专题55复数2022年高考数学一轮复习（新高考浙江）（练）

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第五章平面向量、复数专题5.5复数（练）【夯实基础】1．（2020·海南高考真题）=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】直接计算出答案即可.【详解】故选：B2．（2020·全国高考真题（理））复数的虚部是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用复数的除法运算求出z即可.【详解】因为，所以复数的虚部为.故选：D.3．（2020·全国高考真题（文））（1–i）4=（）A．–4 B．4C．–4i D．4i【答案】A【解析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】.故选：A.4．（2021·全国高考真题（文））设，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得：.故选：C.5．（2021·北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.6.（2020·全国高考真题（文））若，则（）A．0 B．1C． D．2【答案】C【解析】先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以．故选：C．7．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：，则.故.故选：D.8．（2019·全国高考真题（理））设z=3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由得则对应点（3，2）位于第三象限．故选C．9．（2019·江苏高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.【答案】2.【解析】，令得.10．（2020·全国高考真题（理））设复数，满足，，则=__________.【答案】【解析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数所对应的点为,,根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.【详解】方法一：设，，，，又，所以，，.故答案为：.方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,由已知,∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，∴.【提升能力】1．（2021·河南高二期中（文））已知复数满足，i为虚数单位，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据复数的运算法则化简得到，结合共轭复数的概念，即可求解.【详解】因为，，可得，所以.故选：C.2．（2021·安徽高一月考）若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】结合复数的除法与减法运算求出复数，即可判断在复平面内对应的点所在象限.【详解】因为，所以在复平面内对应的点在第三象限．故选：C.3．（2021·浙江高一期中）已知复数的共轭复数是，满足（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用复数代数形式的乘除法则化简复数，即可得到其共轭复数，再根据虚部的定义即可得出．【详解】解：为虚数单位），，化为：，，，则的虚部为，故选：．4．（2021·江苏省镇江中学高一期中）已知复数满足(为虚数单位)，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据，得到复数z所对应的点在以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上求解.【详解】因为复数满足，所以复数z所对应的点在以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上，如图所示：由图知：当z对应的点为（0,3）时，的模最大，最大值为3，故选：C5．（2021·湖北高一期中）已知复数，为的共轭复数，复数，则下列结论正确的是（）A．对应的点在复平面的第二象限 B．C．的实部为1 D．的虚部为【答案】D【解析】先求出，再由复数的运算法则及几何意义直接求解判断即可．【详解】，，所以对应的点的坐标为，在复平面的第三象限，且，的实部为，虚部为，故选：D．6．（2021·重庆巴蜀中学高二期末）复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得，则在复平面内对应的点为在第二象限．故选：B.7．（2021·湖北高一期中）已知复数，，则下面四个命题是真命题的为（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】根据特殊值判断A,B,C，设，根据共轭复数及复数运算判断D.【详解】对于A，若，，此时，但，故A错误：对于B，若，，此时，但，故B错误；对于C，若，则满足，此时，故C错误；对于D，不妨设，则，，故D正确.故选：D8．（2021·安徽高一月考）已知复数满足，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，，根据复数相等的充要条件，得出的关系式，消去，得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出结论.【详解】设，，则，整理得，所以消去得，①因为，所以方程①有实数解，，解得．故选：D.9．（2021·云南高一月考）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在第______象限.【答案】三【解析】对化简求出复数z，从而可得答案【详解】因为，所以，所以它在复平面内对应的点在第三象限.故答案为：三10．（2021·江苏省镇江中学高一期中）已知复数，，则___________.【答案】1【解析】根据复数模的计算公式，直接计算，即可得出结果.【详解】∵，，∴．故答案为：1．【拓展思维】1．（2021·江苏高一月考）任何一个复数z=a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r（cosθ＋isinθ）]n=rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（）A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【解析】由棣莫弗定理可得，再由此复数为纯虚数，可得，从而可求出m的值【详解】解：由棣莫弗定理可得，因为复数为纯虚数，所以且，所以，得，因为，所以正整数m的最小值为4，故选：B2．（2021·湖北高一期末）已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且，是的共轭复数.（1）求复数；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可设复数，其中，，再根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；（2）根据复数代数形式的乘除运算化简，则原不等式化为，再根据复数模的运算公式及一元二次不等式解得即可；【详解】解：（1）由题意可设复数，其中，，则，所以，解得或（舍去）.所以.（2）由可得，所以，于是可化为，即即，解得，即实数的取值范围是.3．（2021·湖南高一期中）已知z的共轭复数．（1）求z；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据复数的乘法运算法则，及三角恒等变换的公式和特殊角的三角函数值，即可求解；（2）由（1）得到，由，结合复数的除法运算，即可求解.【详解】（1）因为，，所以．（2）由（1）可知，因此，所以．4．（2021·福建高一期中）在①，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知复数．（1）若_______，求实数m的值；（2）若m为整数，且，求z在复平面内对应点的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）若选择①，由，可知是一个大于零的实数，从而得进而可求出实数m的值；若选择②，由题意可得，解方程可得实数m的值；若选择③，由题意可得从而可求出实数m的值；（2）由可得，再由m为整数，可得为平方数，为奇数，从而可求得实数m的值，进而可得答案【详解】解：（1）若选择①因为，所以解得．若选择②因为z的实部与虚部互为相反数，所以，解得或．若选择③因为z为纯虚数，所以解得．（2）因为，所以，所以．因为m为整数，所以为平方数，为奇数．因为或，所以验证可得，即．因为，所以，其在复平面内对应点的坐标为．5．（2021·安徽高二月考（理））已知复数.（1）若z在复平面中所对应的点在直线上，求m的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先根据复数代数形式的乘法法则化简复数，根据复数的几何意义表示出复数所对应的点的坐标，再代入直线方程即可得解；（2）根据复数模的计算公式及二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为所以z在复平面中所对应的点的坐标为，因为点在直线上，所以，解得.（2），因为，且，所以，所以的取值范围为.6．（2021·浙江高二期中）已知复数：（为虚数单位），表示z的共轭复数；（1）求z；（2）若，求实数a，b的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由复数的混合运算计算可得；（2）根据复数相等的定义求解．【详解】（1），（2），由（1），即，所以，解得．7．（2021·安徽高一期中）已知复数的共轭复数为，且满足．（1）求；（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由复数的运算可得，再由共轭复数的概念即可得解；（2）由复数得运算化简得，再由复数对应的点所在的象限即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以；（2），因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得，所以的取值范围为．8．（2021·河南高二月考（文））已知复数，，.（1）若为实数，求角的值；（2）若复数，对应的向量分别是，，存在使等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）首先根据复数三角形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程，解得即可；（2）首先表示出、的坐标，即可得到，，再根据平面向量数量积的运算律得到，参变分类，根据正弦函数的性质得到，解得即可；【详解】解：（1），为实数∴，又，所以，∴，即.（2）因为，，所以，，所以，.得，整理得.因为，所以.只要即可，解得或.9．（2021·江苏省镇江中学高一期中）已知复数满足，的实部大于0，的虚部为2.（1）求复数（2）设复数，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，点满足和共线，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知结合复数的模长公式及复数的概念即可求解；（2）结合复数的几何意义可求的坐标，然后结合向量共线的坐标表示可求．【详解】（1）设，（为实数），由得，