函数与导数-2025高考数学一轮复习易混易错专项复习

(2)函数与导数——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.设a=Iog2().3,6=log[0.4,C=0.4°3,则a,b,c的大小关系为().

2

A.a<b<cB.c>a>bC.b<c<aD,a<c<b

e%x<0

2.已知函数/(%)=|'—'g(%)=/(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则〃的取值范

Inx,x>0,

围是()

A.[-l,0)B.[0,+oo)C.[-l,+oo)D.[l,+oo)

3.设函数的定义域为R,且/(x+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，贝1]()

A./MVOB./(-l)=0C./(2)=0DJ(4)=。

4.函数/(x)=-必+金―尸卜inx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为()

5.已知定义在R上的函数/(%)的导函数为尸(x),且满足/(%)-/(x)>0,则不等式

e4f(3x-4)>e2V(%)的解集为()

A.(2,+oo)B.(e,+oo)C.(-co,e)D.(-oo,2)

6.已知函数/(%)=加-2x+lnx有两个不同的极值点X1,x2,且不等式

/(玉)+/(%2)<%+*2+，恒成立，则实数f的范围是()

A.[-1,HH»)B.[-5,+OO)C.[2-2In2,+oo)D.[l-ln2,+<»)

二、多项选择题

7.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两

个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.

定义：圆。的圆心在原点，若函数的图象将圆。的周长和面积同时等分成两部分，则

这个函数称为圆。的一个“太极函数”.下列说法正确的有()

A.对于圆。，其“太极函数”只有1个

2

B.函数y(x)=*：尤，*"°，是圆。的一个“太极函数”

—x-%,x<0

C.函数y(x)=V-3x是圆。的“太极函数”

D.函数/(x)=ln卜层1+X)是圆。的一个“太极函数”

三、填空题

8.函数/(x)=xlnx-"2+x(aeR)的图像在点(1,/⑴)处的切线恒过定点，则该定点

坐标为.

4尤尤<］

9.已知〃>0,且awl,函数/(九)='一'若函数/(%)在［0,2］上的最大值比最

-x+a,x>l.

小值大3,则。的值为.

2

四、解答题

10.已知函数/(x)=(x-l)2|x-a|.

(1)若a=0,讨论/(x)的单调性；

(2)若a»0,求/(x)在［2,3］上的最小值8(”)，并判断方程g(a)=的实数根个数.

参考答案

1.答案：D

解析：因为Iog2().3<log21=0,所以。<0,因为

logj0.4=-log,0.4=log2—>log22=1,所以Z?〉l.

I2

因为0<0.4°3<0.4°=1,所以0<c<l,所以a<c<7.

2.答案：C

解析：••・函数g(x)存在2个零点，.•.函数y=/(x)的图象与y=-x-a的图象有2个交

点.如图，平移直线,=—%,可以看出当且仅当-aWl即1时，直线y=—x—a与

y=/(%)的图象有2个交点.故选C.

解析：因为函数/(x+2)是偶函数，所以/(x+2)=/(-x+2),则函数/(x)的图象关于

直线％=2对称.因为函数/(2x+l)是奇函数，所以/(-2x+l)=-/(2%+1),则

/(—2x+l)+/(2x+l)=0,即/(x)+/(2-x)=0,所以41)=0,且函数/(x)的图象关

于点(1,0)对称.又于(X)=/(4—x)=-f[2—(4—x)]=-f(x-2),则f(x+2)=-f(x),所

以/(x+4)=—/(x+2)=f(x),所以/⑴=/(l+4)=/(5)=0.又函数/(x)的图象关于直

线光=2对称，所以/(5)=/(4—5)=/(—1)=0,故选B.

4.答案：B

解析：由题知函数/(x)的定义域为R,关于原点对称，

/(-%)=-(-%)2+(e-*-e，sin(-x)=-x2+(eT-e-xbinx=/(%),所以函数/(x)为偶函

数，函数图象关于y轴对称，排除A,C；

y(l)=­1+1e—|sinl>—1+1e—|sin—=-1H--------->0,排除D.故选B.

ke/\e/622e

5.答案：A

解析：令g(x)=/<2,则g，(x)J00-"x)>0,所以g(x)在R上单调递增.

ee*

由e4/(3x—4)〉e2"(x),得"可丁)>华,即g(3x—4)>g(x)，

ee

又g(x)在R上单调递增，所以3x-4>x,解得x>2,

即不等式e4f(3x-4)>e2V(x)的解集为(2,+s).故选A.

6.答案：B

解析：尸⑺=2。/—2》+1.〉0),

X

因为函数/(x)=ov2-2x+lnx有两个不同的极值点』,々，

所以方程2加—2x+l=0有两个不相等的正实数根，

A=4—8a>0

于是有西+%2=一〉0,彳导0<Q<一.

a2

xx=—>0

,1}2o2a

因为不等式/(%)+"%)<%+%2+〃恒成立，所以/(石)++/)〈/恒成立•

/(x1)+/(x2)-xl—x2二端一2石+lnx+渥-2X2+lnx2—%-x2

=a(项+々)2—2%]%2—3(%+%2)+ln(%％2)

:----1一In2〃，

a

设〃⑷=---1-ln2a\G<tz<—\"(a)=]；>0,故介⑷在。<a<，上单调递

CLI2)d2

土的

故Ma)<«[=-5,所以摩-5.因此实数/的取值范围是[-5,+8).故选：B

7.答案：BD

解析：对于A选项，圆。的“太极函数”不止1个，故A错误；

对于B选项，函数/(x)=<Xj3X一0，当X〉0时，/(-x)=-X2+%=-/(%),当尤<0

—x—x,x<0,

时，f(-x)-x~+x--/(%),

故/(x)为奇函数，画出函数/(X)的简图如图所示，可知函数/(X)为圆。的一个“太

极函数”，故B正确；

对于C选项，函数的定义域为R,/(-X)=-x3+3x=-/(x),也是奇函数，画出函数

/(x)的简图如图所示，当且仅当函数图象与圆。只有两个交点时，/(幻为圆。的一

个“太极函数”，故C错误；

对于D选项，函数的定义域为R,

/(-x)=In(Vx2+1-x)=In,—---=-+1+x)=-/(x),故为奇函数，

''Jf+1+x')

y=lnx,y=\/x2+1,y=x在(0,+oo)上均单调递增，所以/(九)=ln(J尤?+1+无)在R

上单调递增，画出函数/(x)的简图如图所示，可知函数/(x)=ln卜m+x)是圆。

的一个“太极函数”，故D正确.

故选BD.

解析：由题意，知/⑴=lxlnl-axF+i=i—。，所以切点坐标为(1,1—a).又

广(x)=Inx+1-2依+1,所以函数/(x)的图像在点(1,7(1))处的切线的斜率为

/⑴=lnl+l-2axi+1=2-2a,所以函数/(x)的图像在点(1,/⑴)处的切线方程为

_［J

y_(1—a)=(2—2a)(x—1),即a(l—2x)+2x—1—y=0.令＜ri2x=0解得＜2所以

,⑶―1—y=0,卜=0.

切线恒过定点

9.答案：!或Z

22

解析：易知当0＜。＜1时，函数/⑴在［0,2］上单调递减，

=/(0)=1-/(》)皿=/(2)=。—2，

.•.1-(«-2)=|,解得a=g.

当a＞l时，/(x)在［0,1］上单调递增，在(1,2］上单调递减，

二/(x)max=/(I)=。・又/(。)=1，/(2)=a—2，

.•.当a-221,即a»3时，/(%焉=/(0)=1,

a—1=—,解得a=Z.

22

当l＜a＜3时，/⑴而"/⑵:”？，

S］、7

=5无解.综上，a=——.

10.答案：⑴/(X)在(-8,0)和D上单调递减，在［o,j和(L+O))上单调递增

(2)方程g(a)=gq3只有i个实数根

解析：⑴若a=0,则/(x)=(x-l)2|x|.

当尤>0时，/(x)=(x-l)2x=x3-2x2+x,

贝IJ尸(x)=3——4x+1=(x—1)(3%-1),

所以当时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

当和xe(l,+8)时，f'(x)>0,/(%)单调递增.

当％<0时，/(x)=-(x-l)2x=-x3+2%之-x,

贝I］/⑴=-3x2+4%一1=—(九一1)(3元-1)<0,所以/(%)在(-oo,0)上单调递减.

综上，/⑴在(-8,0)和gl］上单调递减，在和(1,5上单调递增.

(2)由2JW3得(I->0,

若2WaW3,则当2GW3时，/(》濡=/⑷=g(a)=0.

若0Wa<2,则当2WxW3时，/(x)=(x-1)2(%-«),

f\x)=2(x-l)(x-a)+(x-Ip=(x-l)(3x-2«-l)>0,

所以/(x)在［2,3］上单调递增，

所以当2W九W3时，/(x)mta=/(2)=g(a)=2—a.

若a>3,贝！I当2WxW3时,f{x}=(%-l)2(a-x),

f'(x)=2(x-l)(a-x)-(x-l)2=(x-l)(2«+l-3x),

当3<a<4时，贝ijZ<^^<3,

33

当手，/⑴单调递增，当日等h］时，小)<。一⑴

单调递减，

/(2)=a—2，/⑶=4a—12,/⑶一/⑵=3a—10,

当3<a<，时，/⑶</(2)，g(a)=/(3)=4a—12，

当时，/⑶2/(2)，g(a)=〃2)=a—2,

当a»4时，2a+l—3x20