内蒙古呼和浩特市2025届高三年级上册第一次质量监测数学试卷（含答案解析）

内蒙古呼和浩特市2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/卜2-：={x10<x叫，则/口2=（）

A.0,1B.[o,；C.（0,1]D.[0,1]

2.已知命题P：VxeR,|x+l|>l；命题qHxeN,&+1eN，则（）

A.2和9都是真命题B.和9都是真命题

C.2和都是真命题D.T7和「夕都是真命题

3.已知i为虚数单位，5为复数z的共辗复数，复数Z满足i3z=l+i，则同=（）

A.1B.72C.2D.73

4.已知平面向量1=（1-苍-尤-3）,B=（1+X,2）,@不=一4,则）+2役与B的夹角为（）

7171-2兀371

A.-B.-C.—D.—

3434

5.若tan(a+：；|=-；,&是第二象限角，

则sina=()

A.拽n275「4sD.工

L•------

5555

6.已知双曲线的两个焦点分别为（4,0）,（-4,0）,点（4,-6）在该双曲线上，则该双曲线的离

心率为（）

A.y/3B.3C.2D.41

曲线歹=与＞=兀'

7.当XC[0,2TI]时,COSX2sin]2x+1的交点个数为（）

A.2B.3C.4D.6

8.已知圆锥P0的顶点为P,其三条母线尸4尸丛尸。两两垂直，且母线长为由.则圆锥P0的

侧面积为（）

A.ORB.2指兀C.近~冗D.

2

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.某物理量的测量结果服从正态分布下列选项中正确的是（）

A.。越大，该物理量在一次测量中在。0总11.2）的概率越小

B.该物理量在一次测量中小于11的概率小于0.5

C.该物理量在一次测量中小于10.98与大于11.02的概率不相等

D.该物理量在一次测量中落在（10.8,11.2）与落在（10.9,11.3）的概率不相等

10.设函数/（"=/-6/+9》一4,则（）

A./'（X）有三个零点

B.x=l是/⑺的极大值点

C.曲线＞=/（x）为轴对称图形

D.（2,-2）为曲线y=的对称中心

11.如图，曲线C:尤'+了3-3叼=0（。＞0）过原点，其渐近线方程为/：x+y+a=0,则（）

A.曲线C关于直线＞=x对称

B.点（见。）位于曲线C围成的封闭区域（阴影部分）外

C.若（%,%）在曲线C上，贝1]-4＜/+乂）＜%

D.曲线C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为竺

4

三、填空题

12.用0与1两个数字随机填入如图所示的3个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右

数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为.

试卷第2页，共4页

13.记V4BC的内角48,C的对边分别为a,6,c.已知回sinC=csin25，

siM+V§cos/=24ABe外接圆直径为4,则边c的长为.

14.若x=0是〃x)=(4-4x+6)e，-2x-3的极小值点，则实数。的取值范围

是.

四、解答题

15.记S"是公差不为0的等差数列｛%｝的前"项和，弓=1,且。2-1,%-1，%成等比数列.

⑴求巴和凡；

(2)若b„S„=1,求数列入｝的前20项和七.

16.某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本

测试数据，制作了如下列联表：

产品优质品非优质品

更新前2416

更新后4812

(1)依据小概率值a=0.050的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？

(2)如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设

备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优

质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败.

①求经核查认定设备更新失败的概率。；

②根据。的大小解释核查方案是否合理.

附：尸=_______"(ad-bc?_______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(/工)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

试卷第3页，共4页

17.如图1,在菱形A8CD中，ZABC=120°,AB=4,AE=AAD,AF=AAB(O<2<1),沿EF

将A/E尸向上折起得到棱锥P-3CDE/.如图2所示，设二面角尸的平面角为6.

图1图2

9

(1)当丸为何值时，三棱锥尸-55和四棱锥尸-5。砂的体积之比为不；

兀1

(2)当6=万乂=5时，求平面PEF与平面PFB所成角(P的正弦值.

18.已知函数/(x)=e，+x+a,g(x)=ln(x+l)+ln2.

⑴当。=0时，求f(x)在x=0处的切线方程；

(2)证明：当时，/(无)>g(x).

19.设点尸从格点/。,1)出发，沿格径以最短的路线运动到点即每次运

动到另一格点时，横坐标或纵坐标增加1.设点P经过的所有格点中两坐标乘积之和为S.

(1)当m=4/=3时，点A沿格径以最短的路线运动到点B的方案有多少种？

(2)当加=4,〃=2时，求S的最大值;

⑶当点尸从格点/。,1)出发，沿格径以最短的路线运动到点网加,")(以〃eN*)且求

S的最大值.(参考公式：="("+y+1))

1=16

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BBBBACCDADBD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】求出集合A,求出集合Zc5.

【详解】因为4=｛x|-gwxw3，所以/口8=｛刈0<无V：｝.

故选：B.

2.B

【分析】分别判断两个命题的真假即可.

【详解】当》=-1时，B+［=0<1,故命题0为假命题，命题力为真命题;

当x=0时，yjx2+1=1GN，故命题9为真命题，命题为假命题;

故~P和q都是真命题.

故选:B

3.B

【分析】利用复数的除法法则求出z,再求］的模.

【详解】因为z=/=匕i=驾工=手=-1+1,

所以胃=_「i，贝1］闾=，(一1)2+(一1)2=血.

故选：B.

4.B

【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得x=-l,再由平面向量的夹角公式代

入计算，即可得到结果.

［详解］=-4n(l-x)(l+x)-21+3)=-4nx=-ln-=Q,-2),

b=(0,2)n着2/=(2,2),

cos(a+2b,b)=4+2))j0+4_V2

\a+2b\\b\272x2-2

Q(a+2b,b)e[0,7t],1+23=；

答案第1页，共13页

故选：B

5.A

【分析】运用两角和的正切公式计算出tana=-2,再用三角函数定义求得sina.

【详解】：£tana+1

tan|a+得tan]a+：-j-,解得tana=-2.

31-tan

y225/5

。是第二象限角，a终边取点（-1,2）,贝！Jsin1=二=忑=。

故选：A.

6.C

【分析】由焦点坐标可得焦距2c,结合双曲线定义计算可得2a,即可得离心率.

【详解】由题意，设耳（一4,0）、5（4,0）、尸（4,一6）,

则闺周=2c=8,阀|=,62+（4+41=10，|^|=^62+（4-4）2=6,

贝ij2a=|尸耳尸耳|=10-6=4,贝ije=1|=]=2.

故选：C.

7.C

【分析】作出两函数在[0,2可上的图象，结合图象即可得答案.

【详解】x=0时，y=2sin1-=73,

令2x+g=',得x=]，止匕时+

令2X+1=7T,x=-1-,止匕时y=2sin[2x]+三)=0,

八、兀3兀/口7兀_7TI7i]_

令2xH—=—,倚x=—,此时y—2sin2x1—=-2,

326I63J

令2x+g=2ji,得止匕时y=2sin12xg+m)=0,

x=2兀时，=2sin^2x27i+y^=2sin^=43,

函数y=2sin(2x+；j的周期7=1=兀，

结合周期，利用五点法作出图象，

答案第2页，共13页

故选：c.

8.D

【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径，然后由圆锥的侧面积公式求

出结果即可.

【详解】因为三条母线PB,PC两两垂直，且母线长为百，

所以VN8C为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长/2=3。=。4=6己=&，

由正弦定理可得底面圆的半径R=工x=V2,

2sin60°

圆锥的侧面积为拒*23百=&n；

2

故选：D

9.AD

【分析】接越大,正态密度曲线越“胖矮”可判断A；根据正态密度曲线的对称性可判断BCD.

【详解】对于A,4为数据的方差，所以。越大，数据在均值附近越分散，

所以测量结果落在(10.8,11.2)内的概率越小，故A正确；

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于11的概率为0.5,

故B错误；

对于C,因为11-10.8=11.2-11,由正态分布密度曲线的对称性可知，

答案第3页，共13页

该物理量一次测量中小于10.98与大于11.02的概率概率相等，故C错误;

对于D,由正态分布密度曲线的对称性可知，

该物理量在一次测量中落在(10总11.2)与落在(10.9,11.3)的概率不相等，

故D正确.

故选：AD.

10.BD

【分析】利用导数判断出/'(x)的单调性，求出极值可得了("的大致图象可判断ABC；求

出〃2-x)+〃2+x)可判断D.

【详解】对于A,令/'(x)=3/一12X+9=0,解得X=1或X=3,

当x>3时，小)>0,/(x)单调递增，

当x<l时，r(x)>0,/(无)单调递增，

当l<x<3时，r(x)<0,/(x)单调递减，

所以/'(无)在x=l处有极大值，为〃1)=1-6+9-4=0,

/()在尤=3处有极小值,为〃3)=33-6x3Z+27-4=T<0,

Xf(4)=43-6X42+36-4=0,

/(x)的大致图象如下

所以/"(X)有两个零点，故A错误；

对于B,由A选项可知x=l是/'(x)的极大值点，故B正确；

对于C,由A选项可知，当x>4时，/(x)>0,当x<l时，/(x)<0,

答案第4页，共13页

所以曲线y=/（x）不是轴对称图形，故c错误；

对于D,/（2-X）+/（2+X）=（2-X）3-6X（^-Xj+9xQ-x）-4+

（2+x）3-6x（2+x）2+9x（2+x）-4=-4,

所以（2,-2）为曲线y=的对称中心，故D正确.

故选：BD.

11.ACD

【分析】根据对换阳y判断A,点代入曲线判断B,应用基本不等式判断C,D.

【详解】若把C的解析式Y+K-3叼=0中的X/互换，则方程不变，

故C的图象关于直线>=尤对称，A正确；

点（。,。）在第一象限，且/+/_3/=-/<o,故点（a,q）位于曲线c围成的封闭区域（阴

影部分）内，B错误；

曲线在渐近线x+N+a=0的上方，故为>-尤o-a,BPJo+Xo>~a,

又当（%,%）在第一象限内时，

22

由由+4-3ax0%=0,得+%3=（%+y0）（x0-xoyo+y0）=3ax0%

3a%为3a

X。+Vn=52不2—5^363Q

故九x0-x0y0+y0故+%21,当且仅当％=%=”时，等号成立，

故-a<Xo+M）<%,C正确；

因为曲线。在第一象限内的点满足％3+艮一3碍y=0,故3。中=1+艮N2yJX3y3,

即犯《丫，当且仅当x=y=m时，等号成立，

O/y2

故曲线C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为丝，D正确.

4

故选：ACD.

3

12.-/0.375

O

【分析】根据列举法应用古典概型计算即可.

【详解】列出树状图

答案第5页，共13页

101。

k

°i

1101。

基本事件的总数为8个，满足条件的基本事件为(W),(1,0,1),(1,1,0)共3种,

3

所以概率为尸=厂

O

故答案为：f3.

O

13.2百

【分析】由正弦定理得求出8,由siiU+«cos/=2利用两角和的正弦展开式求出A,从而

求出C,再利用正弦定理可得答案.

【详解】V3^sinC=csin2S,由正弦定理得由sinBsinC=2sinCsinBcos5，

因为0＜。,5＜兀，所以sin。w0,sin5。0,

所以cos8=—，由0＜8＜兀得5

26

因为siM+V^cosZ=2JsirU+^^cos/=2sin]/+=2,

所以sin(4+?1=l,因为0＜4〈兀，所以Z+£=可得力=9,

VJJ326

_271

所以。=兀一4—B=,

因为VABC外接圆直径为4,

—^—=---=4

所以由正弦定理得sinC,2兀,

sin——

3

则边C的长为C=4sing=26.

故答案为：2也.

14.[1,+(»)

【分析】根据导函数的正负，对极值点条件转化，判断极值点，即可求解.

答案第6页，共13页

【详解】x=0是〃x)=("2-4x+6)e，-2x-3的极小值点，

求导得尸(x)=e[ax2-4x+6+2ax-4)-2=e[ax2+(2a-4)x+2]-2.

/,(0)=e°[ax0+(2a-4)x0+2]-2=2-2=0,

因为0是极小值点，所以。e0,0)J'(x)<0J(x)单调递减,3xe(0芳)J'(x)>0J(x)单

调递增，

设g(x)=/[ox?+(2q-4)x+2]-2,g'(x)=eA^ax2+(4a-4)x+2a-2^|

当a21时，g[x)2,g(x)在R上单调递增,g(0)=0,满足xc(ro,0)/(x)=g(x)<0J(x)

在(-s,0)上单调递减，

xe(0,+s)J'(x)=g(x)>0J(x)在(0,+⑹上单调递增，符合题意；

当aV0时,g'(x)<0,g(x)在R上单调递减,g(0)=0,xe(-oo,0)/(x)=g(x)>0J(x)在

(3,0)上单调递增，

xe(O,+s)J'(x)=g(x)>OJ(x)单调递减，0是极大值点，不合题意；

当0<a<1时，g，(x)=e[ax2+(4a-4)x+2"2]=0,

2

ax+(4a-4)x+2a-2=0有两个卞艮X],Z设再<%,尤]x?=——-<0,<0<x2,

-a

工«再/2)，8，(%)<0苗(力在(西,苞)上单调递减,8(。)=0,%€(芯,0),/'(力=8卜)>0,/卜)

在a，0)上单调递增，

xe(O,X2)J'(x)=g(x)>OJ(x)在(0,%)上单调递减，0是极大值点，不合题意;

故a>1.

故答案为：[1,+8).

72(72+1)

15.⑴⑸=〃，SL;；

40

(2)—

」21

【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比中项的性质可求出d,再根据等差数列的通项

答案第7页，共13页

公式和前〃项和公式即可求解；

(2)结合题意，由(1)的结论可得”=不^百，利用裂项相消法即可求解.

矶〃+1J

【详解】(1)设已知数列的公差为d,则-1”，

由(%-1)2=%(%T)，得(2疗="(1+3〃)，即/-d=0,

所以d=l或d=0,显然d不为0,所以d=l,

LLt、l〃伉+4”)〃(〃+1)

所以4=〃，s〃=~一J

22

⑵由⑴知"用，又2=1,

=2"A

16.(1)可以认为设备更新后能够提高产品优质率

(2)①0.05792；②合理

【分析】(1)先计算出/的值，根据独立性检验的思想对照临界值得结论；

(2)根据二项分布的有关计算公式，求出对应的概率，并根据对应概率的大小，作出正确

的判断.

【详解】(1)零假设为%：设备更新与产品的优质率独立，即设备更新前与更新后的产品

优质率没有差异.

由列联表可计算/=100x(24x12-48x16)^4^2>3841；

40x60x72x28

依据小概率值a=0.05的独立性检验，

我们可以推断〃。不成立，因此可以认为设备更新后能够提高产品优质率.

(2)根据题意，设备更新后的优质率为0.8.可以认为从生产线中抽出的5件产品是否优质

是相互独立的.

①设X表示这5件产品中优质品的件数，则丫~3(5,0.8),可得

答案第8页，共13页

p=P(XV2)=C;X0.25+C：X0.8X0.24+C；x0.8?x0.23=0.05792.

②实际上设备更新后提高了优质率.

当这5件产品中的优质品件数不超过2件时，认为更新失败，此时作出了错误的判断,

由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的.

2

17.⑴人h

⑵乎

ys9S9

【分析】(I)由题意，结合图形，得产m='，即—=7,再由相似三角

P-BDEF,四边形助物‘'AAEF4

形的性质即得；

(2)由条件推得NPOC为直二面角尸-吹-8的平面角，利用其建系，写出相关点的坐标,

分别求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得.

■、江总刀1/1、r+t后!/rn"P-BCD_WBCD_ABD_9..ABD9

【详解】⑴由图知，v_s一「从而，c—~7

VP-BDEF'四边形5DE尸也边形°、AAEF4

__._____.__.AV[X7

@AE=AAD,AF=AAB,故造//5。,贝ij△/跖〜AADB,于是，2=—=J-=y；

(2)因为菱形45C。的对角线互相垂直，

设/C与防的交点为O,由2=!可知。点为线段昉的中点，

在翻折的过程中，始终有尸EROCLEF,

IT

所以二面角尸-斯-8的平面角为/尸oc=e=x，

2

以。为坐标原点，OROC,。尸分别为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

答案第9页，共13页

nPF=x-V3z=0

设平面PFB的法向量为五=(%,y,z),贝！|，

n-FB=x+=0

令x=#),则y=T,z=l,可取元=(6,一1,1)

因。C_L平面「£尸,故平面PEF的法向量可取为所=(0,1,0),

由题意可得|cos@|=|co丽，司===[■,因

故sin0=

18.(l)2x-y+l=0

(2)证明见解析

【分析】(1)先求导数得出切线斜率，再写出切线方程；

(2)分别构造函数再求导函数得出函数单调性，最后结合中介函数>=2x+l得出函数的不

等关系.

【详解】⑴当。=0时,/(x)=e'+x,/(O)=l,且洋(x)=e，+lJ'(O)=2,

所以切线方程为了-1=2(尤-0),即2x-y+l=0.

(2)由题意知x>-l,

设%(x)=f(x)-(2x+l)—ex—x—\+a,则=e*—1,

令h'(x)>0得x>0,令h'(x)<0得一1<x<0,

故/i(x)在(T，°)单调递减，在(0,+8)单调递增，/z(x)>//(O)=(z>O,

所以;■(x"2x+l,当且仅当x=0=。时，等号成立.

设9(尤)=(2x+l)-g(无)=2x-ln(x+l)+l-ln2,贝！J(p'(x)=2—=之无十1,

'x+lX+1

令(p’(x)>0得%>--，令，(%)V0得<%<--，

故s(x)在-;[单调递减，在[;,+81单调递增，0(x)N0[-g]=-l-ln；+l-ln2=0,

所以2x+12g(x),当且仅当彳=-；时，等号成立，

综上可得，/(x)>2x+l>g(x),等号不能同时成立，

答案第10页，共13页

所以，y（x）>g（x）.

19.⑴C；=10

（2）21

⑶Smax=1«（3w2+M2+3m-l）.

6

【分析】（1）分析从点/（1,1）到点8（4,3）的过程，只需确定横格或确定纵格即可确定路线,

由此即可求出方案数；

（2）结合图形，考虑不同的路线方案，计算S的值，取其最大者即得；

m+n—\

（3）依题，要使S=X%册最大，应使4片尽可能接近.先证明猜想：如果

1=1

（阳,必）,区使s最大，则对任何七<：%%<〃，有卜「其区1成立，接着

分加="和/>〃两种情况列出黑缄的表达式，利用参考公式与等差数列求和公式求和即得.

【详解】（1）因从点/（U）到点以4,3）的路线，至少经过三个横格与两个纵格，

只需确定了横格或纵格，方案即确定，故方案种数为c；=io；

（2）方案一*

/（l,l）->£（2,l）->A（3,l）f与（4,1）->月（4,2）,

5=1x1+2x1+3x1+4x1+4x2=18；

方案二：-£（2,1）.P3（2,2）.乙（3,2）TP5（4,2）,

5=1x1+2x1+2x2+3x2+4x2=21；

方案三：/（案）-案（2,1）-R（3,1）f案（3,2）-J（4,2）,

5=1x1+2x1+2x2+3x1+4x2=18；

方案四：4（1,1）-"（1,2）TP3（2,2）一匕（3,2）TP5（4,2）,

5=1x1+1x2+2x2+3x2+4x2=21.

所以，S的最大值为21.

（3）设尸经过的点依次为q=/（1,1）线,…，2…=8（办〃）/的坐标为（4％）,

答案第11页，共13页

m+n-1

则5=X斗玛，要使S最大，应使4％尽可能接近.

1=1

于是猜想：如果（占,%）,的力），…，'+“_”几+“_1）使5最大，则对任何为<九%<〃，有