第15讲直线与圆的位置关系（3种题型）

第15讲直线与圆的位置关系（3种题型）【知识梳理】一．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．二．直线与圆相交的性质直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．三．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．【考点剖析】一．圆的切线方程（共13小题）1．（2022秋•辽阳期末）已知圆C：x2+y2＝25与直线l：3x﹣4y+m＝0（m＞0）相切，则m＝（）A．15 B．5 C．20 D．25【分析】根据圆与直线相切的判定列式求解得出答案．【解答】解：易知C的圆心为原点O，设O到直线l的距离为d，因为圆C与直线l相切，则，解得m＝25．故选：D．【点评】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．2．（2022秋•华容县期末）写出一条与圆x2+y2＝1相切的直线l的方程y＝1（答案不唯一）．【分析】根据已知条件，结合直线与圆相切的定义，即可求解．【解答】解：圆x2+y2＝1，圆心为（0，0），半径为1，圆心（0，0）到直线y＝1的距离为1，故直线y＝1与圆x2+y2＝1相切．故答案为：y＝1（答案不唯一）．【点评】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．3．（2022秋•红桥区期末）以点（1，2）为圆心，与直线5x﹣12y﹣7＝0有且只有一个公共点的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．【分析】由直线与圆相切求出半径，即可求解．【解答】解：以点（1，2）为圆心的圆与直线5x﹣12y﹣7＝0相切，所以半径为，所以所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．【点评】本题主要考查圆的方程的求解，属于基础题．4．（2022秋•杨浦区校级期末）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a+b的最大值为（）A．﹣3 B．﹣3 C．3 D．3【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由＝3，得到a2+b2＝9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上，法一：令a+b＝t，利用线性规划求出t的最大值；法二、可令a＝3cosα，b＝3sinα（0≤α＜2π），运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2＝4，x2+（y﹣b）2＝1，圆心分别为（﹣a，0），（0，b），半径分别为2和1，故有＝3，∴a2+b2＝9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上．法一、令a+b＝t，利用线性规划求出t的最大值．如图：可行域为圆a2+b2＝9，t＝a+b为目标函数，点A（﹣，﹣）和点B（，）为最优解，故B（，）使a+b＝t取得最大值为3．法二、令a＝3cosα，b＝3sinα（0≤α＜2π），则a+b＝3cosα+3sinα＝3sin（α+），当sin（α+）＝1，即α＝时，可得a+b的最大值为3．故选：D．【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，简单的线性规划的应用，体现了数形结合与转化的数学思想，属于中档题．5．（2022秋•光明区期末）过点P（﹣2，3）作圆E：x2+y2﹣4x+2y＝0的两条切线，切点分别为M，N则直线MN的方程为4x﹣4y﹣7＝0．【分析】将圆的一般方程整理成标准方程，设M，N的坐标，可得在M，N处的切线方程，再由P点在切线上，可得MN的直线方程．【解答】解：圆E的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝5，设切点M（x1，y1），N（x2，y2），则切点所在的切线方程为：（x1﹣2）（x﹣2）+（y1+1）（y+1）＝5，（x2﹣2）（x﹣2）+（y2+1）（y+1）＝5，因为点P在切线上，所以（x1﹣2）（﹣2﹣2）+（y1+1）（3+1）＝5，即﹣4（x1﹣2）+4（y1+1）＝5，﹣4（x2﹣2）+4（y2+1）＝5，所以M，N在直线﹣4（x﹣2）+4（y+1）＝5上，即MN的直线方程为4x﹣4y﹣7＝0，故答案为：4x﹣4y﹣7＝0．【点评】本题考查圆的切线方程的求法及两个切点所在直线方程的求法，属于基础题．6．（2022秋•包头期末）在平面直角坐标系中，过P（﹣1，3）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为x﹣3y+1＝0．【分析】根据切线的性质可知P，A，B，O四点共圆，且OP为直径，求出圆的方程，两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程．【解答】解：由切线的性质可知，OA⊥PA，OB⊥PB，故P，A，B，O四点共圆，且OP为直径，由OP中点为，，所以A，B在圆上，即x2+y2+x﹣3y＝0，两圆方程相减可得，公共弦AB的方程为x﹣3y+1＝0．故答案为：x﹣3y+1＝0．【点评】本题主要考查了切线性质的应用，还考查了相交圆的公共弦的求解，属于基础题．7．（2022秋•官渡区期末）圆（x﹣2）2+（y+1）2＝5在点（1，1）处的切线方程为x﹣2y+1＝0．【分析】求出圆的圆心，然后求解切线的斜率，即可得到切线方程．【解答】解：点（1，1）满足圆的方程，点在圆上，圆的圆心（2，﹣1），所以由切线与切点和圆心连线垂直，可得切线的斜率为：﹣＝，所以切线方程为：y﹣1＝（x﹣1），可得x﹣2y+1＝0．故答案为：x﹣2y+1＝0．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．8．（2022秋•阿拉善左旗校级期末）以点（﹣3，2）为圆心，且与直线3x﹣y+1＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+2）2＝10 B．（x+3）2+（y﹣2）2＝1 C．（x+3）2+（y﹣2）2＝10 D．（x﹣3）2+（y+2）2＝1【分析】根据直线与圆的位置关系求得圆的半径，即可求得结果．【解答】解：因为点（﹣3，2）到直线3x﹣y+1＝0的距离是，所以圆的半径为，所以圆的方程为（x+3）2+（y﹣2）2＝10．故选：C．【点评】本题主要考查圆的切线方程，考查转化能力，属于中档题．9．（2022秋•商丘期末）已知圆M：（x+2）2+（y+1）2＝16，过点P（6，5）作圆M的一条切线，切点为N，则△PMN的面积为（）A． B． C．8 D．16【分析】画出图形，求出PM的长，就能求出PN的长，根据求解．【解答】解：因为圆M：（x+2）2+（y+1）2＝16的圆心M（﹣2，﹣1），半径为4，因为PN是圆M：（x+2）2+（y+1）2＝16的切线，所以PN⊥MN，即△MNP是以N为直角的直角三角形，则，又因为，又因为MN＝4，所以，所以．故选：A．【点评】本题主要考查圆的切线方程，属于中档题．10．（2022秋•梅河口市校级期末）过直线4x+3y+10＝0上一点P作圆C：x2+y2﹣2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（）A． B． C． D．【分析】由切线性质可得，由勾股定理表示出|PA|，进而得解．【解答】解：如图，由切线性质可知，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAC≌△PBC，所以，圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝1，圆心为C（1，0），半径为r＝1，则点C到直线距离，，要使最小，需使|PC|min＝d，故．故选：C．【点评】本题考查圆切线的性质，属于基础题．11．（2022秋•阳泉期末）已知圆C经过A（4，1），B（3，0）两点，且圆心C在直线x+2y﹣3＝0上．（1）求经过点A，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）求过点B的圆C的切线方程．【分析】（1）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，代入点A（4，1）坐标，求解即可．（2）设圆心坐标C（3﹣2b，b），借助于r＝|AC|＝|BC|，解出C点坐标，利用直线BC和切线垂直求切线的斜率，进而写出切线方程．【解答】解：（1）经过点A，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，代入点A（4，1）得4k＝1，，即，即直线的方程为x﹣4y＝0，当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，将点A（4，1）代入解得a＝5，即直线的方程为x+y﹣5＝0∴所求直线的方程为x﹣4y＝0或x+y﹣5＝0；（2）因圆心C在直线x+2y﹣3＝0上，则设圆心C（3﹣2b，b），又圆C经过A（4，1），B（3，0）两点，于是得圆C的半径r＝|AC|＝|BC|，即有，解得b＝﹣1，圆心C（5，﹣1），∴，∴kl＝2，∴切线l的方程为y﹣0＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣6＝0．【点评】本题主要考查了直线方程与圆的方程的求解，属于中档题．12．（2022秋•吉林期末）过（3，1）做圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的两条切线，与圆切AB两点．（1）求切线方程；（2）求线段AB长度．【分析】（1）当切线斜率不存在时，方程为x＝3满足条件；当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣1＝k（x﹣3），化为一般方程，再由圆心到直线的距离等于半径列式求解k，则切线方程可求；（2）在直角三角形AMC中，求出斜边CM的高，乘以2得答案．【解答】解：（1）当切线斜率不存在时，方程为x＝3满足条件；当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+1＝0，由，得，所求直线方程为y＝，故所求切线方程为x＝3或y＝；（2）如图，在直角三角形AMC中，|AC|＝2，|AM|＝1，则斜边CM的高为，∴．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．13．（2022秋•滨海新区校级期末）已知圆C经过A（3，0）和B（2，1）两点，且圆心在x轴正半轴上．（1）求圆C的方程．（2）从点（3，2）向圆C作切线，求切线方程．【分析】（1）根据弦的中垂线过圆心，联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解；（2）根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解．【解答】解：（1）由题可知kAB＝，∴线段AB的中垂线的斜率等于1，又∵AB的中点为（，），∴线段AB的中垂线的直线方程为y﹣＝x﹣，即x﹣y﹣2＝0，取y＝0，得x＝2，∴圆心C（2，0），又∵半径等于|AC|＝1，∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝1；（2）设圆C的半径为r，则r＝1，若直线的斜率不存在，∵直线过点（3，2），∴直线方程为x＝3，此时圆心C（2，0）到直线x＝3的距离d＝1＝r，满足题意；若直线的斜率存在，设斜率为k，则切线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，解得k＝，∴切线方程为x﹣y+2﹣＝0，即3x﹣4y﹣1＝0．∴切线方程为x＝3或3x﹣4y﹣1＝0．【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，是中档题．二．直线与圆相交的性质（共6小题）14．（2022秋•西青区校级期末）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0的最大距离与最小距离的差是（）A．36 B．18 C． D．【分析】先看直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为3，圆心到直线x+y﹣14＝0的距离为＞3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6，故选：D．【点评】本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，是基础题．15．（2022秋•玉溪期末）过点（﹣1，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0相交于A，B两点，弦AB长的最小值为（）A．1 B． C．2 D．【分析】判断点（﹣1，0）在圆C内，根据当l垂直于圆心与定点所在直线时，弦长|AB|最短，代入公式计算可得．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，即：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，∴圆C的圆心C（1，﹣2），半径为3，又∵（﹣1﹣1）2+（0+2）2＜9，∴点M（﹣1，0）在圆C内，∴当l⊥CM时，弦长|AB|最短，又∵，∴．故选：C．【点评】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查转化能力，属于基础题．16．（2023•红桥区二模）已知直线x﹣y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为5．【分析】根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x﹣y+8＝0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2＝d2+（）2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝r2的圆心为（0，0），半径为r；则圆心到直线x﹣y+8＝0的距离d＝＝4，若|AB|＝6，则有r2＝d2+（）2＝16+9＝25，故r＝5；故答案为：5【点评】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．17．（2022秋•西青区期末）已知圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0，则过点M（1，1）的最短弦所在的直线方程是x+2y﹣3＝0．【分析】由圆心与点M的连线与直线l垂直时，所截的弦长最短求解．【解答】解：根据题意：弦最短时，则圆心与点M的连线与直线l垂直，∴圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13，圆心为：O（2，3），∴kl＝﹣＝﹣．由点斜式整理得直线方程为：x+2y﹣3＝0．故答案为：x+2y﹣3＝0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长问题及直线的斜率及方程形式，考查数学用几何法解决直线与圆的能力，是基础题．18．（2022秋•水磨沟区校级期末）已知点M（1，3），圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝4，l：x+y+4＝0．（1）若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程．（2）设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．【分析】（1）分两类讨论：①当直线斜率不存在时；②当直线斜率存在时，分别计算出对应的直线方程即可；（2）由题意可知当|PQ|最小时，CP连线与已知直线l垂直，于是计算出|CP|，进而得出|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由题意可知：圆C的圆心到直线的距离为＝1．①当直线斜率不存在时，圆C的圆心到直线距离为1，满足题意；②当直线斜率存在时，设过M（1，3）的直线方程为：y﹣3＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3＝0，则由点到直线距离公式列方程得：，解得．综上，过M（1，3）的直线方程为x＝1或15x+8y﹣39＝0．（2）由题意可知当|PQ|最小时，CP连线与已知直线l垂直，所以|CP|＝＝，由勾股定理知：|PQ|＝＝＝，所以|PQ|的最小值为．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的思想，属中档题．19．（2022秋•城关区校级期末）已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2＝36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．【分析】设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣4），代入椭圆的方程化简，由x1+x2＝＝8解得k值，即得直线l的方程．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣4），即kx﹣y+2﹣4k＝0，代入椭圆的方程化简得：（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20＝0，∴x1+x2＝＝8，解得：k＝﹣，则直线l的方程为x+2y﹣8＝0．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20＝0，是解题的关键．三．直线与圆的位置关系（共13小题）20．（2022秋•资阳期末）已知过原点的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．6 B． C． D．【分析】判断原点在圆内，再运用过圆内一定点的所有弦中最短的弦为过该定点且垂直于定点与圆心连线的弦可得结果．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36，则圆心C（3，4），半径r＝6，∴，又∵（0﹣3）2+（0﹣4）2＜36，∴点（0，0）在圆C内，∴．故选：D．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．21．（2022秋•南阳期末）与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相切，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】在两坐标轴上的截距互为相反数的直线，斜率为1或直线过原点，由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可．【解答】解：圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（3，2），半径为r＝2，满足题意的直线方程斜率可以为1，设直线方程为x﹣y＝a，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝r，即，解得，∴此时满足条件的直线有两条：和；满足题意的直线可以过原点时，直线倾斜角为90°时显然不与圆相切，设直线方程为y＝kx，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝r，即，解得k＝0或，其中k＝0时，直线为x轴，不合题意，故此时满足条件的直线有一条：；综上所述：满足条件的直线有三条．故选：C．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．22．（2022秋•利通区校级期末）已知直线y＝kx+2与圆C：x2+y2＝2交于A，B两点，且|AB|＝2，则k＝（）A． B． C． D．【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径之间的关系，以及点到直线的距离公式列方程求解即可．【解答】解：因为圆C：x2+y2＝2的圆心C（0，0），半径，弦长|AB|＝2，所以C到直线y＝kx+2的距离，即，解得．故选：D．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．23．（2022秋•钦州期末）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上有且只有两个点到直线l：3x﹣4y﹣15＝0的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（）A．（2，4） B．[2，4] C．（2，3] D．[3，4）【分析】求出到直线l的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解作答．【解答】解：平面内到直线l距离为1的点的轨迹是与直线l平行且距离为1的两条直线l1，l2，设l1，l2的方程为3x﹣4y﹣m＝0（m≠15），则，解得m＝10或m＝20，即直线l1：3x﹣4y﹣10＝0，直线l2：3x﹣4y﹣20＝0，如图，圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上有且只有两个点到直线l的距离为1，则圆O与l1相交，与l2相离，圆O的圆心O（0，0）到直线l1的距离，到直线l2的距离，所以圆O半径r的取值范围为2＜r＜4，即r∈（2，4）．故选：A．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．24．（2022秋•潮阳区期末）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝4，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．（1）求证：任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）当m＝2时，求直线l被圆C截得的弦长．【分析】（1）求含参直线l所恒过的定点，定点在圆的内部，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）求圆心到直线的距离，根据勾股定理求半弦长，再求出弦长．【解答】证明：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m＝0恒过定点A（1，1），又12+（1﹣1）2＝1＜4，所以点A（1，1）在圆C：x2+（y﹣1）2＝4的内部，所以直线l与圆C总有两个不同的交点．（2）解：由题设，l：2x﹣y﹣1＝0，又圆C的圆心为（0，1），半径为r＝2，所以（0，1）到直线l的距离，所以弦长为．即直线l被圆C截得的弦长．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．25．（2022秋•金安区校级期末）已知圆C是圆C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0关于直线n：x+y﹣2＝0的对称圆．（1）求圆C的方程；（2）求过点T（﹣4，3）与圆C相切的切线方程．【分析】（1）先利用对称的特征设出所求圆的方程，根据点关于直线对称的特点求出方程；（2）分斜率存在和不存在两种情况，利用待定系数法，根据点到直线的距离等于半径来求解．【解答】解：（1）由C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0可得：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4．因为圆C是圆C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0关于直线n：x+y﹣2＝0的对称圆，则可设C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，由题意可得，解得a＝﹣2，b＝0，所以圆C的方程为（x+2）2+y2＝4．（2）过点T（﹣4，3）与圆C相切的切线，当切线斜率不存在时，则切线方程为x＝﹣4，经检验满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣3＝k（x+4），由圆心到切线距离等于半径可得，解得，即切线方程为5x+12y﹣16＝0，综上，所求切线方程为5x+12y﹣16＝0或x＝﹣4．【点评】本题考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，方程思想，属中档题．26．（2022秋•郴州期末）已知圆C过点M（﹣3，2），圆心C在直线x﹣y+3＝0上，且圆C与x轴相切．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（2，3）的直线l与圆C相交于A、B两点，若△ABC为直角三角形，求直线l的方程．【分析】（1）待定系数法求圆的方程即可；（2）设l：y﹣3＝k（x﹣2），根据题意得到弦长，再结合垂径定理和点线距离公式可求k的值，从而得到直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，设圆心C（a，a+3），由于圆C与x轴相切，∴半径r＝|a+3|，所以设圆C方程为（x﹣a）2+（y﹣a﹣3）2＝（a+3）2，又圆C过点M（﹣3，2），∴（﹣3﹣a）2+（2﹣a﹣3）2＝（a+3）2，解得a＝﹣1，∴圆C方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4．（2）由圆C方程易知直线l的斜率存在，故设l：y﹣3＝k（x﹣2），即l：kx﹣y+3﹣2k＝0，设C到l的距离为d，则，∵△ABC为直角三角形，∴，∴，∴或，故直线l得方程为x﹣y+1＝0或x+7y﹣23＝0．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，还考查了直线与圆相交性质的应用，属于中档题．27．（2022秋•龙岩期末）已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（﹣1，1）和B（3，3）两点．（1）求圆C的方程；（2）过点P（7，5）的直线m被圆C截得的弦长为6，求直线m的斜率．【分析】（1）设出圆的方程，代入已知点，列方程组求解即可；（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线m的斜率．【解答】解：（1）由圆C的圆心在x轴上，设圆C的方程为x2+y2+Dx+F＝0，，解得，所以圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣6＝0；（2）由（1）得圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝10，圆心C（2，0），半径，设直线m的斜率为k，则直线m的方程为y＝k（x﹣7）+5，即kx﹣y﹣7k+5＝0，直线m被圆C截得的弦长为6，则，解得或．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．28．（2023春•靖江市校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线x﹣y+1＝0上，且与直线2x+y＝0相切于坐标原点．（1）求圆M的标准方程；（2）经过点A（0，2）的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【分析】（1）设M（m，m+1），然后根据条件求出圆心，进而可得半径，则圆M的标准方程可求；（2）检验直线l的斜率存在，设出直线方程，然后利用垂径定理列方程求解．【解答】解：（1）∵圆M的圆心在直线x﹣y+1＝0上，设M（m，m+1），则，解得m＝﹣2，即M（﹣2，﹣1），∴圆的半径为，∴圆M的标准方程为（x+2）2+（y+1）2＝5；（2）经过点A（0，2）的直线l被圆M截得的弦长为，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆M截得的弦长为，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0，∴，解得k＝1或，∴直线l的方程为x﹣y+2＝0或17x﹣7y+14＝0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．29．（2022秋•资阳期末）已知⊙O的圆心为坐标原点，⊙O上的点到直线的距离的最小值为1．（1）求⊙O的方程；（2）过点P（4，2）作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．求直线AB的方程．【分析】（1）由点线距离根据条件建立等式，即可求得半径，从而得到方程；（2）经过切点A，B的直线可以看作是以OP为直径的圆与⊙O的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，化简得到直线方程．【解答】解：（1）由题，⊙O的圆心O（0，0）到直线距离为，设⊙O的半径为r，则⊙O上的点到直线l距离的最小值为d﹣r＝2﹣r，由2﹣r＝1，解得r＝1，所以⊙O的方程为x2+y2＝1．（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），经过切点A，B的直线可以看作是以OP为直径的圆与⊙O的公共弦所在的直线．以OP为直径的圆的圆心为（2，1），又，则以OP为直径的圆的半径为，所以，以OP为直径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，即x2+y2﹣4x﹣2y＝0，与⊙O的方程x2+y2＝1联立，得到4x+2y＝1，所以直线AB的方程为4x+2y＝1．【点评】本题考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，两圆公共弦直线的求解，属中档题．30．（2022秋•宁德期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），∠OAB＝∠ABC＝120°，|AB|＝2．（1）求直线BC的方程；（2）记△OAB的外接圆为圆M，求直线BC被圆M截得的弦长．【分析】（1）直线BC交x轴于D点，由题意可得△ABD为等边三角形，故，可求直线BC的方程；（2）由可求△OAB的外接圆方程，几何法求直线BC被圆M截得的弦长．【解答】解：（1）（如图）直线BC交x轴于D点，△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝60°，所以∠BDA＝60°，故，所以，所以直线BC的方程为；（2）因为，，AB的中点为，所以AB的垂直平分线方程为：①，所以OA的垂直平分线方程为：x＝﹣1②，由①②得，圆心为，圆心到直线BC的距离，所以直线BC被圆M截得的弦长＝．【点评】本题考查直线方程的求解，圆的方程的求解，属中档题．31．（2022秋•舟山期末）已知点A（1，2），圆C：x2+y2+2mx+2y+2＝0．（1）若过点A可以做两条圆的切线，求m的取值范围；（2）当m＝﹣2时，过直线2x﹣y+3＝0上一点P作圆的两条切线PM、PN，求四边形PMCN面积的最小值．【分析】（1）利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答；（2）首先得到，再根据点到直线的距离公式求出|CP|的最小值，最后得到四边形面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得A（1，2）在圆外，则1+4+2m+6＞0，即，又4m2+4﹣8＞0，即m＞1或m＜﹣1，所以或m＞1；故m的取值范围为（，﹣1）∪（1，+∞）；（2）m＝﹣2时，圆方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝3，则圆的半径，圆心C（2，﹣1），∴直线方程为2x﹣y+3＝0，设圆心（2，﹣1）到直线2x﹣y+3＝0的距离为d，∴，【点评】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题．32．（2022秋•南阳期末）已知四个点：A（﹣2，0），B（6，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1）．（1）从A，B，C，D四点中选3个点确定一个三角形，求出该三角形的外接圆M的方程；（2）过点E（3，1）作直线l交圆M于P，Q两点，若|PQ|＝4，求直线l的方程．【分析】（1）利用圆的一般方程，待定系数法求解；（2）根据弦长公式求出直线l的距离为1，再根据点到直线距离公式求解．【解答】解：（1）设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（i）选A（﹣2，0），B（6，0），C（﹣1，7），则有，解得，所以所求圆方程为x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0；（ii）选A（﹣2，0），B（6，0），D（5，﹣1），则有，解得，所以所求圆方程为x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0；（iii）选A（﹣2，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1），则有，解得，所以所求圆方程为x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0；（iiii）选B（6，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1），则有，解得，所以所求圆方程为x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0．（2）由（1）可知圆心为（2，3），半径，设圆心（2，3）到直线l的距离为d，因为解得d＝1，若直线l的斜率不存在，则方程为x＝3，此时圆心到直线x＝3的距离为3﹣2＝1满足题意；若直线l的斜率存在，则设方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，因为圆心到直线的距离解得，所以直线l的方程为即3x+4y﹣13＝0．综上直线l的方程为x＝3或3x+4y﹣13＝0．【点评】本题考查圆的的方程的求解，直线与圆的位置关系，方程思想，属中档题．【过关检测】一、单选题1．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可得到切线的长.【详解】如图所示，圆心为，连接，

因为直线，关于对称，所以垂直于直线，故，而，所以.故选：C2．（2023秋·高二课时练习）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解.【详解】由得，所以圆心为，半径为，设切点分别为,连接,则为两切线的夹角，由于,所以,由二倍角公式可得，故选:B

3．（2023秋·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【答案】C【分析】由题意可得，结合圆心到直线的距离判断与半径的大小关系，即得答案.【详解】由题意知为圆内异于圆心的一点，则，而圆：的圆心到直线的距离为，故直线与该圆的位置关系为相离，故选：C4．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）对于直线与圆的以下说法正确的有（

）A．过定点B．被截得的弦长最长时，C．与相切时，或D．与相切时，记两种情形下的两个切点分别为、，则【答案】A【分析】将直线的方程变形，求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；分析可知，当被截得的弦长最长时，直线过圆心，可求出的值，可判断B选项；根据与相切求出的值，可判断CD选项.【详解】对于A选项，将直线的方程变形为，由可得，所以，直线过定点，A对；对于B选项，被截得的弦长最长时，直线过圆心，则，解得，B错；对于C选项，圆的圆心为，半径为，当直线与相切时，则，解得，C错；对于D选项，由C选项可知，直线与相切时只有一种情况，D错.故选：A.5．（2023春·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】将圆化为标准方程，则圆心，，当切线的斜率不存在时，切线的方程为，当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，由题意知，.解得.此时切线的方程为.综上，切线的方程为或.故选：C.6．（2023春·江西抚州·高二临川一中校考阶段练习）已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直线、关于直线对称，故两直线斜率互为相反数，所以假设直线方程为：，与圆进行联立可得点坐标，同理可得到点坐标，即得到答案【详解】解：设，，易得在圆上，因为直线、关于直线对称，故两直线斜率互为相反数，设直线方程的斜率为，则直线斜率为，所以直线方程为：，整理得：，所以：，即：，，所以，同理，所以，故选：7．（2023春·上海宝山·高二统考期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围．【详解】根据题意得为恒过定点的直线，由曲线，可得，所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，

当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因为直线与曲线恰有两个公共点，由图可得，即的取值范围是．故选：B．8．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.联立，解得或，所以直线与有两个交点.所以直线与曲线的交点个数为2个.故选：B二、多选题9．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知动直线与圆，则下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．圆的圆心坐标为C．直线与圆的相交弦的最小值为D．直线与圆的相交弦的最大值为4【答案】ACD【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.【详解】对于A，直线，即，令，得，即直线过定点，故A正确；对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.故选：ACD10．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知圆，直线，则（

）A．直线与圆C相交B．直线过定点（2，1）C．圆C被y轴截得的弦长为D．圆C被直线截得的弦长最短时，直线的方程为x=1【答案】ACD【分析】先考虑直线过定点，再判断该点在圆的内部，故可判断AB，利用弦长公式结合圆心到直线的距离可判断D的正误，在圆的方程中令后可求圆C被y轴截得的弦长，故可判断B的正误.【详解】可整理为，令，则，故直线过定点，故B错误.因为，故定点在圆的内部，故直线与圆C相交，故A正确.在圆的方程中令，则即，故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确.因为直线过定点，该定点与圆心的距离为，故圆心到直线的距离，故圆C被直线截得的弦长为，当且仅当时等号成立，此时定点与圆心连线的斜率为0，该连线垂直于直线，故直线的方程为，故D正确.故选：ACD.11．（2023秋·辽宁·高二校联考期末）已知圆，直线，下列结论正确的是（

）A．直线l恒过点B．若直线l平分圆C，则C．圆心C到直线l的距离的取值范围为D．若直线l与圆C交于点A，B，则面积的最大值为【答案】AD【分析】根据直线过定点、直线和圆的位置关系、圆的几何性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，令，得，即直线l恒过点，A正确．圆C化为标准方程得，所以圆心．因为直线l平分圆C，所以直线l过圆C的圆心，所以，解得，B错误．圆心C到直线l的距离的最大值为，最小值为0．因为直线l不能表示，所以圆心C到直线l的距离不能为2，故圆心C到直线l的距离的取值范围为，C错误．设圆心C到直线l的距离为d，的面积为，当时，面积的最大值为，D正确．故选：AD12．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆，则下列说法正确的是（

）A．若，则点在圆外B．圆与轴相切C．若圆截轴所得弦长为，则D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为【答案】AD【分析】利用点与圆的位置关系可判断A选项；求出圆心到轴的距离，可判断B选项；利用弦长的一半、弦心距以及圆的半径三者满足勾股定理求出的值，可判断C选项；对原点在圆上、圆外进行分类讨论，求出点到圆上一点的最大距离和最小距离，可判断D选项.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，对于A选项，若，则有，即点在圆外，A对；对于B选项，因为圆心到轴的距离为，而与的大小关系不确定，所以，圆与轴不一定相切，B错；对于C选项，若圆截轴所得弦长为，则，解得，C错；对于D选项，当时，点在圆上，点到圆上一点的最大距离为，点到圆上一点的最小距离为，则；当时，则点在圆外，且，所以，点到圆上一点的最大距离为，最小距离为，则点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为.综上所述，点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为，D对.故选：AD.三、填空题13．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）圆与直线的位置关系为_____________.【答案】相交【分析】先求出直线所过的定点，然后通过判断该点和圆的位置关系即可判断直线和圆的位置关系.【详解】由得，令得，即直线过定点由，故点在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.故答案为：相交14．（2023春·湖南常德·高二临澧县第一中学校考开学考试）若直线将圆的周长分为2∶1两部分，则直线的斜率为________.【答案】0或【分析】由直线的方程可知直线横过点，由直线将圆的周长分为2:1的两部分，则直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，可求出圆心到直线的距离，从而求得直线斜率.【详解】由直线，即，得到直线恒过点，又因为直线将圆的周长分为2:1的两部分，则直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，圆心到直线的距离为，设直线方程为：，即，由点到直线距离公式有：，则，解得或，故答案为：或.15．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______________．【答案】【分析】直线过定点，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆，数形结合可求实数的取值范围.【详解】直线，得，可知直线过定点，如图，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆．当直线与半圆相切时，，解得．曲线与轴负半轴交于点．因为直线与曲线有两个交点，所以．故答案为：.

16．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）对于圆上任意一点，的值与x、y无关，有下列结论中正确的命题是______（填写相应的序号）.①点的轨迹是一个圆；②r不存在最小值；③当时，r有最大值；④当，时，.【答案】②③【分析】可以看作点到直线与直线距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，圆在两直线内部，则，的距离为，则，当时，轨迹是直线，判断①②；当时，有最大值，可判断③；当，时，根据，即，可求的范围判断④．【详解】设，故可以看作点到直线与直线距离之和的倍，∵的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，距离之和与在圆上的位置无关，故已知圆在平行线，之间，，的距离为，则，，故r不存在最小值，故②正确；当时，的轨迹是平行于，的直线，故①错误；当时，则，的距离为，，即，有最大值，故③正确；当，时，，即，解得或，，故④错误.故答案为：②③．四、解答题17．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆经过点和，且圆关于直线对称．(1)求圆的方程；(2)过点作直线与圆相切，求直线的方程．【答案】(1)；(2)和.【分析】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可；（2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.【详解】（1）∵，，故AB的中点坐标为，，∴AB的垂直平分线为：，由解得圆心，半径故圆的方程为；（2）若直线的斜率存在，方程可设为，即圆心到直线的距离为，解得，所求的一条切线为；当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切，所以直线的方程为和．