第三章统计案例-2020-2021学年高二数学（理）下学期期末专项复习（人教A版选修2-3）

20202021学年高二理数学下学期期末专项复习（人教A版选修23）第三章统计案例考点1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.选择题1.下列关系中是相关关系的是()①路程与时间、速度的关系；②加速度与力的关系；③产品成本与产量的关系；④圆周长与面积的关系；⑤广告费支出与销售额的关系．A．①②④ B．①③⑤C．③⑤ D．③④⑤【答案】C【解析】①②④都是确定的函数关系．2.观察下列各图形，其中两个变量x，y具有相关关系的图是()A.①② B.①④ C.③④ D.②③【答案】C【解析】由散点图知③中的点都分布在一条直线附近.④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系.【温馨提示】1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.2.利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关指数R2越大，相关性越强.若r>0，则正相关；r<0时，则负相关.3.线性回归直线方程中：eq\o(b,\s\up6(^))>0时，正相关；eq\o(b,\s\up6(^))<0时，负相关.3.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m115106124103则哪位同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性()A．甲 B．乙C．丙 D．丁【答案】D【解析】因为相关系数|r|越大，残差平方和m越小，两变量的相关性越强，故选D．4.已知变量x，y之间有线性相关关系，其回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋eq\o(b,\s\up6(^))x，若eq\i\su(i＝1,10,x)i＝17，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝4，则eq\o(b,\s\up6(^))的值为()A．1 B．2C．－1 D．－2【答案】B【解析】∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,x)i＝1.7，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,y)i＝0.4，∴0.4＝－3＋1.7eq\o(b,\s\up6(^))，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝2.5.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25【答案】A【解析】R2的值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好．6.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103哪位同学的实验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？()A．甲 B．乙C．丙 D．丁【答案】D7.已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x24568y304050m60根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，则表中m的值为()A．45 B．50C．55 D．70【答案】D【解析】由表可知，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋50＋m＋60,5)＝eq\f(180＋m,5).因为回归直线会经过平均数样本中心点，所以eq\f(180＋m,5)＝6.5×5＋17.5，解得m＝70.故选D．8.某研究机构在对线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4681012y12356由表中数据求得y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.65x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,2)【答案】A【解析】依题意得，eq\x\to(x)＝8，eq\x\to(y)＝3.4.代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.65x＋eq\o(a,\s\up6(^))，得eq\o(a,\s\up6(^))＝－1.8，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.65x－1.8.表内的五个点中，点(6,2)，(8,3)落在回归直线的下方，∴所求概率P＝eq\f(2,5)，故选A．9.下列说法正确的是()A．两个变量的相关关系一定是线性相关B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于0C．在回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量eq\o(y,\s\up6(^))平均增加1个单位D．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大【答案】D【解析】D中，由独立性检验知“判断‘X与Y有关系’的把握程度越大”正确，故选D．10.以下四个命题，其中正确的是()A．由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀B．两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于0C．在线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋12中，当变量x每增加一单位时，变量eq\o(y,\s\up6(^))平均增加0.2个单位D．线性回归方程对应的直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少经过其样本数据点中的一个点【答案】C【解析】由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，不是数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀，故A错误；两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故B错误；线性回归方程对应的直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可能不经过其样本数据点中的任何点，故D错误；在线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋12中，当变量x每增加一个单位时，变量eq\o(y,\s\up6(^))平均增加0.2个单位，故C正确．故选C．11.为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是()A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A，B对该疾病均没有预防效果【答案】B【解析】根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病差异较药物B实验显示明显大，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果，故选B．12.关于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是()A．k的值越大，“X和Y有关系”可信程度越小B．k的值越小，“X和Y有关系”可信程度越小C．k的值越接近于0，“X和Y无关”程度越小D．k的值越大，“X和Y无关”程度越大【答案】B【解析】k的值越大，X和Y有关系的可能性就越大，也就意味着X与Y无关系的可能性就越小．13.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可，为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下2×2列联表：AB总计认可13518不认可71522总计202040附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879根据表中的数据，下列说法中，正确的是()A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”【答案】D【解析】由题意得K2＝≈6.465＞5.024.所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，故选D．14.下列四个命题中：①设有一个回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2－3x，变量x增加一个单位时，eq\o(y,\s\up6(^))平均增加3个单位；②命题p：“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0－1＞0”的否定﹁p：“∀x∈R，x2－x－1≤0”；③设随机变量X服从正态分布N(0,1)，若P(X＞1)＝p，则P(－1＜X＜0)＝eq\f(1,2)－p；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有()本题可以参考独立性检验临界值表：P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.5357.87910.828A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】①中，x与eq\o(y,\s\up6(^))负相关，x增加一个单位时，eq\o(y,\s\up6(^))平均减少3个单位，故①错．②正确．③中，由正态分布曲线关于x＝0对称知，③正确．④中，K2＝6.679＞6.535，则有99%的把握认为这两个常量有关系．故②③④正确．15.在一次独立性检验中，得出列联表如下：Aeq\x\to(A)合计B2008001000eq\x\to(B)180a180＋a合计380800＋a1180＋a且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是()A．200 B．720C．100 D．180【答案】B【解析】由题意知eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d)基本相等，由列联表知eq\f(200,1000)与eq\f(180,180＋a)基本相等，逐一代入验证知B满足条件．填空题16.①回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越大；②对于相关系数r，|r|越接近1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小；③由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，那么直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；④K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合．以上几种说法正确的序号是________．【答案】②③④【解析】回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好，所以①不正确．其余均正确．17.已知方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.7是根据女大学生的身高预报体重的回归方程(其中x，eq\o(y,\s\up6(^))的单位分别是cm,kg)，则该方程在样本(165,57)处的残差是________．【答案】2.45【解析】当x＝165时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×165－85.7＝54.55，所以方程在样本(165,57)处的残差是57－54.55＝2.45.18.若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝a＋bxi＋ei(i＝1,2，…，n)．若ei恒为0，则R2为________．【答案】1【解析】残差平方和越小，模型的拟合效果越好，R2越接近于1，当残差ei恒为0时，R2＝1.19.变量x与y具有线性相关关系，当x取值16,14,12,8时，通过观测得到y的值分别为11,9,8,5，若在实际问题中，y的预报最大取值是10，则x的最大取值不能超过________．【答案】15【解析】由题意知，x与y具有线性相关关系，当x＝16时，y＝11>10；当x＝14时，y＝9<10，则x的最大取值不能超过15.20.在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则判断“这两个变量有关系”时，判断出错的可能性是________．【答案】0.001【解析】由于K2＝13.079>10.828.所以有99.9%的把握认为“这两个变量有关系”，即判断出错的可能性是0.001.21.2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题，为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行实验，得到如下列联表：感染未感染总计注射104050未注射203050总计3070100参照附表，在犯错误的概率最多不超过________的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．参照公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】0.05【解析】由题意得K2＝≈4.762＞3.841，所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．22.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________.【答案】5%【解析】K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.解答题23.在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：分数段29～4041～5051～6061～7071～8081～9091～100午休考生人数23473021143114不午休考生人数1751671530173根据上述表格完成列联表：及格人数不及格人数总计午休不午休总计【答案】及格人数不及格人数总计午休80100180不午休65135200总某地区某中草药材的销售量与年份有关，下表是近五年的部分统计数据：年份20082010201220142016销售量(吨)114115116116114(1)利用所给数据求出销售量y与年份x之间的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2018年的中草药的销售量．参考公式：，.【解析】(1)容易算得eq\x\to(x)＝2000＋eq\f(8＋10＋12＋14＋16,5)＝2012，eq\x\to(y)＝110＋eq\f(4＋5＋6＋6＋4,5)＝115，对题目中表内的数据处理如下：xi－eq\x\to(x)－4－2024yi－eq\x\to(y)－1011－1eq\o(b,\s\up6(^))＝＝eq\f(2,40)＝0.05.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝115－0.05×2012＝14.4.所以销售量y与份x之间的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.05x＋14.4.(2)利用(1)中所求的方程，可预测2018年的该种中草药的销售量为0.05×2018＋14.4＝115.3(吨)．25.一只药用昆虫的产卵数y在一定范围内与温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表.温度x/℃212324272932产卵数y/个61120275777(1)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))(精确到0.1)；(2)若用非线性回归模型求y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.06e0.2303x，且相关指数R2＝0.9522.①试与(1)中的线性回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数)．附：一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计为eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，相关指数R2＝.eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝557，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\x\to(y))2＝3930，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝236.64，e8.0605＝3167.【解析】(1)由题意得eq\x\to(x)＝eq\f(21＋23＋24＋27＋29＋32,6)＝26，eq\x\to(y)＝eq\f(6＋11＋20＋27＋57＋77,6)＝33，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝557，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\x\to(x))2＝84，eq\o(b,\s\up6(^))＝＝eq\f(557,84)≈6.6，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝33－6.6×26＝－138.6，∴y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.6x－138.6.(2)①由所给数据求得的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.6x－138.6，又eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\x\to(y))2＝3930，故得相关指数R2＝＝1－eq\f(236.64,3930)≈1－0.0602＝0.9398，因为0.9398＜0.9522，所以回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.06e0.2303x比线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝6.6x－138.6拟合效果更好．②由①得当x＝35℃时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.06e0.2303×35＝0.06e8.0605＝0.06×3167≈190.即当温度x＝35℃时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个．26.某校为了分析本校高中生的性别与是否喜欢数学之间的关系，在高中生中随机地抽取了90名学生调查，得到了如下列联表．喜欢数学不喜欢数学总计男30①45女②2545总计③④90(1)求①②③④处分别对应的值；(2)根据以上数据，能否有95%的把握认为“高中生的性别与喜欢数学”有关？参照公式：K2，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】(1)15205040(2)由(1)得K2＝＝eq\f(9,2)＝4.5＞3.841，又P(K2≥3.841)＝0.05，∴有超过95%的把握认为“高中生的性别与喜欢数学”有关．27.第16届亚运会于2010年11月12日至27日在中国广州进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：喜爱运动不喜爱运动总计男1016女614总计30(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？【解析】(1)由题意得：喜爱运动不喜爱运动总计男10616女6814总计161430(2)由已知数据可求得：k＝≈1.158<2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．28.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y(单位：kg)与该地当日最高气温x(单位：℃)的相关数据，如下表：x119852y7881012(1)试求y与x的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6℃，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；(3)假定该地12月份的日最高气温X～N(μ，σ2)，其中μ近似取样本平均数eq\x\to(x)，σ2近似取样本方差s2，试求P(3.8<X<13.4)．附：参考公式和有关数据，.eq\r(10)≈3.2，eq\r(3.2)≈1.8，若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.【解析】(1)由题意得，eq\x\to(x)＝7，eq\x\to(y)＝9，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\x\to(x)eq\x\to(y)＝287－5×7×9＝－28，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2＝295－5×72＝50，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝－eq\f(28,50)＝－0.56，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝9－(－0.56)×7＝12.92.∴所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.56x＋12.92.(2)由eq\o(b,\s\up6(^))＝－0.56<0知，y与x负相关．将x＝6代入回归方程可得，eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.56×6＋12.92＝9.56，即可预测当日销售量为9.56kg.(3)由(1)知μ≈eq\x\to(x)＝7，∵s2＝eq\f(1,5)×(42＋22＋12＋42＋52)＝10，∴σ≈eq\r(s2)＝3.2，所以P(3.8<X<13.4)＝P(μ－σ<X<μ＋2σ)＝eq\f(1,2)P(μ－σ<X<μ＋σ)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝eq\f(1,2)×0.6826＋eq\f(1,2)×0.9544＝0.8185.29.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为．女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为．（2）由题可得．由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为，；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．30.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，．【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式