湖南省邵东市某中学2025届高三年级上册第一次月考数学试题（含答案解析）

湖南省邵东市创新高级中学2025届高三上学期第一次月考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={x卜>一•|1,N=[x£Z-1<x<l|,则"C|N=()

A.jx――<x<1?B.{—2,—1,0}C.{—1,0}D.{051}

2.已知命题夕：WxwRjx—l|<l,命题0闫工£氏/_%+1<0,贝U()

A.命题)和命题夕都是真命题

B.命题夕的否定和命题9都是真命题

C.命题9的否定和命题。都是真命题

D.命题夕的否定和命题夕的否定都是真命题

3.已知a=log32,b=60°3,c=log45xlog52,则()

A.c<b<aB.b<c<a

C.c<a<bD.a<c<b

4.函数y=ln(e*+er)的图像大致是()

5.使得“函数/(x)=J7+2ax-f在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是

A.ciW-1B.0<tz<3C.-3<a<0D.—3<a<-1

试卷第1页，共4页

6.苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier,1550-1611）发明的对数及对数表（如下表），为当时的

天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成

N=axl0,'（l<tz<10,neZ）,贝!］IgN=〃+lga（OVlga<1）,这样我们可以知道N的位数.已知

正整数是35位数，则M的值为（）

N23451112131415

lgN0.300.480.600.701.041.081.111.151.18

A.3B.12C.13D.14

7.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先

将5g的祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放

在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾

客.你认为顾客购得的黄金（）

附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有网吗4，其中叫、叫分别为左、右盘中物体质

量，右、“分别为左右横梁臂长.

A.等于10gB.小于10gC.大于10gD.不确定

8.已知定义在R上的函数〃力满足f（x+l）=2/（x）,当xe（O,l］时，〃x）=-：sin也，若

对任意间，都有字，则比的取值范围是（）

—oo——oo——oo——oo—

4323

二、多选题

9.已知函数/(%)=§/_%—1,则

（）的极小值为［

A./（无）有一个零点B./X

C./（尤）的对称中心为（0,1）D.直线尸-x-1是曲线V=/（x）的切线

10.已知关于无的不等式的解集为“，则下列说法错误的是（）

A.M=0,则Q<0,△<0

B.若M=（-l,3）,则关于x的不等式-cf—bx-b>cx+4a的解集为（—8,-2）U&+

试卷第2页，共4页

8)

zy-I-

C.若"■=｛刈工4/户0为常数｝,且。<6,则^----的最小值为2+20

b-a

D.若a<O,。/+6x+c<0的解集A/一定不为0

11.已知函数/(尤)与g(x)的定义域均为R,〃x+3)+g(x)=3,/(x)-g(-l-x)=l,且

g(-l)=2,g(x-l)为偶函数，则下列选项正确的是()

A.函数g(x)的图象关于x=-l对称B.〃2)=1

2025

c.g(2)=oD.£［/(左)+g(切=6074

k=\

三、填空题

12.已知函数了=/(；》+1］的定义域是［2,4］,则函数g(x)=出；］：)2)的定义域为.

13.设函数>=/"(x)是了=/'(x)的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数

/(x)=a?+次+“+d(°片0)的图像都有对称中心a,/宙))，其中/满足/〃(%)=0.已知

三次函数/'(x)=x3+2x—l,若玉+苫2=0,则/'(否)+/@2)=.

14.设函数〃x)="一"：、，当。=0时，/(x)的值域为；若/'(%)的最小值

为1,则。的取值范围是.

四、解答题

15.已知△4BC中，。也c分别为内角4CC的对边，且2asin4=(26+c)sinB+(2c+b)sinC.

(1)求角A的大小；

⑵设点。为BC上一点，4D是YABC的角平分线，且ZD=2,b=3,求V48c的面积.

16.已知函数/(x)=lnx-2x.

⑴求函数/(x)的最大值；

(2)若不等式/(力4(。-2卜+2在(0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.

试卷第3页，共4页

17.已知抛物线C:/=2px5>0)的焦点为尸，点。(%,2)在抛物线。上，且刊=2.

(1)求抛物线C的标准方程；

⑵抛物线的准线与x轴交于点K,过K的直线/交抛物线C于两点，且

西7=4丽(1,2],点G为线段的垂直平分线与x轴的交点，求点G的横坐标％的

取值范围.

18.已知函数f(x)=x|x-a|+2.

⑴当。=2时，求/'(x)的单调增区间；

⑵若川,马日0,2],使|/(西)-/(9)|>2,求实数。的取值范围.

19.如果数列｛。.｝满足：%+4+%+…+%=0且同+区|+同+…+|a」=l("Z3,"eN*),则称

｛5｝为〃阶“归化”数列.

(1)若某3阶“归化”数列｛%｝是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；

⑵若某11阶“归化”数列｛%｝是等差数列，求该数列的通项公式；

(3)若｛%｝为n阶"归化"数列，求证％+|a2+|a3+■••+-«»

23n22n

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CDCADCCBABDAC

题号11

答案ABD

1.C

【分析】由集合的交集运算求解.

【详解】N=[eZ|-：<x<1]=卜2,-1,0},

则McN={-l,O},

故选：C

2.D

【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解.

【详解】对于命题P：VxeR,|x-l|<l,当xVO或xN2时，故命题。是假命题，

命题0的否定为真命题；

13

对于命题q：*eR,x2-x+l<0,因为/一x+1=(x-§)?+0,所以命题4为假命题，命

题4的否定为真命题；

综上可得：命题0的否定和命题0的否定都是真命题，

故选：D

3.C

【分析】由指数函数的性质可得6>1,由对数的运算可得c=],即可比较。,6,，

22

大小.

【详解】解：因为6=6°m>6°=l,,

c-里x史」

21g2lg52'

log3>/3<log32<log33=1,即:<a<l,

所以c<a<b.

故选：C.

4.A

答案第1页，共14页

【分析】利用排除法，根据函数过(0,ln2)及值域范围，即可确定答案.

【详解】由尤=0时y=ln2,排除B、C；

又e，+e-*22,当且仅当x=0时等号成立，故ln(e*+尸)并112,排除D.

故选：A

5.D

【分析】根据复合函数/(x)=j7+2办的单调性列不等式组求解。的范围,再求解使其

成立的一个充分不必要条件.

【详解】解：令［》)=7+2办一工2,/(?)=VF(f>0),

因为〉=〃在定义域上单调递增，

由函数/(无)在［-1,1］上单调递减，

则“X)=7+2V在卜1,1］上单调递减且《x)20恒成立，

--<-1

所以<-2,解得-3VaW-1,

?(1)=6+2a>0

因为［-3,-1］,

所以使-3<«<-1成立的一个充分不必要条件为-3<a<-1.

故选：D

6.C

【分析】根据所给条件列出不等式，结合对数的运算即可求解.

【详解】由题意可知IO?,4/31<1035,两边同时取对数可得344311gM<35,

所以3百4VlgM〈五35，故3|4^怆加<535,贝吐09WlgM<1.13,

由表中数据可知M=13,

故选：C

7.C

【分析】设天平左臂长王，右臂长马,且占R%，根据已知条件求出可、出的表达式，利

用基本不等式比较q+g与1。的大小关系，即可得出结论.

【详解】设天平左臂长不，右臂长马,且国片赴，

答案第2页，共14页

5项=axx2

设天平右盘有为克黄金，天平左盘有。2克黄金，所以

a2x1=5X2

所以q=为，a2=—,则4+g='+处＞2[佟■•匹=1。.

x2X]x2X]Nx2无]

故选：C.

8.B

【分析】由题意可得,当xe(2,3],x-2e(O,l],

f(x)=2f(x-l)=4/(无-2)=-sin[K(X-2)]e[-1,0],令一sin[兀U一2)]=—"，得尤=:或

23

Q

X=-,结合函数图象可求解.

【详解】由/(x+l)=2f(x)可得,f(x)=2f(x-l),

当xW0时，/('%/[-乎山⑪]=一：,

当xe(l,2],x-1e(0,1],f(x)=2f(x-l)=--sinl)]e--,0,

当x£(2,3],x-2G(0,1],f(x)=2/(x-1)=4/(x-2)=-sin[兀(x-2)]G[-1,0],

令一sin[兀(x-2)]=—,得％=g或％=g(舍)；

若对任意xe(-双间，都有一手，结合函数图象，

9.ABD

【分析】对于A,由函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，再结合零点存在性

定理分析判断，对于B,由选项A的得到函数的单调区间分析判断，对于C,令〃(x)=；x3-x,

可判断人(x)的图象关于原点对称，从而可判断出/(X)的对称中心，对于D,利用导数的几

何意义分析判断即可.

答案第3页，共14页

【详解】对于A,由〃x)=$3一x-1,得/(无)=f-l=(x+l)(尤一1),

令广(切<0,得-1<X<1；令/'(x)>0,得x<-l或x>l,

则函数f(x)在上单调递减，在(-8,-1),(1,+8)上单调递增，

且/(T)=T<0，/■⑴=-[<0，/(3)=5>0,

所以当XVI时，/(x)</(-l)<0,当x>l时，/(X)存在唯一零点，

故函数/(X)在R上只有一个零点，故A正确；

对于B,由选项A可知，函数/(x)的极小值为了⑴=故B正确；

对于C,令〃(x)=—x,定义域为R,则/z(-x)=-+x=—/?(x),

所以函数旗X)为奇函数，对称中心为(0,0),将函数〃(尤)图象向下平移1个长度单位，得函

数/(X)的图象，

所以/'(x)的对称中心为(0,-1),故C错误；

对于D,由选项A知,/,(x)=x2-l,令于(x)=Tnx=0,又/(0)=-1,

所以切线方程为V+l=-(x-0),即尸-x-1,

所以直线产-x-l是曲线y=〃x)在点(0,-1)处的切线，故D正确，

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查导

数解决函数极问题，考查导数的几何意义，解题的关键是对函数求导，然后由导数的正负求

出函数的单调区间，再分析判断，考查计算能力，属于较难题.

10.AC

【分析】选项A中，由二次函数的性质得到a>0,AW0,可判定A错误；选项B中，转化

为-1和3是方程的两个实根,求得b=-2a,c=-3a,把不等式化简得到a(%+2)(3%—1)>0,

求得的解集，可判定B正确；选项C中，结合二次函数的性质，求得c=£，化简得到？竺=

4ab-a

b2.

学，令？-l=t,结合基本不等式，求得炉笆的最大值，可判定C错误；当。<0时，由

-a-1ab-a

答案第4页，共14页

函数y=a/+6x+c表示开口向下的抛物线，可判定D正确.

【详解】由题意，关于x的不等式ad+bx+cvo的解集为w,

对于A中，若M=0,即不等式"2+乐+0<0的解集为空集，

根据二次函数的性质，则满足a>0,A=b2—4ac<0,所以A错误；

对于B中，若Af=(-1,3),可得-1和3是方程加2+bx+c=O两个实根，且0>0,

-1+3=一匕

a

可得]c,解得6=-2°,°=-34,

-1x3=-

a

则不等式—c——bx—b>ex+4a，可化为3ax2+Sax—2a>0,

即a(%+2)(3%—1)>0,角军得％<—2或x〉；，

即不等式的解集为(一8,—2)U(g+8),所以B正确；

对于C中，若M=｛x|%WXo，Xo为常数｝,可得/是办2+bx+c=0唯一的实根，且4<0,

则满足｛AJ^解得c=贵，所以"竺=匕墟=我=拄，

(△二匕乙一4ac=04Qb—ab—ab—a--1

a

令2-1=3因为且4<0,可得，<0,且2=，+l,

aa

则#=#=匕也1=「+々+2=2-[-力-3<2-2/(-t)x—=2-2V2,

JvJ

b—a--ittLtv-t

aY

当且仅当/=2时，即y-0时，即2=-企+1时，等号成立，

ta

所以的最大值为2-2后，所以C错误；

b-a

对于D中，当4<0时，函数V="2+6x+c表示开口向下的抛物线，

所以当4<0,办2+服+。<0的解集〃一定不为0,所以D正确.

故选：AC.

11.ABD

【分析】A.利用偶函数的性质，结合赋值法即可得解；B.利用赋值法即可得解；CD.利

用抽象函数的奇偶性、对称性与周期性得到/(x)与g(x)的周期均为4,进而求得g(2)与

2025

£[2)+g(町，从而得解.

k=\

【详解】A.；gaT)为偶函数，.•.g(r-l)=g(xT),

即有g(r)=g(x-2),则g(x)的图象关于x=-l对称，A正确，符合题意；

答案第5页，共14页

B.•••/(x+3)+g(x)=3,令x=—l,可得/(2)+g(-l)=3,

又g(-l)=2,.•J(2)=l,;.B正确，符合题意；

C.,g(-x-l)=g(x-l),.-./(x)-g(x-l)=l,

/(x+3)-g(x+2)=l①，/(x+l)-g(x)=l②，

将①②式分别与f(x+3)+g(x)=3联立，化简得：

g(x)+g(x+2)=2,/(x+l)+/(x+3)=4,

.,.g(x)+g(x+2)=2=g(x+2)+g(x+4),/(x)+/(x+2)=4=/(x+2)+/(x+4),

二.g(x)=g(x+4),/(x)=/(x+4),即/(尤)与g(x)的周期均为4,

g(x)+g(x+2)=2,f(x+l)+f(x+3)=4,

■-g(D+g(2)+g(3)+g(4)=4,/(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8,

又••・函数g(x)的图象关于x=-l对称，

.1g(0)=g(-2)=g(2),g(0)+g(2)=2,

・•・g(-2)=g(0)=g(2)=l,C错误，不符合题意；

D.又g(-l)=2=g(3),g(l)+g(3)=2,

警2024

...g(l)=0,Xg(斤)=X4+g(l)=2024,

k=i4

^252024

•••/(1)+g(-2)=3,/(I)=2,=x8+/(I)=4050,

k=l4

2025

^[/W+gW]=4050+2024=6074,.1D正确，符合题意.

k=l

故选：ABD.

12.(2,3).

【分析】由条件求出函数夕=/上》+1)解析式中(x+1的范围，列出使得g(x)1有

^2)2ln(x—2)

意义的不等式，解不等式可得结论.

【详解】因为函数了=/|^》+1］的定义域是［2,4］,

所以24xW4,^2<-x+l<3,

2

因为g(x)=J：。'有意义,

答案第6页，共14页

2<x<3

所以<x—2>0,所以2<x<3,

ln(x-2)w0

所以函数gX=手々的定义域为(2,3).

ln(x-2)

故答案为：(2,3).

13.-2

【分析】根据题意求解/〃(%)=0可得对称中心(/，/(鹏))，再根据对称中心的性质求解即

可.

【详解】由题意，/'(无)=3尤?+2,/卜)=6无，令尸(x)=6x=0解得》=0,又/(0)=-1,

故/(x)=/+2x-1的对称中心为(0,-1).故当玉+迎=0时，/(xJ+〃/)=2x(-1)=-2.

故答案为：-2

14.(-L+00)；

【分析】当。=0时，根据单调性分段求值域，再取并集即可求值域；讨论可得“=0与。<0

不符合题意；当。>0时，画出图如设>=1-1与y=卜-。-1|在(1,+℃)上的交点

横坐标为尤。，讨论可得时，/(X)的最小值为1,求出吃,解不等式即可求。的取值范

围.

"2

/、x—l,x>0

【详解】若0=0,则/X=I//八，

<0

当x>0J(x)=x2-l单调递增，所以〃力>/(0)=-1；

当xVOJ(XHXT|=1F单调递减，所以/(x)为(0)=1.

故/(x)的值域为(-1,+8).

当“=0时，/(X)的值域为(T+s),不符合题意；

当.<0时，/(尤)=X2-1在(凡+8)上的最小值为_1,不符合题意；

当〃>0时，(7+1>1,

画出>=/-1"=卜-1|的图象，如图所示：

答案第7页，共14页

-1|

设--1与歹=卜-〃-1|在(1,+8)上的交点横坐标为飞,

又/⑷=|"Q—1|=1,

当0<4<%0时，由图象可得/(X)无最小值；

当。2%时，由图象可得/(“有最小值/(〃)=1,

由/—]=_(%可得X2+X_Q_2=0，

故可得干士空运L

所以02-1+》+4（。+2）,即（2a+l）&l+4（a+2）,

2

化简得工22,解得awVL

故答案为：(T,+8)；W，+8).

【点睛】方法点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的

标准、全面的考虑；

(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.

2兀

15.(Dy

⑵述

2

【分析】(1)由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案

(2)先利用三角形的面积关系解出。，再根据三角形面积公式计算答

案即可

【详解】(1)在△/8C中，由正弦定理及2asin/=(26+c)sinB+(2c+b)sinC得：

/—Z?2—be=c?,..

答案第8页，共14页

722_2]

由余弦定理得cosZ=,°-a=―,

2bc2

又0</<兀，所以/=g2IT

TT

(2)AD是V45C的角平分线，/BAD=NDAC=—,

3

I27r1jr1Jr

由1S*ABdCDl=S4ADBD△Lz/lx-/可得1▼一6csin——3=-cx/Dxsin—3+—2bx/Dxsin一3

因为6=3,AD=2,即有3c=2c+6,c=6,

痂G1入.4'q二枢9e

敬S=—ZJCSIM=—x3x6x——=----

“ABRCr2222

16.(l)-ln2-l

⑵『，+8)

【分析】(1)确定函数定义域，求出导函数，利用导数正负，可得函数/(X)的单调区间，

从而求出函数/(X)的最大值；(1)分离参数，将问题转化为二在(0,+8)上恒成立,

X

令g(x)=吧=(X>0),利用导数研究g(x)在(0,+8)上的最大值即可得到答案.

X

【详解】(1)函数/(X)的定义域为(0,包)，且八幻=上1-2=1=_7Y

XX

令八x)>0,解得：0<%<1

2

令八x)<0,解得：

2

所以〃x)的单调增区间为(0,；),单调减区间为、,+“(，

则”X)max=/(；)=-M27

(2)不等式f(x)4(。-2)x+2在(0,+8)上恒成立，即北电在(0,+8)上恒成立,

令8(》)=蛆匕。>0),

X

I,l-(lnx-2)3-lnx

则g(x)=--=——，

XX

令g'(x)>0,解得：0<x<e3,

3

令g'(x)<0,解得:x>e

所以g(x)的单调增区间为(Od),单调减区间为伫,+句,

lne3-2_1

则8卜)皿=8(巧=

答案第9页，共14页

所以。,

e

所以不等式/(X)(("2)X+2在(0,+8)上恒成立，则实数。的取值范围为

17.(1)/=4x

⑵四.

【分析】(1)将点。(X。,2)代入抛物线方程并利用焦半径公式可得。=2,求出抛物线。的

标准方程；

(2)设出直线方程并与抛物线联立，利用韦达定理表示出点G的横坐标，结合函数单调性

以及几e(1,2］可得结果.

【详解】(1)因为。(％,2)在抛物线C：j7=2px5>0)上,所以4=2px0,

2

得％o二一;

P

因为⑷刊=2,所以％+?=2,即一+§=2,解得0=2,

所以抛物线C的标准方程为必=4x.

(2)易知抛物线的准线为x=-l,则可得K(-1,O)；

设M(X1/J,N(X2，%),由西7=彳前可得%=彳%，

如下图所示：

设直线/：X=叩-1，代入到V=4x中得_4叼+4=0,

所以必+%=4加,必必=4,即可得4%+%=4机,九货=4,联立两式并整理可得

,2(1+A)2。1-

4m=----—=A+—+2,

A2

答案第10页，共14页

又X1+%=加（弘+,2）一2=4加2-2

2

由1<%V2可得y=4+丁+2递增，即有4加,BPmGf1,—

AI2」I8

又MN中点坐标为（2加2-1,2m）,

2

可得直线MN的垂直平分线的方程为y-2m=-m（x-2m+l）f

令>=0,可得%=2冽2+143,,,

所以点G的横坐标%的取值范围为），£.

18.（1）单调递增区间为（-8,1）和（2,+为）

⑵(—,1)3(2/,+oo)

【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出/（x）的单调增

区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数

a的取值范围.

x2-2x+2,x>2

【详解】⑴当°=2时，/'(x)=x|x-2|+2=

—x?+2x+2,x<2

xN2时，/（x）单调递增,

x<2时，/（x）在（-84）上单调递增，在。,2）上单调递减,

所以;■（》）的单调递增区间为（-双1）和（2,+s）,

（2）即小[0,2],使|小）一〃马）|>2

所以|/a）-〃/）L>2，

即f(x)-/(x).>2,

，\/maxJ\/min

①当时，/(x)=-x2+ax+2,对称轴％=],

⑴当1、V2即2(r4时，/

/(Am=/(。)=2，

所以/]1-/(0)=!>2,

答案第11页，共14页

所以.>2行或”-2亚，

因为2VaV4,所以2收<044，

(ii)当■j>？即0>4时，〃尤)1mx=/■⑵=2"2,

/"广/⑼二？，

所以/(2)-〃0)=2。-4>2,

4>3,

因为a〉4,所以a>4,

②当a«0时，f(x)=x2-ax+2,对称轴x=]<0,

所以〃X)皿x=/(2)=6-2a,

/"n=/(。)=2，

所以/■(2)-〃0)=4-2a>2,

a<\,

所以aWO,

।、-x1+ax+2.0<x<a

③当r0<a<2时，/("=2Jc，

[x—ax+2,a<x<2

因为/(x)mm=/(O)=/(a)=2,

/2\2

因为/'5卜/(0)=(<1，

所以不可能是函数的最大值，

所以/(*「/(2)=6-21

所以「(2)-/(0)=4-2a>2,

所以0<a<l,

综上所述：。的取值范围是(-oo,l)u(2&,+oo).

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值,

不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将士1,马仪0,2],使

答案第12页，共14页

|/(^1)-/(^)|>2,转化为y(x)皿x-/(x)1nhi>2,然后分类利用二次函数的性质求出其最值

即可，考查了分类思想和计算能力

19.(1)-1,0,1

w—6

⑵%=--记(〃EN+，«<11)

⑶证明见解析

【分析】⑴