专题18直线和圆的方程(讲义)（原卷版）

专题18直线和圆的方程(讲义)一、直线的方程1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.2.直线的斜率(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.(2)计算公式①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x).3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线常用结论：1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.二、两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系(1)两直线的交点点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4.对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.常用结论：1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0.2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.三、圆的方程1.圆的定义和圆的方程定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.常用结论：1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.四、直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d>rd＝rd<r2.圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，则圆心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2图示公切线条数40213常用结论：1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（xM＋xN）2－4xM·xN).一、填空题1．直线过点，倾斜角为，则直线的一般式方程为____________．2．经过两点的直线的一个方向向量为，则__________．3．在平面直角坐标系中，已知两点，为坐标原点，则的平分线所在直线的方程为___________.4．已知圆C1：与圆C2：，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.5．已知圆与相交于两点，则公共弦的长是___________.6．直线与圆交于､两点，为坐标原点，则的面积为___________.7．若直线与重合，则正数a、b的和为______.8．直线被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是__________．9．已知圆与圆交于，两点，且这两点平分圆的圆周，则圆半径最小时圆的方程为___.10．圆：和圆：的交点为A，B，则有______（填序号）．①公共弦AB所在直线方程为；②线段AB的中垂线方程为；③公共弦AB的长为；④P为圆上一动点，则Р到直线AB的距离的最大值为．11．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是______.12．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成和角，过点作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，则直线AB的方程是________.13．已知圆，直线，为直线上的动点，过做圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为________14．已知圆，直线，，则下列结论：①直线l恒过定点；②当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1；③圆C与曲线恰有三条公切线，则；④当时，直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点.其中所有正确的有___________.15．已知实数，，，满足：，，，则的最大值为___________.16．已知点A为圆和在第一象限内的公共点，过点A的直线分别交圆，于C，D两点（C，D异于点A），且，则直线CD的斜率是___________.二、单选题17．直线的倾斜角为（

）A．120° B．60° C．30° D．150°18．在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（

）A．， B．，C．， D．，19．已知直线，，若，则实数的值为（

）A．1 B． C． D．20．已知直线，以下结论不正确的是（

）A．不论a为何值时，与都互相垂直B．当a变化时，与分别经过定点和C．不论a为何值，与都关于直线对称D．如果与交于点为坐标原点，则的最大值是21．若过点的直线截圆的弦长为8，则直线的方程为（

）A． B．C．或 D．或22．若直线与圆相切，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．23．直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．24．对于直线：（），现有下列说法：①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变；②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限；③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；④当取不同数值时，可得到一组平行直线．其中正确的个数是（

）A． B． C． D．25．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点、（在的上方），且，过点任作一条直线与圆相交于、两点，的值为（

）A．2 B．3 C． D．三、解答题26．在平面直角坐标系xOy中，设直线（）．(1)求证：直线l经过第一象限；(2)当原点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程．27．已知圆：和圆相交于两点.(1)求公共弦所在直线的方程.(2)求的面积.28．已知顶点，边上的高为且垂足为E.(1)求边上中线所在的直线方程；(2)求点E的坐标．29．已知圆，动直线（1）判断直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点；（2）动直线l与圆C所成的弦中，求以最长弦和最短弦为对角线的四边形ABCD的面积.30．已知点及圆：.（1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程；（2）设过P直线与圆交于M、N两点，当时，求以为直径的圆的方程；（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值.31．已知圆，直线.（1）求直线所过定点A的坐标；（2）求直线被圆C所截得的弦长最短时的值及最短弦长；（3）已知点，在直线上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数.32．已知圆M与直线相切于点，圆心M在轴上．(1)求圆M的标准方程；(2)若直线与圆M交于P，Q两点，求弦的最短长度；(3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于C，D两点，记，的面积为，，求的最大值．33．圆C：．(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；(2)已知，圆C与x轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：相交于两点A、B问：是否存在实数a，使得？若存在，请说明理由．34．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；（2）如图，已知点、点和点分别是