=200x(1+x)2,

可歹！J方程为200+200X(1+x)+200x(1+x)2=1000,

BP200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000.

故选D.

【点睛】

此题考查增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和.

7.圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方

程为.

【答案】x(x-1)=110

【解析】

【分析】

设这个小组有X人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要

送X—1张贺卡，所以全组共送x(x—1)张，又知全组共送贺卡110张，由送贺卡数相等为等量关系，列

出方程即可.

【详解】

设这个小组有无人，则每人应送出厂1张贺卡，由题意得：

x(x-l)=110,

故答案为X(尤T)=H0.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

8.某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年

屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是.

【答案】20%

【解析】

【详解】

分析：本题需先设出这个增长率是x,再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案.

解答：解：设这个增长率是X,根据题意得：

2000x（1+x）2=2880

解得:xi=20%,X2=-220%（舍去）

故答案为20%.

9.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为.

【答案】20%

【解析】

【分析】

解答此题利用的数量关系是：商品原来价格X（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解

答即可.

【详解】

设这种商品平均每次降价的百分率为无，根据题意列方程得：

125（l-x）2=80

解得：%7=0.2=20%,&=1.8（不合题意，舍去）

故答案为20%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键.

10.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为.

【答案】11

【解析】

【分析】

设参加酒会的人数为X人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，

解之取其正值即可得出结论.

【详解】

解：设参加酒会的人数为x人，

根据题意得：|x（x-1）=55,

整理，得：x2-x-110=0,

解得：Xl=ll,X2=-10（不合题意，舍去）.

答：参加酒会的人数为11人.

故答案为H.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

11.2020年1月份以来，新型冠状病毒肺炎在我国蔓延，假如有一人感染新型冠状病毒肺炎，经过两轮传

染后共有64人患病.

（1）求每轮传染中平均每个人传染了几个健康的人；

（2）如果不及时控制，第三轮传染将又有多少个健康的人患病？

【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人；（2）第三轮传染将又有448个健康的人患病.

【解析】

【分析】

（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有64人患病，即可得出

关于X的一元二次方程，解之即可得出结论；

(2)利用经过两轮传染后的人数乘以每轮平均传染人数，即可求出结论.

【详解】

(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个健康的人.

依题意，得l+x+(l+无)x=64,

解得再=7,3=-9(不合题意，舍去).

答：每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人.

(2)64x7=448(个).

答：第三轮传染将又有448个健康的人患病.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

12.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是

361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.

(1)求每个月生产成本的下降率；

(2)请你预测4月份该公司的生产成本.

【答案】(1)每个月生产成本的下降率为5%；(2)预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.

【解析】

【分析】

(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程,

解之取其较小值即可得出结论；

(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本x(1-下降率)，即可得出结论.

【详解】

(1)设每个月生产成本的下降率为X,

根据题意得：400(1-x)2=361,

解得：xi=0.05=5%,X2=1.95(不合题意，舍去).

答：每个月生产成本的下降率为5%；

(2)361x(1-5%)=342.95(万元)，

答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.

题组B能力提升练

1.如图，斯是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD,中间用

栅栏隔成同样三块.若要围成的矩形面积为60平方米，则的长为米.

IIII

IIII

■…一I…一1一…:

AR

【答案】12

【解析】

【分析】

由与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB的长；根据题意

可得方程x(32-4x)=60,解此方程即可求得x的值，又由AB=32-4x(米)，即可求得AB的值，注意EF

是一面长18米的墙，即ABC18米.

【详解】

解：：与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，

DMPC

IIII

IIII

i…一

ANOB

.\BC=MN=PQ=x米,

AB=32-AD-MN-PQ-BC=32-4x（:米），

根据题意得：x（32-4x）=60,

解得：x=3或x=5,

当x=3时，AB=32-4x=20>18（舍去）；

当x=5时，AB=32-4x=12（米），

.4.AB的长为12米.

故答案为12.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并注意解要符合实际意义.

2.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示.社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地,

并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道.如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通

道的宽度应是多少米？

21m

【答案】人行道的宽度为2米

【解析】

【分析】

21

人行道的宽度为x米，则每块矩形绿地的长度为：3丁米，宽度为：（8-2x）米，根据两块绿地的面积之

和为60平方米，列方程求解即可.

【详解】

解:根据题意，得（21-3力（8-2力=60,

整理得％2_口%+18=0.

解得玉=2,x2=9.

x=9不符合题意，舍去,

x=2.

答：人行通道的宽度是2米.

【点睛】

本题考查了一元二次方程法应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.

3.如图是宽为20m,长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成六块大小相

等的试验地，要使试验地的面积为570m2,问：道路宽为多少米？

TI■■

2101■■

<-----32------>

【答案】1米

【解析】

【分析】

设道路宽为x米，根据题意列出一元二次方程即可求出结论.

【详解】

解：设道路宽为x米，依题意得：

(32-2x)(20—x)=570

解得占=1,々=35(不合题意，舍去)

答：道路宽为1米.

【点睛】

此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键.

4.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长

15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，

(1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2,求鸡场的长(AB)和宽(BC)；

(2)该扶贫单位想要建一个lOOitf的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由.

z)|IF|C

AEB

【答案】(1)鸡场的长(AB)为15m,宽(BC)为6m；(2)不能，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m,根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2,即可得出关于x

的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入(33-3x)中，取使得(33-3x)小于等于15的值即可得

出结论；

(2)不能，理由如下，设BC=ym,则AB=(33-3y)m,同(1)可得出关于y的一元二次方程，由根的判

别式A=-lll<0,即可得出结论.

【详解】

解：(1)设BC=