一次函数（学生版+解析）-2022-2023学年浙教版八年级数学上册同步讲义

第24课一次函数

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学习目标

1.理解正比例函数、一次函数的概念.

2.会根据数量关系，求正比例函数、一次函数的表达式.

3.会求一次函数的值.

噩知识精讲

知识点01一次函数的概念

一般地，函数>=履+。(Z#0,k、6是常数)叫做一次函数，当/?=0时，就成为y=fcv(无是常数,

上W0)叫做正比例函数，常数％叫做比例系数.

知识点02用待定系数法求一次函数的解析式

待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤：

1.设所求的一次函数表达式为>=依+仇其中七b是待确定的常数，原0.

2.把两对已知的自变量与函数的对应值分别代人y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组.

3.解这个关于k,b的二元--次方程组，求出k,b的值.

4.把求得的k,b的值代人y=kx+b,就得到所求的一次函数表达式.

能力拓展

考点01一次函数的概念

【典例1】下列函数：①yn/x2-x；②y=-x+10；③y=2x；④产1__].其中是一次函数的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练1】下列问题中，两个变量之间成正比例函数关系的是()

A.正方形面积S与边长a之间的关系

B.等腰三角形的周长为16aw,底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的关系

C.铅笔每支2元，购买铅笔的总价y(元)与购买支数〃之间的关系

D.小明进行100根短跑训练，跑完全程所需时间f(s)与速度v(mis)之间的关系

考点02用待定系数法求一次函数的解析式

【典例2］已知y是尤的一次函数，且当x=-4时，y=9；当x=6时，y=-1.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当工=>1>时，求函数y的值；

(3)当-3<yW2时，求自变量x的取值范围.

【即学即练2］已知y与无+2成正比例，且当x=l时，y=6；

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)当尤=-3时，求y的值；

(3)当y<-2时，求x的取值范围.

M分层提分

题组A基础过关练

1.下列函数中，y是x的正比例函数的是()

A.y=6x-1B.y=—C.D.y=—x

2.已知函数y=(M+3)x+2是一次函数，则M的取值范围是()

A.m丰-3B.C.机WOD,机为任意实数

3.若尸(机-1)-I加+3是关于x的一次函数，则相的值为()

A.1B.-1C.±1D.±2

4.已知自变量为x的函数尸如+2-机是正比例函数，则加=—,该函数的解析式为.

5.若y=(k-1)x+9-1是正比例函数，侧左=.

6.已知y与x成一次函数，当x=0时，y=3,当冗=2时，y=7.

(1)写出y与％之间的函数关系式.

(2)计算％=4时，y的值.

(3)计算y=4时，x的值.

7.已知尹5与工成正比例，当％=1时，y=2.

（1）求y与尤的函数表达式；

（2）当尤=-1时，求函数值y；

（3）当y=16时，求自变量尤的值.

题组B能力提升练

8.以下函数中，属于一次函数的是（）

A.B.y=kx+b（k、b为常数）

C.y=c（c为常数）D.y=l

9.定义（p,q）为一次函数y=0x+q的特征数.若特征数是（2,左-2）的一次函数为正比例函数，则上的

值是（）

A.0B.-2C.2D.任何数

10.下列说法中不正确的是（）

A.一次函数不一定是正比例函数

B.不是一次函数就一定不是正比例函数

C.正比例函数是特殊的一次函数

D.不是正比例函数就一定不是一次函数

11.函数y=（w-2）x2,,+1-m+n,当机=,n=时为正比例函数；当机,n=时为一次函

数.

12.已知y与x-3成正比例，当x=4时，y=3

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）y与x之间是什么函数关系；

（3）求尤=2.5时，y的值.

13.已知y与x-1成正比例，且x=3时y=4.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当y>4时，求x的取值范围；

（3）当y的值取什么范围时尤26?

14.已知y-2与无+3成正比例，且尤=-4时，y=0.

（1）求y与尤之间的函数关系式;

（2）求当x=-1时，y的值；

(3)当-2＜yW6时，求尤的取值范围.

题组C培优拔尖练

15.若函数＞=(m+3)x2m+1+4.r-2(尤WO)是关于x的一次函数，，"=.

16.已知y=yi+y2,且yi-3与尤成正比例，y2与尤-2成正比例，当x=2时，y=7,当x=l时，＞=0.

(1)求出y与龙之间的函数关系式；

(2)计算尤=4时，y的值.

17.2010年我国西南地区遭受了百年一遇的旱灾，但在这次旱情中，某市因近年来“森林城市”的建设而受

灾较轻.据统计，该市2009年全年植树5亿棵，涵养水源3亿立方米，若该市以后每年年均植树5亿棵,

到2015年“森林城市”的建设将全面完成，那时，树木可以长期保持涵养水源确保H亿立方米.

(1)从2009年到2015年这七年时间里，该市一共植树多少亿棵？

(2)若把2009年作为第1年，设树木涵养水源的能力y(亿立方米)与第尤年成一次函数，求出该函数

的解析式，并求出到第3年(即2011年)可以涵养多少水源？

第24课一次函数

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学习目标

1.理解正比例函数、一次函数的概念.

2.会根据数量关系,求正比例函数、一次函数的表达式.

3.会求一次函数的值.

即:知识精讲

知识点01一次函数的概念

一般地，函数>=履+。（Z#0,k、Z?是常数）叫做一次函数，当b=0时，丁=丘+6就成为y

=近（%是常数，无#0）叫做正比例函数，常数左叫做比例系数.

知识点02用待定系数法求一次函数的解析式

待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤：

1.设所求的一次函数表达式为y=&+b,其中匕6是待确定的常数，后0.

2.把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组.

3.解这个关于k,b的二元一次方程组，求出k,b的值.

4.把求得的k,b的值代人y=kx+b,就得到所求的一次函数表达式.

能力拓展

考点01一次函数的概念

【典例1】下列函数：①y=/x2-x；②y=-x+10；③y=2x；其中是一次函数

的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】利用一次函数定义进行解答即可.

【解析】解：①y=1x2-x是二次函数，不是一次函数；

②产-X+10；③y=2x；④.1都是一次函数,

共3个,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如y=fct+8（k*3k、b是常数）

的函数，叫做一次函数.

【即学即练1】下列问题中，两个变量之间成正比例函数关系的是（）

A.正方形面积S与边长。之间的关系

B.等腰三角形的周长为16cm,底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的关系

C.铅笔每支2元，购买铅笔的总价y（元）与购买支数”之间的关系

D.小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间t（s）与速度v（mis）之间的关系

【思路点拨】根据正方形的面积公式，速度、路程、时间的关系，单价、数量、总价的

关系，等腰三角形的性质和一次函数的性质逐个判断即可求解.

【解析】解：选项A：S=a2,是二次函数，两个变量之间不成正比例函数关系；

选项8：y=16-2x,是一次函数，两个变量之间不成正比例函数关系；

选项C：y=2n,两个变量之间成正比例函数关系；

选项100=讨，两变量成反比例关系，两个变量之间不成正比例函数关系；

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和正比例函数的定义，列函数关系式，本题的解

题关键是找出两个变量之间的关系.

考点02用待定系数法求一次函数的解析式

【典例2】已知y是x的一次函数，且当x=-4时，y=9；当尤=6时，y=-1.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当彳=>|■时，求函数y的值；

（3）当-3<yW2时，求自变量x的取值范围.

【思路点拨】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；

（2）利用（1）的解析式计算自变量为工所对应的函数值即可；

2

（3）利用（1）中解析式分别计算函数值为-3和2对应的自变量的值，然后根据一次函

数的性质求解.

【解析】解：（1）设一次函数解析式为

把尤=-4,y=9；x=6,y=-1分别代入得［^k+b-9,

l6k+b=-l

解得

lb=5

一次函数解析式为y=-x+5；

(2)当■时，y=-x+5=-A+5=—；

222

(3)当y=-3时，-x+5=-3,解得x=8；

当y=2时，-x+5=2,解得尤=3,

.•.当-3<yW2时，自变量x的取值范围为3Wx<8.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数y=fcc+b,则需要两组尤,

y的值.也考查了一次函数的性质.

【即学即练2］已知y与x+2成正比例，且当彳=1时，y=6；

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)当工=-3时，求y的值；

(3)当y<-2时，求x的取值范围.

【思路点拨】(1)利用正比例函数的定义，设y=Z(x+2),然后把尤=1,y=6代入求

出左，从而得到y与尤的函数关系式；

(2)利用(1)中的关系式求出对应的函数值即可；

(3)通过解2x+4<-2得至(Jx的取值范围.

【解析】解：(1)设y=左(尤+2),

把x=l,y=6代入得(1+2)'k=6,

解得k=2,

所以y=2(x+2),

所以y与x之间的函数关系式为y=2x+4；

(2)当x=-3时，y=2X(-3)+4=-2；

(3)当y<-2时，即2x+4<-2,

解得尤<-3,

所以x的取值范围为x<-3.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数>=依+6,则需要两组X,

y的值.

羔分层提分

题组A基础过关练

1.下列函数中，y是x的正比例函数的是()

171

A.y=6x-1B.y=-C.y=x^D.y=-Lx

【思路点拨】利用正比例函数的定义进行分析即可.

【解析】解：A、y=6x-l是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；

B、y=工是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；

X

C、y=/是二次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；

D、是正比例函数，故此选项符合题意；

2

故选：D.

【点睛】此题主要考查了正比例函数定义，解题的关键是掌握形如y=kx（k是常数，k

#0）的函数叫做正比例函数，其中/叫做比例系数.

2.已知函数y=（机+3）%+2是一次函数，则相的取值范围是（）

A.-3B.C.m^OD.加为任意实数

【思路点拨】根据一次函数的定义，可得m+3W0,然后进行计算即可解答.

【解析】解：由题意得：

m+3W0,

•“W-3,

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键.

3.若尸（m-1）一叫3是关于尤的一次函数，则相的值为（）

A.1B.-1C.±1D.±2

【思路点拨】由一次函数的定义得关于根的方程，解出方程即可.

【解析】解：•••函数＞=（帆-1）/一同+3是关于尤的一次函数，

.*.2-\m\=l,m-IWO.

解得：m=-1.

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键.

4.已知自变量为x的函数产枢x+2-机是正比例函数，则m=2,该函数的解析式为_Y

=2%.

【思路点拨】根据正比例函数的定义可得答案.

【解析】解：mWO,2-m=0,

••根=2,

该函数的解析式为y=2x.

【点睛】解题关键是掌握正比例函数的定义条件.正比例函数y=依的定义条件是：左为

常数且ZWO,自变量次数为1.

5.若y=（k-1）x+k2-1是正比例函数，侧k=-1.

【思路点拨】直接利用正比例函数的定义分析得出答案.

【解析】解：,.•>=(左-1)x+fc2-1是正比例函数，

:•法-1=0,且左一1W0,

解得：k=-1.

故答案为：-1.

【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，注意一次项系数不为零是解题关键.

6.已知y与兀成一次函数，当冗=0时，y=3,当x=2时，y=7.

(1)写出y与％之间的函数关系式.

(2)计算I=4时，y的值.

(3)计算y=4时，x的值.

【思路点拨】⑴先利用待定系数法别把x=0时，y=3,x=2时，y=7,代入产止也

即可求得函数解析式.

(2)把x=4代入求出即可；

(3)把y=4代入求出即可.

【解析】解：(1)设>=区+儿

分别把x=0时，y=3,尤=2时，尸7,代入得i=3,

l2k+b=7

解得6=2,b=3,

即y与x之间的函数关系式为y=2x+3.

(2)把x=4代入y=2x+3得：y=2X4+3=ll.

(3)把y=4代入y=2尤+3得：4=2x+3,

解得尤=工.

2

【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算

能力.

7.已知y+5与x成正比例，当x=l时，y—2.

(1)求y与x的函数表达式；

(2)当x=-1时，求函数值y；

(3)当y=16时，求自变量x的值.

【思路点拨】(1)利用待定系数法解答即可；

(2)将x=-1代入(1)中的解析式，计算即可得出结论；

(3)将y=16代入(1)中的解析式，计算即可得出结论.

【解析】解：⑴：y+5与x成正比例，

••y+5kx•

••y—:kx~5.

当x=l时，y=2,

：.k-5=2.

:・k=1.

••y与x的函数表达式为y=7x-5；

（2）当x=-1时，

y=7X（-1）-5=-12；

（3）当y=16时，

lx-5=16.

，x=3.

【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，利用待

定系数法解答是解题的关键.

题组B能力提升练

8.以下函数中，属于一次函数的是（）

A.B.y=kx+bQk、b为常数）

C.y=c（c为常数）D.y上

【思路点拨】根据一次函数的定义回答即可.

【解析】解：4是一次函数，故A正确；

B、々=0时，不是一次函数，故8错误；

C、不含一次项，不是一次函数，故C错误；

D、未知数x的次数为-1,不是一次函数，故。错误.

故选：A.

【点睛】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键.

9.定义（p,q）为一次函数y=px+4的特征数.若特征数是（2,%-2）的一次函数为正比

例函数，则左的值是（）

A.0B.-2C.2D.任何数

【思路点拨】根据正比例函数的定义计算.

【解析】解：根据定义以及正比例函数的概念，得k-2=0,k=2.

故选：C.

【点睛】此题要理解题目中的定义以及正比例函数的概念，根据正比例函数中的b=0,

即可列方程求解.

10.下列说法中不正确的是（）

A.一次函数不一定是正比例函数

B.不是一次函数就一定不是正比例函数

C.正比例函数是特殊的一次函数

D.不是正比例函数就一定不是一次函数

【思路点拨】根据一次函数与正比例函数的定义解答即可.

【解析】解：A、正确，一次函数＞=履+6,当6W0时函数不是正比例函数；

2、正确，因为正比例函数一定是一次函数；

C、正确，一次函数〉=匕+6,当匕=0时函数是正比例函数；

D、错误，一次函数丫=入+6,当6W0时函数不是正比例函数.

故选：D.

【点睛】解题关键是掌握一次函数与正比例函数的定义及关系：

一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

11.函数y=(m-2)x2"4-1-m+n,当m=0,n=0时为正比例函数;当mW2,

〃=0时为一次函数.

【思路点拨】根据一次函数和正比例函数的定义，转化为关于小、w的方程解答即可.

【解析】解：根据一次函数的定义解题，若两个变量x,y间的关系式可以表示成〉=日+6

(%、6为常数，W0)的形式，

则称y是x的一次函数，其中尤是自变量，y是因变量.

当b=0时，则＞=乙(470)称y是x的正比例函数，

所以得到2〃+1=1,即〃=0,-m+n=Q,即7w=0；

函数y=(机-2)-根+〃为一次函数时，机-2W0,即/"W2,n—0.

故填：0、0、W2、0.

【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数之间的联系，正比例函数是一次函数的特

殊情况.

12.已知y与x-3成正比例，当x=4时，y=3

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)y与尤之间是什么函数关系；

(3)求x=2.5时，y的值.

【思路点拨】(1)根据y与x-3成正比例，设出一次函数的关系式，再把当尤=4时，

y=-3代入求出左的值即可.

(2)根据所得函数解析式即可得出答案；

(3)将x=2.5代入解析式即可.

【解析】解：(1):丫与x-3成正比例，设函数关系式为：y=k(x-3)(左W0),

把当尤=4时，y=3代入得：3=k(4-3)=k,:.k=3,

与x之间的函数关系式为：y=3(x-3),

即函数解析式为：y=3x-9；

(2)y与龙之间是一次函数关系；

(3)当x=2.5时，y=-1.5.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，要注意利用一次函数的性质，列出

方程组，求出左值，从而求得其解析式.

13.已知y与x-1成正比例，且尤=3时y=4.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当y>4时，求x的取值范围；

(3)当y的值取什么范围时x>6?

【思路点拨】(1)首先根据题意设出关系式：y=L(x-1),再利用待定系数法把尤=3,

y=4代入，可得到人的值，再把人的值代入所设的关系式中，可得到答案；

(2)当y>4时，得出不等式2x-2>4,解不等式即可；

(3)当x26,利用不等式的性质求出2x-2210,即可求解.

【解析】解：⑴Yy与尤-1成正比例，

关系式设为：y=k(x-1),

'.'x=3时，y=4,

；.4=左(3-1),

解得：k=2,

与x的函数关系式为：y=2(x-1)=2x-2.

故y与龙之间的函数关系式为：y=2x-2；

(2)当y>4时，2x-2>4,

解得x>3,

即x的取值范围是尤>3；

(3)W6,

：.2x^12,

；.2r-2210,

\'y=2x-2,

・•・当)210时x26.

【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，关键是设出关系式，代入X,y

的值求k.

14.已知y-2与x+3成正比例，且x=-4时，j=0.

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)求当x=-1时，y的值；

(3)当-2<yW6时，求x的取值范围.

【思路点拨】(1)利用正比例函数的定义，设y-2=笈(x+3),然后把已知的对应值代

入求出k得到y与x之间的函数关系式；

(2)计算自变量为-1对应的y的值即可；

(3)分别计算函数值为-2和6对应的自变量的值，然后根据一次函数的性质得到无的

范围.

【解析】解：⑴设y-2=%(尤+3),

把尤=-4,y=0代入得(-4+3)左=0-2,解得％=2,

所以2=2(x+3),

所以y与x之间的函数关系式为y=2x+8；

(2)当x=-1时，y=2x+8=-2+8=6；

(3)当y=-2时，2x+8=-2,解得x=-5；当y=6时，2x+8=6,解得x=-l,

所以当-2<yW6时，求尤的取值范围为-5〈尤W-1.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次

函数的解析式时，先设>=息+6,将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的

解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进

而写出函数解析式.也考查了一次函数的性质.

题组C培优拔尖练

15.若函数>=(m+3)小心+1+4%-2(xWO)是关于％的一次函数，m=0或-•或-3.

【思路点拨】由一次函数的定义可知2徵+1=1,根+3+4/0或2根+1=0或m+3=0,从而

可求得加的值.

【解析】解：•・•函数y=(m+3)^m+i+4x-2(xWO)是关于x的一次函数，

2m+l=1,m+3+4WO,

解得：m=0；

或2m+l=0,

解得：m=-―；

2

或m+3=0,

解得：m--3.

故答案为：=0或-工或-3.

2

【点睛】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键.

16.已知y=yi+y2,且yi-3与x成正比例，》与x-2成正比例，当x=2时，y=7,当％=1

时，y=0.

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)计算x=4时，y的值.

【思路点拨】