尺规作图（学生版+解析）-2022-2023学年浙教版八年级数学上册同步讲义

第6课尺规作图

号目标导航

学习目标

1.了解尺规作图的含义和基本尺规作图的范围.

2.会进行以下尺规作图,并了解作法的理由.

①作一个角等于已知角；

②作已知线段的垂直平分线；

③在给定边角条件下，求作三角形.

撇前识精讲

知识点01尺规作图

用没有刻度的直尺和圆规作图简称尺规作图

知识点02基本尺规作图

①作一个角等于已知角；

②作已知线段的垂直平分线；

③在给定边角条件下，求作三角形.

能力拓展

考点01尺规作图

【典例1】如图，已知线段机，〃和/a,求作△ABC,使AC=n,ZB=Za.

n

【即学即练1】如图所示，已知Na和(Za>Zp),求作：(1)Za+Zp；(2)Za-Zp.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这

一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）

2.下列尺规作图的语句正确的是（）

A.延长射线AB到。B.以点。为圆心，任意长为半径画弧

C.作直线A8=3cmD.延长线段A8至C,使AC=8C

3.在下列各题中，属于尺规作图的是（）

A.用直尺画一工件边缘的垂线B.用直尺和三角板画平行线

C.利用三角板画45。的角D.用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段

4.如图，已知NA08,用尺规作NPCE,使作图痕迹中弧FG是（）

B.以点C为圆心，。。为半径的弧

C.以点E为圆心，DM为半径的弧D.以点C为圆心，OM为半径的弧

5.如图，在Rt^ABC中，观察作图痕迹，若BF=2,则CT的长为（）

cD

B.3C.2D-2

6.如图,若Na=29°,根据尺规作图的痕迹，则NA08的度数为

7.如图，已知△ABC,利用尺规在2C上找一点。，使得（保留作图痕迹，不写作法）

8.如图，已知△ABC,请用尺规作图法作出8C边上的中线AD.（保留作图痕迹，不写作法）

9.如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作若AB_LBC,证明：ABLAE.（尺规作图

10.如图，2。为△ABC的中线，AC^2AB.

（1）请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作NA4C的角平分线，交BD于点E,交BC于点、F.（保

留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，求证：会△AEZX

A

D

题组B能力提升练

11.如图，已知NA08与/EOF,分别以。，。，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交。4,。3于点A',

B',交O'E,。下于点E,F.以9为圆心，以E尸长为半径画弧，交弧A8于点以下列结论不正确的

是（）

A.NAOB=2/EO'FB.ZAOB>ZEO'FC.ZHOB=ZEO'FD.ZAOH^ZAOB-ZEO'F

12.如图，△ABC中，AB<AC,观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论正确的是（）

A.AM是/B4c的角平分线B.AM是BC边上的中线

C.AM是8c边的垂直平分线D.AM是BC边上的高

13.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于」UB长为半径画弧，两弧相交于点M、N,连接

2

MN,交BC于点D,交AB于点E,连接AD若△ABC的周长等于17,△ADC的周长为9,那么线段

AE的长等于（）

C.4D.8

14.在△ABC中，ZBAC=90°,AB<AC.用尺规在8。边上找一点。，仔细观察、分析能使AO+0C=3C

的作法图是（）

C.

15.

如图，已知线段机，加求作△ABC,使NA=90。,AB=m,BC=n,

m

n

16.如图，在△ABC中，求作8C边上的高AD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）

17.如图，在△ABC中，ZOZB,

（1）尺规作图，作NABC的角平分线与AC相交于点。（不要求写作法，保留作图痕迹）；

(2)若(1)中/A=60°,NC=70°,求NBOC的度数.

题组C培优拔尖练

18.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）

A

C.ZDBF+ZDFB=90°D./BAF=/EBC

2

19.如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（）

20.在以下图形中，根据尺规作图痕迹，不能判断射线AD平分N2AC的是（）

21.如图，在△A8C中，分别以A、8为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、。两点，直线尸。

交BC于点D,连接AD；再分别以A、C为圆心，大于L1C的长为半径画弧，两弧交于N两点，直

2

线MN交BC于点E,连接AE.若C£»=ll,△ADE的周长为17,则8。的长为

22.如图，RtzXABC中，ZACB=90°,CDLABD.

(1)尺规作图：作/C48的角平分线，交CD于点、P,交8c于点。(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)若NA2C=54°,求NCPQ的度数.

23.如图，平分NAOB,点P为。4上一点.

(1)尺规作图：以P为顶点，作NAPQ=/A08,交OD于点。(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下，若NAOB=60°,求/。QP的度数.

OB

第6课尺规作图

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学习目标

1.了解尺规作图的含义和基本尺规作图的范围.

2.会进行以下尺规作图,并了解作法的理由.

①作一个角等于已知角；

②作已知线段的垂直平分线；

③在给定边角条件下，求作三角形.

趣，口识精讲

知识点01尺规作图

用没有刻度的直尺和圆规作图简称尺规作图

知识点02基本尺规作图

①作一个角等于已知角；

②作己知线段的垂直平分线；

③在给定边角条件下，求作三角形.

能力拓展

考点01尺规作图

【典例1］如图，已知线段机，〃和/a,求作△ABC,使AB=m,AC=n,ZB=Za.

n

【思路点拨】根据作一角等于已知角的方法作出进而截取AC=n,

即可得出C点位置.

【解析】解：如图所示：

(1)作

(2)在上截取"，

(3)以点A为圆心，以“长为半径作弧交BE于点C,C；

(4)连接AC,AC,

故△ABC和△ABC'都为所求.

m

【点睛】此题主要考查了复杂作图中三角形的作法，根据已知得出C点位置是解题关键.

【即学即练1】如图所示，已知Na和N0(Za>Zp),求作：(1)Za+Zp；(2)Za

-/仇

【思路点拨】(1)可先作NAOC=Na,然后以点。为顶点，射线。C为边，在NAOC

的外部作即可；

(2)先作NEOK=/a,然后以点。为顶点，射线0E为边，在NEOK的内部作NE。尸

=zp即可.

【解析】解:作法：(1)作NAOC=/a,

以点。为顶点，射线0C为边，在N40C的外部作NC08=NB，

则/AO8就是所求的角；

(2)作NEOK=Na,

以点。为顶点，射线OE为边，在/EOK的内部作/EOb=N0,

则NFOK就是所求的角.

【点睛】本题需灵活运用作一个角等于已知角来解决问题.

M分层提分

题组A基础过关练

1.如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的

对应角相等”这一性质,则判定图中两三角形全等的条件是（)

D.SSS

【思路点拨】如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF,BA=CF.根据SSS证明△AOB

丝△CEF.

【解析】解：如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF,BA=CF.

在△AOB和△CEF中，

A0=CE

<OB=EF，

AB=CF

A（SSS）,

故选：D.

【点睛】本题考查作图-尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象

信息，灵活运用所学知识解决问题.

2.下列尺规作图的语句正确的是（）

A.延长射线到。B.以点。为圆心，任意长为半径画弧

C.作直线AB=3CMID.延长线段A8至C,使AC=3C

【思路点拨】根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出

正确的结论.

【解析】解：A.根据射线是从A向2无限延伸，故延长射线到。是错误的；

8根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点。为圆心，任意长为半径画弧是正

确的；

C.根据直线的长度无法测量，故作直线4B=3c机是错误的；

D.延长线段至C,则AOBC,故使AC=BC是错误的；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了尺规作图的定义的运用，解题时注意：尺规作图是指用没有刻

度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面

几何作图题.

3.在下列各题中，属于尺规作图的是（）

A.用直尺画一工件边缘的垂线B.用直尺和三角板画平行线

C.利用三角板画45°的角D.用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段

【思路点拨】根据尺规作图的定义判断.

【解析】解：4用直尺画一工件边缘的垂线，不属于尺规作图；

8、用直尺和三角板画平行线，不属于尺规作图；

C、利用三角板画45°的角，不属于尺规作图；

D,用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，属于尺规作图.

故选：D.

【点睛】本题考查尺规作图，垂线，平行线的判定，平行线的性质等知识，解题的关键

是理解尺规作图的定义，属于中考常考题型.

4.如图，已知NA08,用尺规作/FCE,使/FCE=/AOB,作图痕迹中弧FG是（）

A.以点E为圆心，为半径的弧B.以点C为圆心，0。为半径的弧

C.以点E为圆心，。加为半径的弧D.以点C为圆心，为半径的弧

【思路点拨】根据作一个角等于已知角的作图方法判断即可.

【解析】解：由作图可知，弧PG是以点E为圆心，DM为半径的弧.

故选：C.

【点睛】本题考查尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本作图步骤是解答本题的关

键.

5.如图，在Rt^ABC中，观察作图痕迹，若2尸=2,则CP的长为（）

■B

E

A.$B.3C.2D.工

22

【思路点拨】由图可得，直线。E为线段8c的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质

可得BP=CV,即可得出答案.

【解析】解：由图可得，直线OE为线段BC的垂直平分线，

:.BF=CF,

,:BF=2,

:.CF=2.

故选：C.

【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质

是解答本题的关键.

6.如图，若/a=29°,根据尺规作图的痕迹，则乙4。8的度数为58°.

【思路点拨】利用基本作图得到

【解析】解：由作法得N4OB=2/a=2X29°=58°.

故答案为：58°.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.

7.如图，已知△ABC,利用尺规在BC上找一点。，使得（保留作图痕

迹，不写作法）

【思路点拨】作NBAC的平分线即可.

【解析】解：如图，点D为所作.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.

8.如图，己知△ABC,请用尺规作图法作出BC边上的中线AO.（保留作图痕迹，不写作

【思路点拨】作线段BC的垂直平分线交BC于点D连接AD

【解析】解：如图，线段即为所求.

【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9.如图，利用尺规，在△A8C的边AC上方作/CAE=/AC8,若AB_L8C,证明：AB±

AE.（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

【思路点拨】利用尺规作NE4C=NACB,可得进而可以解决问题.

【解析】证明：如图所示，

VZEAC=ZACB,

J.AD//CB,

'：AB±BC,

：.AB±AE.

【点睛】本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学

会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型.

10.如图，2。为△ABC的中线，AC^2AB.

（1）请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线，交BD于点E,交

BC于点、F.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，求证：AAEB注AAED.

【思路点拨】（1）利用基本作图作NBAC的平分线即可；

（2）根据三角形中线的定义得到AC=2AZ）,求得AB=A£）,根据角平分线的定义得到/

BAE=ZDAE,根据全等三角形的判定定理即可得到结论.

【解析】解：（1）如图所示，AP即为所求；

（2）为△ABC的中线，

：.AC=2AD,

•；AC=2A2,

：.AB=AD,

尸是/B4C的角平分线,

:.NBAE=NDAE,

在AAEB与△AEZ)中，

，AB=AD

-NBAE=/DAE，

AE=AE

；.AAEB咨AAED(SAS).

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了全等三角形

的判定与性质和等腰直角三角形的性质.

题组B能力提升练

11.如图，已知/AOB与/EOF,分别以。，<7为圆心，以同样长为半径画弧，分别交。4,

08于点4,B,,交0E。户于点E,F.以甘为圆心，以EF1长为半径画弧，交弧A8,

于点”.下列结论不正确的是（）

C.ZHOB=ZEO'FD.ZAOH^ZAOB-ZEO'F

【思路点拨】根据NEO'F=ZHOB',一一判断即可.

【解析】解：由作图可知，ZEO'F=ZHOB',ZAOB>ZEO'F,ZAOH=ZAOB

-ZEO'F,

故选项8,C,。正确，

故选：A.

【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解

决问题.

12.如图，△ABC中，AB<AC,观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论正确的是（）

A.AM是N3AC的角平分线B.AM是8C边上的中线

C.AM是8c边的垂直平分线D.AM是8c边上的高

【思路点拨】根据三角形的角平分线、中线和高的定义即可解决问题.

【解析】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得故。选项正确，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了作图-基本作图，三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平

分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

13.如图，在△ABC中，分别以点A和点8为圆心，大于LB长为半径画弧，两弧相交于

2

点M、N,连接MN,交8c于点。，交A5于点E,连接AD若AABC的周长等于17,

△AOC的周长为9,那么线段AE的长等于（）

【思路点拨】根据作图过程可得MN是AB的垂直平分线，进而可得AD=BD,AE=1AB,

2

再由△ABC的周长等于17,△ADC的周长为9,可得AC+AO+CD=9,AC+CD+BD+AB

=17,两式相减可得答案.

【解析】解：根据题意可得是的垂直平分线，

△ADC的周长为9,

：.AC+AD+CD=9,

「△ABC的周长等于17,

：.AC+CD+BD+AB=17,

,:MN是AB的垂直平分线，

：.AD=BD,A£=AAB,

2

：.AC+CD+AD+AB=ll,

：.AB=ll-9=8,

：.AE=4.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直

平分线的性质.

14.在△ABC中，N8AC=90°,AB<AC.用尺规在2c边上找一点。，仔细观察、分析

能使的作法图是（）

A

【思路点拨】由BC=8O+OC,AD+DC=BC,推出ZM=D4,可知点。在AB的垂直平

分线上，由此即可判断.

【解析】解：选项C中，由作图可知，点。在的垂直平分线上，

：.DA=DB,

：.AD+DC^DB+DC=BC,

故选项C正确，

故选：C.

【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象

信息，灵活运用所学知识解决问题.

15.尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知线段％,n.求作△ABC,使/A=90°,AB=m,BC=n.

।m,

I八।

【思路点拨】先在直线/上取点4过A点作再在直线/上截取然后以

8点为圆心，〃为半径画弧交A。于C,则△4BC满足条件.

【解析】解：如图，ZVIBC为所作.

16.如图，在△ABC中，求作8c边上的高AD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写

作法.）

A

【思路点拨】过A点作3C的垂线即可.

【解析】解:如图，为所作.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考

查了角平分线的定义.

17.如图，在△ABC中，ZOZB,

（1）尺规作图，作NABC的角平分线与AC相交于点。（不要求写作法，保留作图

痕迹）；

（2）若（1）中NA=60°,NC=70°,求NBDC的度数.

【思路点拨】（1）根据角平分线的作法即可解决问题;

（2）根据三角形内角和定理即可解决问题.

【解析】解：（1）如图，8M即为所求；

AZABC=180°-60°-70°=50°,

BD是ZABC的角平分线，

/.ZABD=-L^ABC=25°,

ZBDC=ZA+ZABD=600+25°=85°.

【点睛】本题考查了作图-基本作图，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解决本

题的关键是掌握基本作图方法.

题组C培优拔尖练

18.如图，在△A8C中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）

A

A.AF=BFB.AE=AACC./DBF+/DFB=90°D.ABAF=Z

2

【思路点拨】由图中尺规作图痕迹可知，BE为NABC的平分线，为线段A2的垂直

平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可.

【解析】解：由图中尺规作图痕迹可知，

8E为NA8C的平分线，。尸为线段AB的垂直平分线.

由垂直平分线的性质可得AF=BF,

故A选项不符合题意；

DF为线段AB的垂直平分线，

/.ZBDF=9Q°,

:./DBF+/DFB=90°,

故C选项不符合题意；

为/ABC的平分线，

/ABF=NEBC,

:AF=BF,

：.NABF=NBAF,

：.ZBAF=ZEBC,

故D选项不符合题意；

根据已知条件不能得出AE=LC,

故3选项符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键.

19.如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（）

A

C.EF>FHD.EF=FH

【思路点拨】利用基本作图得到PC平分/APB,垂直平分PQ,过H点作

如图，根据角平分线的性质得到HM=HG,然后根据垂线段最短可得到切>//G.

【解析】解：根据作图痕迹得PC平分即垂直平分尸。，

过X点作如图，

'：PC^-^ZAPB,HGLPB,HMLPA,

：.HM=HG,

'：HM<HF,

：.FH>HG.

故选：A.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考

查了角平分线的性质.

20.在以下图形中，根据尺规作图痕迹，不能判断射线AD平分/BAC的是（)

B

①②③④

A.①B.②C.③D.④

【思路点拨】根据角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质一一判断即可.

【解析】解：如图①中，射线是角平分线.

如图②中，根据SAS可以证明△ABAKZXACM,推出再根据44s证明

^BDMWACDN,推出。M=DN,再根据SSS证明NADM丝△AON,推出

NAD,推出射线A。是角平分线；

如图④中，根据乩证明推出ND4尸=NZH£,推出是角平分线.

如图③中，无法证明AD是角平分线.

①②③④

故选：C.

【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读

懂图象信息，正确寻找全等三角形解决问题.

21.如图，在△ABC中，分别以A、B为圆心，大于二48的长为半径画弧，两弧交于P、Q

2

两点，直线P。交BC于点O,连接AD；再分别以A、C为圆心，大于^AC的长为半径

画弧，两弧交于N两点,直线交8C