2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：两角和与差的正弦、余弦和正切公式（学生版+解析）

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：公式的基本应用......................................3

高频考点二：公式的逆用及变形....................................4

高频考点三：辅助角公式的运用....................................16

高频考点四：二倍角..............................................18

高频考点五：拼凑角..............................................5

高频考点六：降嘉公式............................................6

第四部分：新定义题..................................................7

第一部分：基础知识

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

①两角和与差的正弦公式

sin(a+)3)=sinacos0+cosasin(5

sin(a—£)=sinacos[3-cosasm(3

②两角和与差的余弦公式

cos(a+/?)=cosacos一sinasinf3

cos(a-J3)=cosacos/?+sin夕sin0

③两角和与差的正切公式

/c、tan。一tan

tan(a-/?)=....................-

1+tan(7tan0

/C、tanor+tan/?

tan(6Z+/?)=---------------

1一tanatan/?

2、二倍角公式

①sin2。=2sinacosa

②cos2a=cos2a-sin2a;cos2a=2cos2a-1;cos2a=1—2sin2a

2tana

③tan2a=

1-tan2a

3、降累公式

1+cos2a.2l-cos2df

cos2a-------------sina=------------

22

4、辅助角公式:

asinx±Z?cosx=y/a2+b1sin(x±(p)(其中tan0=,)

5、常用结论

①两角和与差的正切公式的变形：tan6/±tan=tan(fz±/?)(1+tanatan/?)

②1+sin2。=(sina+cosa)2

③1-sin2。=(sina-cosa)2

④sin。土cosa=42sin(。±—)

4

第二部分：高考真题回顾

1.（2023・全国•新课标I卷）已知sin(a-/)=—,cosasin〃=—,则cos(2a+2£)=().

36

7117

A.-B.一C.——D.——

9999

若)卜则()

2.（2022•全国•新课标II卷）sin(a+P)+cos(a+P=20cos[a+?in/?,

A.tan(cr-/7)=lB.tan(a+0=l

C.13n-/3)=—1D.tan(cr+/?)=-1

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：公式的基本应用

典型例题

例题1.(23-24高一下•江苏•阶段练习)cosl00sin700-sinl70°sin200=()

出R百c11

A.n

2222

例题2.(23-24高一下•河北张家口•阶段练习)sin62°sin730-cos62°sin17°=()

B.一旦C.立D.交

A.

2222

（2024高三•全国•专题练习）已知tana=4，tan夕=一1，则tan（2a+£）的值为（）

例题3.

，7

331

A.——B.——

417

31

C.1D.—

17

例题4.（多选）（23-24高一下•四川绵阳•阶段练习）计算下列各式，结果为百的是（

tan30°1+tan15°

A----------B.---------

'1-tan230°1-tan15°

C.2(cos?15°-sin15°cos750)D.tan400+tan20°+^3tan40°tan20°

练透核心考点

1.（23-24高一下•四川成都•阶段练习）计算sin135。cos15。-cos45。sin（-15。）的值为（）

A.立B.3C.克D.4

2322

2.（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）$111160。8010。+8020。511110。的值等于（）

A后B有

C—2uD.--2

22

3.(23-24高一下•江苏连云港•阶段练习)计算sin50°cos10°+sin40°sin10°=—

4.(23-24高一上•山西吕梁•期末)已知tan(a+£)=2,tan(a-0=4,则tan2a=

高频考点二：公式的逆用及变形

典型例题

/々1otan14。

例题1.（23-24高一上•广西贺州,期末）设a="sin57o」cos57。，b=———5——，c=2sinl30cosl3°,则有

—22l-tan214°

（）

A.b>a>cB.c>b>aC.a>obD.a>b>c

例题2.（23-24高一上•安徽蚌埠,期末）73tan85°tan35°-tan85°-tan35°=（）

A.—B.--C.V3D.Y

33

例题3.（2024高三・全国•专题练习）在△ABC中，tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC的值是.

例题4.（23-24高一上•湖南衡阳•期末）计算求值

（1）已知tana=-3,求Bsin?a-sin2a的值.

（2）

sin10°sin80°

练透核心考点

1.（2024,山西吕梁•一模）tan80。一君的值为（）

sin80°

A.73B.—C.2D.4

2

2.（23-24高一下•江苏常州•阶段练习）tan10°+tan50°+73tan10°tan50°=（）

A.1B.6C.3D.2A/3

3.（2024高一上,全国•专题练习）tan75Tan15=（）

1+tan75tan15

A.73B.B

3

C.1D.-6

4.（21-22高一,全国•课前预习）计算：tan73°-tan193°-6tan73°tan13°=.

1（3TT、A

例题3.（23-24高一下•广东佛山•阶段练习）已知3。=1［昼＜。＜24贝Ucos*

例题4.（23-24高一下•江苏连云港•阶段练习）已知sma+cosa=3,则的值为

sme-cosa

练透核心考点

13

1.（23-24高一下•江苏淮安•阶段练习）已知tanx--------贝han2x=（）

tanx2

YY

2.（23-24高三下,江苏扬州,阶段练习）函数/（X）=sin^cos/cosx的最小正周期是（）

兀

A.-B.兀C.2兀D.4兀

2

3.（23-24高三上•江西•期末）已知角々的终边上有一点。（-2,-1）,则cos2。的值为（）

2332

A.——B.一C.--D.-

5555

4.（23-24高一上•安徽合肥・期末）已知角。终边经过点P（T,-2）,则tan2a=()

3434

A.-B.一C.——D.——

4343

高频考点五：拼凑角

典型例题

例题1.（23-24高一下•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习）已知sin（£+=贝i]sin[g+2a]=

:()

3323r23

A.-----B.——C.--D.——

25252525

｝则cos,J小勺值为（）

例题2.（23-24高一下•江苏淮安•阶段练习）设。为锐角，若cos

772424

A.-----B.—C.-----D.—

25252525

cosa=1,cos(a-/?)=g,

例题3.（23-24高一下•江苏淮安•阶段练习）已知a,夕是锐角，则sin/的值

为

例题4.（23-24高一下•江苏•阶段练习）已知sina=亭,sin（a-"）=噜，且a,6e（0,/.求:

（l）cos（2a—Q）的值；

⑵用的值.

练透核心考点

1.（2024•贵州毕节•模拟预测）已知sin（71、4(Tt\I71、

。+―心引，则cos(§+oj=()

、12

A.一变B.一交_3

CD.

10544

2.（2024•山东烟台•一模）若cos（a-：l=r

则sin2a=()

5577

A.一一B.-C——D.—

9999

“5。一a)_6

3.（2024高三•全国•专题练习）已知sin则cos(30°-a)=()

2J~~T9

1122

A.-B.一一CD.—

3333

4.（23-24高三下•浙江宁波•阶段练习）若sin]2兀1

,则cos20+

653

高频考点六：降塞公式

典型例题

例题1.（23-24高二上•宁夏石嘴山•期中）已知sin2a=g,则加N+1（）

A.2R1C遥D.逅

3662

1jr

例题2.（23-24高一下•广东深圳•期中）计算：--cos2--（)

28

.V2nV2

r\.--------B.变C.叵u.------

4422

例题3.（2024•吉林白山•一模）化简------—

3—cos-50°

练透核心考点

1.（23-24高三上•陕西汉中•期中）已知口＞0,函数〃x）=sinGxcos5+cos2Gx在］,兀］单调递减，则0

的取值范围为（）

-151「131＜11「15~

A.B.—C.0,—D.

_28j\_24J（4J|_48_

2.（22-23高一下•全国•课后作业）5由220。+85280。+君5m20。3580。的值是（）

（2023・吉林・三模）化简sm-35一万=

sin20°

第四部分：新定义题

1.（2023•上海杨浦•模拟预测）设＞=/（无）是定义域为R的函数，如果对任意的耳、

%eR（%2%），|〃%）-/（%）|＜|芯-*2|均成立，则称＞=/（尤）是"平缓函数

⑴若［（尤）==二/⑴=sin无，试判断y=工（尤）和》=力⑴是否为“平缓函数”?并说明理由；（参考公式：

X+1

%＞0时，sinx＜光恒成立）

⑵若函数＞=/（X）是"平缓函数〃，且＞=/（%）是以1为周期的周期函数，证明:对任意的毛、马£R，均

有|〃西）-〃电）|＜1;

⑶设y=g（x）为定义在R上函数，且存在正常数A＞1使得函数y=A-g（x）为"平缓函数现定义数列

{%}满足:玉=0,%=g（x,T）（〃=2,3,4,…），试证明:对任意的正整数n,g（%）4.

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：公式的基本应用......................................3

高频考点二：公式的逆用及变形....................................4

高频考点三：辅助角公式的运用....................................16

高频考点四：二倍角..............................................18

高频考点五：拼凑角..............................................5

高频考点六：降幕公式............................................6

第四部分：新定义题..................................................7

第一部分：基础知识

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

①两角和与差的正弦公式

sin(a+/?)=sinacos°+cosasinjS

=sinacosP-coscrsin

②两角和与差的余弦公式

cos(a+6)=cosacos尸一sinasin[3

cos（cif一/?）=cosacos/?+sinasin/?

③两角和与差的正切公式

/C、tanor-tan/?

tan(a-/?)=---------------

1+tan(7tan/?

/c、tan+tan/?

tan((7+/?)=---------------

1-tancrtan0

2、二倍角公式

①sin2a=2sinacosa

②cos2a=cos2a-sin2a;cos2。=2cos2a-1:cos2a=1-2sin2a

2tana

③tan2。=

1-tan2a

3、降塞公式

21+cos2a.1-cosla

cosa-------------sin2a=------------

22

4、辅助角公式:

asinx±bcosx=y/a2+b2sin(x±9)(其中tan。=,)

5、常用结论

①两角和与差的正切公式的变形：tan±tan/?=tan(6z±/?)(1+tanatan/?)

②1+sin2a=(sina+cosa)2

③1-sin=(sina-cosa)2

@sincr±cosa=A/2sin(a±—)

4

第二部分：高考真题回顾

1.(2023・全国•新课标I卷)已知sin(a—m=」,cosasin/=，，则cos(2a+20=().

36

7117

A.-B.-C.—D.----

9999

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+4),再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为5皿(。一月)二5111。以)$/一以)5。5皿/?=!，而cosasin£=,，因此sinacosA=，,

362

贝ijsin(a+J3)=sinacos0+cosasmJ3=—f

21

所以cos(2a+2尸)=cos2(a+/?)=1—2sin2(«+(3~)=1-2x(—)2=—.

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)"给角求值J一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解

题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.

(2)"给值求值J给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角"，使其角

相同或具有某种关系.

(3)"给值求角"：实质上也转化为"给值求值"，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得

的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

2.(2022・全国•新课标n卷)若sin(a+夕)+cos(a+/?)=2应cos(a+?卜n/?,则()

A.tan(a—/7)=lB.tan(cr+/?)=l

C.tan(a-/3)=-1D.tan(a+P)=—1

【答案】C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】［方法一］：直接法

由已知得：sinacos(3+cosasin分+cosacos6一sinasin4=2(coscr-sincr)sin(3,

即：sinacosP-costzsin+cosacos+sinorsin/3=0,

即：sin(cr-/7)+cos(cr-/7)=0

所以tan(a_0=—l

故选：C

［方法二］:特殊值排除法

解法「设0=0则sina+cosa=0,取即^,排除A,B；

jr

再取a=0则sinB+cos0=2sinB，取B=排除D；选C.

［方法三］：三角恒等变换

sin(a+，)+cos(a+f3)=A/2sin(cr+尸+?)=逝sin［(a+?)+0

=拒sin(cif+—)cosB+0cos(a+工)sin夕=2A/2COS(cr+—)sin/?

444

所以J^sin(a+?)cos(3=J5cos(a+?)sin0

sin(cif+—)cosB-cos(«+—)sin/?=0BPsin(cr+--/)=0

sin(cr-；0+—)=sincos—+cos(cr-y0)sin—=^-sincos(cr-y0)=O

sin(a-/)二一cos(a-/)即tan(a-/)=-l,

故选：C.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：公式的基本应用

典型例题

例题1.(23-24高一下•江苏•阶段练习)cos10°sin700-sin170°sin20°=()

A.—B.-3C.1D.」

2222

【答案】A

【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得.

【详解】cos10°sin700-sin170°sin20°

=cos10°sin(90°-20°)-sin(l80°-10°)sin20°

=cos10°cos20°-sin10°sin20°

=cos(10。+20。)=cos30。=

2

故选：A

例题2.(23-24高一下•河北张家口•阶段练习)sin62°sin730-cos62°sin17°=()

A.—走B.—变C,显D,立

2222

【答案】D

【分析】先利用诱导公式变形，再利用两角差的正弦公式计算.

［详解］sin62°sin730-cos62°sin17。=sin62°cos170-cos62°sin17°=sin(62°-17°)=sin45°=.

故选：D.

例题3.（2024高三・全国•专题练习）已知tana=tan4=一9,则tan（2。+.）的值为（）

331

A.--B.

417

31

C.1D.

17

【答案】C

【详解】

5_

1

1/、tana+tan^2-7141/

因为2-tan^=-所以tan(a+/)=------------=--------------=—所以tan(2a

71—tanatanB11,k154

1—f(一5)M

tana+tan(a+£)2+3

+£)=tan[a+(a+£)]=AT

1—tanatan(a+6)

【考查意图】

利用和差倍角公式化简求值.

例题4.（多选）（23-24高一下•四川绵阳•阶段练习）计算下列各式，结果为出的是（）

tan30°l+tanl5°

△----------B.---------

'1-tan230°1-tan15°

C.2(cos。15°-sin15°cos750)D.tan40。+tan20。+君tan40。tan20。

【答案】BCD

【分析】对于A,利用三角函数的特殊值即可求解；对于B,D,利用两角和的正切公式即可求解；对于C,

利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.

tan30°3*

【详解】对于A,—an?30。2,故A错误;

(6、2

1-

3J

1+tan15°tan450+tan15°乙“—a./

对于B,--------=-----------------=tan(45°+15°)=tan60°=J3,故B正确；

1-tan15°1-tan15°xtan45°-----,)

对于C,2(cos2150-sin15°cos75°)=2(cos2150-sin215°)=2cos(2xl5°)=2cos30°=6,故C正确;

由tan(40°+20°)=tan4°+tan20=36。°=收得400+tan20°+6tan40°tan20。=5故D

对于D,tan

'71-tan40°tan20°

正确.

故选：BCD.

练透核心考点

1.（23-24高一下•四川成都•阶段练习）计算sinl35'cosl50-cos45'sin（-l5。）的值为（）

A."

B.上D

23-I

【答案】A

【分析】根据题意,结合两角和的正弦公式，即可求解.

【详解】由sin135°cos15°-cos45°sin(-15°)=sin45°cos15°+cos45°sinl5°

=sin(45°+15°)=sin60°=.

故选：A.

2.(23-24高一下•江苏南京•阶段练习)sinlWcoslOo+ssZOOsinlO。的值等于(

A®R6c1n_1

2222

【答案】C

【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求解.

【详解】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)

=sin30°=-

2

故选：C.

3.(23-24高一下•江苏连云港•阶段练习)计算sin50°cosl0°+sin40°sinl0°=

【答案】鸟:6

22

【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得.

【详解】sin50°cos10+sin40sin10

=sin(90°-40°)cos10°+sin40°sin10

=cos40°cos10°+sin40°sin10°

=cos(40°-10°)=cos30°=.

故答案为：®

2

4.(23-24高一上•山西吕梁•期末)已知tan(a+£)=2,tan(a-分)=4,贝ljtan2a=

【答案】-1

【分析】利用两角和正切公式直接求解即可.

tan(ez+/7)+tan(a-7?)6

【详解】tan2a=tan[(cr+/7)+(cr-(3)]=

1-tan(6r+B)tan(6z-/?)7

故答案为：

高频考点二：公式的逆用及变形

典型例题

/々1otan14。

例题1.(23-24高一上•广西贺州•期末)设a=Y^sin570-Los57。，b=-----5—,c=2sinl30cosl30,则有

-221-tan214°

()

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

【分析】由两角差的正弦公式求。，由二倍角的正切公式求6,由二倍角的正弦公式求。，即可根据正弦函

数的单调性比较大小.

【详解】a=sin570-；cos570=sin(57°-30°)=sin270,

9140

b=---------=tan(14°+14°)=tan28°,

1-tan214°

c=2sinl30cosl3°=sin26,

・•・正弦函数在(0段)是单调递增的，，c<a.

又b=tan28=S^n>sin28>sin27：.a<b.

cos280

故选：A.

例题2.(23-24高一上•安徽蚌埠•期末)y/3tan85°tan35°-tan85°-tan35°=()

A.—B.--C.73D.-石

33

【答案】C

【分析】利用正切和角公式得到「n85：tan£=一百,整理后得到答案.

1-tan85°tan35°

,tan85°+tan35°r：

［详解］tan120°=tan(85°+35°)=----------------=一J3,

')1-tan85°tan35°

/.tan850+tan35°=-y/3+百tan85°tan35°，

6tan85°tan35°-tan85°-tan35°=^3.

故选：C

例题3.(2024高三・全国•专题练习)在△ABC中，若tanAtan5=tanA+tan3+l,则cos。的值是

【答案】巫/:四

22

【分析】

37r7T

根据题意由两角和的正切公式可得=即可得C=r求出结果.

【详解】

,,,口tanA+tanB,

由tanAtan6=tanA+tan3+l,得-----------=-1,

1-tanAtanB

gptan（A+B）=-l,又A+Be（0,兀）,

■SITTT

所以A+B=T则C」

所以cosC=----

2

故答案为：也

例题4.（23-24高一上•湖南衡阳•期末）计算求值

⑴已知tana=-3，求Bsin?a-sin2a的值.

（2）--------------

sin10°sin80°

【答案】⑴3*3

⑵4

【分析】（1）利用正弦二倍角公式化简，再结合齐次式相关概念化简计算即可；

（2）根据题意进行通分，根据正弦二倍角公式、两角和的余弦公式、诱导公式进行化简计算即可.

3sin2a—2sinacosa_3tan2a—2tana_3x9+633

sina+cosatana+\To

_sin80°-gsin10°_cos10。-氐in10。_2cos（10。+60。）_2cos70°

（2）原式-sin10°sin80°-sinlO°coslO°一1.——1.o

—sinzouno—sinzoun

22

练透核心考点

1.（2024•山西吕梁•一模）tan80。-J的值为（）

A.73

【答案】D

【分析】

先把正切化为弦，再分别应用配角公式和正弦的二倍角公式化简即可.

【详解】

tan80°-括sin80。-括cos80。2（sin80。x-cos80。x

sin80°sin80°cos80°

—x2sin80°cos80°

2

4sin（80°-60°）4sin2004sin20°

sin160°-sin（180°-20°）-sin20°

故选：D.

2.(23-24高一下•江苏常州■阶段练习)tan10°+tan50°+6tan10°tan50°=()

A.1B.6C.3D.2若

【答案】B

【分析】由tan（l（r+50o）=石利用两角和的正切公式计算可得.

tan10°+tan50°

【详解】因为1311（10。+50。）=

1-tan10°tan50°

所以石一百tan100tan50°=tan100+tan50°,

所以tan100+tan50°+退tan10°tan50°=抬'.

故选：B

3.（2024高一上•全国•专题练习）tan75-tan15。=（）

1+tan75tan15

A.73B.立

3

C.1D.-石

【答案】A

【分析】根据题意，结合两角差的正切公式，利用特殊角的三角函数值，即可求解.

【详解】由两角差的正切公式，可得二75Tan%=tan（75°_15°）=tan60°=^.

1+tan75tan15

故选：A.

4.（21-22高一•全国•课前预习）计算：tan730-tan193°-^tan73°tan13°=.

【答案】旧

【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.

【详解】由题意tan73°-tan13"-6tan73°tan13°=tan（730+tan73°tan13°）-6tan73°tan13°=上.

故答案为：6

高频考点三：辅助角公式的运用

典型例题

例题1.（23-24高一下•上海奉贤•阶段练习）函数y=sin%+Gcosx,x£[0,7i]的值域是

【答案】[-73,2]

【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用整体法求值域.

【详解】•/sinx+^3cos%

=2•(—sinx++cosx)

_.71.71、

=2•(cos—sinx+sm—cosx)

=2sin(x+y),

「「八i兀「兀4K~|.(兀、V3.

L」3L33J[3)\_2

2sin(x+；]G[一石目.

y=sinx+6cosx的值域为「6，2].

例题2.(2024高一下•江苏•专题练习)化简3后sinx-3君cos;c=.

【答案】6君sin(x—多

6

【分析】

根据题意，利用两角差的正弦公式，准确化简，即可求解.

【详解】

由3ji?sinx-34COSX=65/5-(^-sinx--cosx)=6^/5sin(x-—).

226

故答案为：6君sin(x<).

O

例题3.(23-24高一下•上海•阶段练习)把sina+J§cosa化成Asin((z+e)G4>0,0<o<Ti)的形式

7T

【答案】2sin(«+-)

【分析】

根据给定条件，逆用和角的正弦公式化简即得.

【详解】依题意，sina+V3cosa=2(^-sintz+-^-cos«)=2(sinacos+cosasiny)=2sin(a+：).

故答案为：2sin((z+—)

练透核心考点

1.(23-24高三下•上海•阶段练习)函数>=3cos尤-4siiu的最大值为.

【答案】5

【分析】

借助辅助角公式计算即可得.

【详解】y-3cosx-4sinx=5cos^x+(p),其中tane=w，

由cos(x+0)e[-Ll],故y=3cosx-4sinx的最大值为5.

故答案为：5.

2.(2023・湖南岳阳•模拟预测)已知。>0,若函数/(x)=sinx-acosx的最大值为2,贝!]。=.

【答案】V3

【分析】

由辅助角公式得函数最大值，进而列方程即可求解.

【详解】由题意〃x)=sinx-acosx=Ja2+lsin(x-0),其中cose=/?，sino=7?,

所以/(x)max=1a2+1—2，

又因为a>0,所以a=

故答案为：6

3.(23-24高一上•内蒙古呼伦贝尔•期末)已知。>0,函数/(x)=sins+Ceoss的最小正周期为兀，则

实数0=.

【答案】2

【分析】先用辅助角公式化简，然后利用周期公式求解.

【详解】/(x)=sinox+A/3COSCOX=2sin^^>x+y^,

_2兀2兀

故7=「j=-=兀，所以0=2.

\(t)\CD

故答案为：2.

高频考点四：二倍角

典型例题

例题L(2024・全国•模拟预测)已知sin*],则任当=()