人教版九年级数学上册重难点突破训练：第二十四章 圆 培优检测卷（原卷版+解析）

《第二十四章圆》培优检测卷

班级姓名学号分数

考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：120分

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.（2021•浙江•杭州市建兰中学九年级期中）己知。。的半径为3cm,点A到圆心。的距离为2c〃z,那么点

A与。。的位置关系是（）

A.点A在O。内B.点A在。。上C.点A在。。外D.不能确定

2.（2022•福建省福州延安中学九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是（）

A.如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等

B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴

C.平分弦的直径一定垂直于这条弦

D.等弧所对的圆周角相等

3.（2022・湖北孝感•九年级期末）点尸到。。的最近点的距离为2c〃z,最远点的距离为7cm,则。。的半径

是（）

A.5c7九或9c机B.2.5cm

C.4.5cmD.2.5cm或4.5cm

4.（2022・北京•人大附中九年级阶段练习）如图，A2为。。的直径，点C,。在。。上，若/ADC=130。，

则/BAC的度数为（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

5.（2022・全国•九年级单元测试）在圆内接正六边形ABCZJEP中，正六边形的边长为2,则这个正六边形的

中心角和边心距分别是（）

A.30°,1B.45°,2C.60°,下1D.120°,4

6.（2022・全国•九年级单元测试）如图，AB过半。。的圆心。，过点8作半。。的切线8C,切点为点C,

连接AC,若NA=25。，则的度数是（）

c

A.65°B.50°C.40°D.25°

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.（2022•北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在。。上，ZC=45°,半径

08的长为3,则AB的长为.

8.（2022・湖南・长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是

图____________（填“甲”、“乙”或“丙”）.

甲乙丙

9.（2021•云南・富源县第七中学九年级期中）如图，EB,EC是。。的两条切线，B,C是切点，A,O是。。

上两点，如果NE=50。，/DCF=35°,那么NA=.

10.（2022•全国•九年级专题练习）如图，点。为正六边形A8COEF的中心，连接AC,若正六边形的边长

为2,则点。到AC的距离OG的长为_.

11.（2021•浙江•温州市实验中学九年级期中）如图1,哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图

形，叫做两心尖拱.如图2,已知尸，。分别是AC和BC所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ=2m,AB=

6m,则拱高CD的长为m.

12.（2022・江苏•九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-2与无轴、V轴分别交于点8、C,

半径为1的。P的圆心P从点A（4,〃z）（点A在直线y=x-2上）出发以每秒夜个单位长度的速度沿射线AC

运动，设点P运动的时间为/秒，则当1=时，。尸与坐标轴相切.

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.（2022•江苏・沐阳县潼阳中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0,4）、B（4,4）、C

（6,2）.设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点

（1）点M的坐标为；

⑵点。（5,-2）在。M（填“内”、“外”、"上”）.

14.（2022•河北邢台・九年级期末）已知正六边形ABCDEF的中心为。，半径。4=6.

AB

(1)求正六边形的边长；

(2)以A为圆心，A尸为半径画弧8E求BF•

15.(2022・湖南邵阳・中考真题)如图，已知0c是0。的直径，点8为8延长线上一点，A3是。。的切线,

点A为切点，且AB=AC.

⑴求44cB的度数；

(2)若。。的半径为3,求圆弧AC的长.

。。为正五边形的外接圆，已知请用无刻度直

16.(2022•全国九年级课时练习)如图,ABCDECF=gsC,

尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹.

(1)在图1中的边DE上求作点G,使DG=CF；

(2)在图2中的边。E上求作点H,使EH=CF.

17.（2022・湖南.长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，AB是。。的弦，P是。。上一个动点（不

与A,8重合），过。作。CLA尸于点C,于点D

⑴试判断CD与48的数量和位置关系？并说明理由;

⑵若4=45。，AP=4,则。。的半径为.（直接写出答案）

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.（2021.江苏・阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，。。的弦A8、。。的延长线相交于点E.

（1）如图1,若AZ）为120。，BC为50。，求NE的度数;

(2)如图2,若AE=DE,求证：AB=CD.

19.（2021•广东惠州.九年级期末）如图在R/AABC中，ZC=90°,以AC为直径作。。，交A3于。，过。作

OE//AB,交8c于E.

B

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)如果。。的半径为3,DE=4,求48的长;

(3)在(2)的条件下，求AA。。的面积.

20.(2022・江苏・泰州市姜堰区南苑学校九年级)如图，在Z4BC中，^ABC=90°,。是A4上一点，以。为

圆心，为半径的圆与交于点尸，与AC相切于点。，己知AB=8,。。的半径为r.

⑵求BC=6,求。。的半径r长；

(3)若AD的垂直平分线和。。有公共点，求半径r的取值范围.

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.（2021・四川.广汉市金轮第一中学九年级期末）己知抛物线＞=。。-3）2+?过点。（0,4）.顶点为与

x轴交于A、B两点.如图所示以A8为直径作圆，记作。D.

（1）求抛物线解析式及D点坐标.

（2）猜测直线CM与。。的位置关系，并证明你的猜想.

（3）抛物线对称轴上是否存在点P,若将线段CP绕点尸顺时针旋转90。，使C点的对应点C’恰好落在抛物线

上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.

22.（2022・河北•育华中学三模）如图，在矩形ABC。中，AD=4,/8AC=30。，点。为对角线AC上的动

点（不与A、C重合），以点。为圆心在AC下方作半径为2的半圆。，交AC于点E、F.

（1）直接写出AC的长—；

（2）当半圆。过点A时，求半圆被AB边所截得的弓形的面积；

⑶若M为厮的中点，在半圆。移动的过程中，求而W的最小值;

（4）当半圆O与矩形A8C。的边相切时，直接写出AE的长—.

六、（本大题共12分）

23.（2022・全国•九年级单元测试）【模型构建】如图1,在四边形A8C。中，ZABC+ZADC=18O°,AB=AD,

48=45。,AC=3近.求四边形ABC。的面积.琪琪同学的做法是：延长C。至£点，使。E=2C,连

结AE.易证△ASCZAADE.进而把四边形A3C。的面积转化为AACE的面积，则四边形A8C。的面积为

【应用】如图2,。。为AABC的外接圆，是直径，AC=BC,点。是直径AB左侧的圆上一点，连接D4,

DB,DC.若CD=4,求四边形AOBC的面积；

【灵话运用】如图3,在四边形AOBC中，连结48、CD,ZCAB=ZACB=ZBDC=60°,四边形AOBC的

面积为4石，则线段C£>=.

图1图2图3

《第二十四章圆》培优检测卷

班级姓名学号分数

考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：120分

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.（2021•浙江・杭州市建兰中学九年级期中）已知0。的半径为3c7打点A到圆心O的距离

为2cm,那么点A与。。的位置关系是（）

A.点A在O。内2.点A在。。上C.点A在。。外D.不能确定

【答案】A

【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系进行判断即可.

【详解】解：由题意得：d=2,r=3,故：d<r,

/.点A在。。内，

故选A.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆

心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内.

2.（2022•福建省福州延安中学九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是（）

A.如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等

B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴

C.平分弦的直径一定垂直于这条弦

D.等弧所对的圆周角相等

【答案】D

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A进行判断，根据对称轴的定义对2进行判断，根

据垂径定理的推论对C进行判断，根据圆周角定理的推论对D进行判断.

【详解】解：A、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选

项错误，不符合题意；

8、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合

题意；

C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；

。、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆的对

称性，垂径定理及圆周角定理的推论.

3.（2022・湖北孝感•九年级期末）点尸到。。的最近点的距离为2c〃z,最远点的距离为7cm,

则。。的半径是（）

A.5cm9cmB.2.5cm

C.4.5cmD.2.5cm或4.5cm

【答案】D

【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨

论.

【详解】解：①当点在圆外时，

:圆外一点和圆周的最短距离为2cm,最长距离为1cm,

圆的直径为7-2=5(cm),

该圆的半径是2.5。相；

②当点在圆内时，

:点到圆周的最短距离为2c机,最长距离为7cm,

.•.圆的直径=7+2=9(cm),

圆的半径为4.5cm,

故选：D.

【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关

键.

4.(2022•北京・人大附中九年级阶段练习)如图，A3为。。的直径，点C,D在。。上，若

ZADC=130°,则/BAC的度数为()

A.25°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】根据圆内接四边形对角互补求得—3,根据直径所对的圆周角是直角可得

/ACB=90?,根据直角三角形的两个锐角互余即可求解.

【详解】解：:AB为。。的直径，

-48=90?,

•..四边形ABCQ是圆内接四边形，—4X?=130?,

4=50?,

.♦.NR4c=90?-50?.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐

角互余，掌握以上知识是解题的关键.

5.（2022・全国•九年级单元测试）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2,则

这个正六边形的中心角和边心距分别是（）

A.30°,1B.45°,2C.60°,百D.120°,4

【答案】C

【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心。作

于点P,先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性

质可得Q4=A8=2,AP=1,再利用勾股定理即可得.

【详解】解：这个正六边形的中心角为3哼60°-=60。，

6

如图，过圆心。作OPJ_AB于点尸，

OA=OB,ZAOB=60°,

:.AAOB是等边三角形，

：.OA=AB=2,AP=-AB=1,

2

:.OP=slOAr-AP2=6，

即这个正六边形的边心距为6,

故选：C.

【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟

练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键.

6.（2022•全国•九年级单元测试）如图，A8过半。。的圆心O,过点8作半。。的切线8C,

切点为点C,连接AC,若/A=25。，则的度数是（）

A.65°B.50°C.40°D.25°

【答案】C

【分析】连接OC,根据切线的性质，得出NOCB=90。，再利用圆的半径相等，结合等边对

等角，得出NA=NOCA,然后再利用三角形的外角和定理，得出NBOC的度数，再利用直

角三角形两锐角互余，即可得出的度数.

【详解】解：连接0C,

与半。。相切于点C,

：.ZOCB=90°,

,/乙4=25。，

ZA=ZOCA,

：./20C=2NA=50。，

AZB=90°-ZBOC=40°.

故选：C

【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余,

解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.（2022.北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在。。上,

NC=45。，半径08的长为3,则AB的长为.

【答案】3收

【分析】首先根据圆周角定理求出NAO8的度数，然后解直角三角形求出AB的长.

【详解】根据题意可知，

•.•ZACB=45°,

ZAOB=2ZACB^90°,

又知04=08=3,

AB=^O^+OB2=732+32=3A/2

故答案为：3亚.

【点睛】本题考查圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解

题的关键.

8.（2022・湖南・长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，

其中合格的是图_____________（填“甲”、“乙”或“丙”）.

甲乙丙

【答案】乙

【分析】根据90。圆周角所对的弦是直径即可判断.

【详解】解：「go。的圆周角所对的弦是直径，

...乙合格.

故答案为乙.

【点睛】本题考查圆周角定理、解题的关键是灵活运用圆周角定理解决问题，属于中考常考

题型.

9.（2021•云南・富源县第七中学九年级期中）如图，EB,EC是。。的两条切线，B,C是切

点，A,。是。。上两点，如果NE=50。，ZDCF=35°,那么/A=.

【答案】100。##100度

【分析】根据班、EC是。O的两条切线，NE=50。计算出/2OC=130。，再根据

N3AC=；N3OC计算出N5AC,最终计算出NA.

【详解】解：如图，连接05,OC,AC,OD,BD,

•:EB、EC是。。的两条切线，ZE=50°,Z£>CF=35°,

ZOBE=ZOCE=90°,

ZDCF=35°,

：.ZOCD=90°-35°=55°,

OC=OD,

NOCD=NODC=550,

：./COD=74。,

/.ZCBD=-ZCOD=35°,

2

NCBD=NCAD,

：.ZC4D=35°,

在四边形8ECO中，ZE+ZOBE+ZOCE+ZBOC=360°,

ZBOC=360°-90°-90°-50°=130°,

Z.ABAC=-ZBOC=65°,

2

，/BAZ)=35°+65°=100°,

故答案为100°.

【点睛】本题考查圆、切线和四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和切线的性

质定理.

10.(2022•全国•九年级专题练习)如图，点。为正六边形45CDEF的中心，连接AC,若正

六边形的边长为2,则点0到AC的距离OG的长为

【答案】1

【分析】连接。4、OC、OD,证△OCD是等边三角形，得OC=CD=2,ZOCD=60°,再

证NOCG=30。，然后由含30。角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：连接。4、OC、OD,如图所示：

•.•点。为正六边形ABC。所的中心，边长为2,

360°

/.ZB=ZBCD=(6-2)x180o^6=120o,OC=OD,ZCOD=——=60°,AB=BC=CD

6

=2,

ZBCA=ZBAC=30°,△OCO是等边三角形,

：.OC=CD=2,ZOCD=60°,

：.ZOCG=120°-30°-60°=30°,

OGLAC,

/.OG=-OC=\,

2

即点。到AC的距离0G的长为1,

故答案为：L

【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质以及含30。角的直角三角形的

性质等知识，熟练掌握正六边形的性质，证明△OCZ）为等边三角形是解题的关键.

11.（2021•浙江・温州市实验中学九年级期中）如图1,哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧

组成的轴对称图形，叫做两心尖拱.如图2,已知P,0分别是AC和所在圆的圆心，且

均在上，若PQ=2m,AB=6m,则拱高CO的长为m.

图1

【答案】715

【分析】如图，连接CQ,然后求出PD、PC的长，最后利用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，连接C。.

由题意CQ=CP,CD1,PQ,

：.DQ=DP=^PQ=1(m),

"：PA=QB,

：.AQ=PB=^(AB-PQ)=2Gn),

：.PC=PA=2+2=4(m),

CD=yjpc2-PD2="2-仔=岳(m),

故答案为：V15.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理等知识点，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是

解答本题的关键.

12.(2022.江苏•九年级课时练习)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-2与x轴、y轴

分别交于点8、C,半径为1的。尸的圆心户从点A(4,〃z)(点A在直线>=尤-2上)出发以

每秒V2个单位长度的速度沿射线AC运动,设点尸运动的时间为f秒，则当t=时，QP

与坐标轴相切.

【答案】1或3或5

【分析】设。P与坐标轴的切点为。，根据已知条件得到44.2),8(2,0),C(0,-2),求得

AB=2。AC=2E，OB=OC=2,证明出AOBC是等腰直角三角形，ZOBC=45°,然

后分三种情况进行讨论：①当。尸与x轴相切时，②如图，。尸与x轴和y轴都相切时，③

当点尸只与y轴相切时.

【详解】解：设。尸与坐标轴的切点为。，

:直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点8、C,点4(4,时，

;.x=0时，>=-2,

y=。时，x=2,

x=4时，y=2,

.•.4(4,2),2(2,0),C(0,-2),

根据勾股定理：AB=2®，AC=4五,OB=OC=2,

.•.AO8C是等腰直角三角形，NOBC=45。,

①当。尸与无轴相切时，

,・,点。是切点，0尸的半径是1,

轴，PD=1,

r.ABZ)「是等腰直角三角形，

,-.BD=PD=l,=

:.AP=AB-PB=y[2,

,•・点P的速度为每秒V2个单位长度，

.,.t=1;

②如图，0P与X轴和y轴都相切时，

•••PB=42，

:.AP=AB+PB=?>^2,

•••点P的速度为每秒A/2个单位长度，

二.力=3；

③当点尸只与y轴相切时，

PC=®,

AP=AC+PC=5y/2,

,•・点P的速度为每秒0个单位长度，

「1=5.

综上所述，则当「=1或3或5秒时，。2与坐标轴相切，

故答案为：1或3或5.

【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是

掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解.

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13.(2022.江苏・沐阳县潼阳中学九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)、

B(4,4)、C(6,2).设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点

(1)点M的坐标为;

⑵点。(5,-2)在。M(填“内”、“外”、"上”).

【答案】⑴(2,0)

⑵内

【分析】（1）由网络可得出线段AB和8C的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心进

而可得点M的坐标；

（2）利用勾股定理求出AM和的长，根据点与圆的位置关系即可作出结论.

（1）

解:如图，作线段和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M,则点M坐标为（2,0）,

故答案为：（2,0）；

解：由图知，圆的半径AM=VU+*=2也，AfD=>/32+22=V13-

.♦.点。在圆M内,

故答案为：内.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系以及坐标与图形性质，解答的

关键是利用网格结构得出圆心M的位置，并熟知点与圆的位置关系：设圆半径为r,点与圆

心的距离为d,当时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外.

14.（2022•河北邢台・九年级期末）已知正六边形ABCDEE的中心为O,半径OA=6.

（1）求正六边形的边长；

⑵以A为圆心，AF为半径画弧8月，求B尸.

【答案】⑴6

（2）4TT

【分析】（1）根据正六边形的边长与半径相等即可解决问题；

（2）由正六边形的性质和弧长公式即可得出结果.

（1）解：：六边形ABCQE尸是正六边形，，正六边形的边长=半径。4=6；

(2)•.•六边形A8CDEF是正六边形，.../8CF=120。，.•.弧BF的长为号著=4万.

180

【点睛】本题考查了正多边形和圆、弧长公式；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键.

15.(2022・湖南邵阳・中考真题)如图，已知。C是。。的直径，点5为8延长线上一点，AB

是。O的切线，点A为切点，且AB=AC.

(1)求ZACB的度数；

(2)若。。的半径为3,求圆弧AC的长.

【答案】(1)30°

(2)21

【分析】(1)证明AADO是等边三角形，得到/AZ)O=60°,从而计算出ZACB的度数;

(2)计算出圆弧AC的圆心角，根据圆弧弧长公式计算出最终的答案.

(1)

如下图，连接AO

：A3是。。的切线

OA1AB

/.ZOAB=90°

,/ZDAC=90°

/DAC=/OAB

,：AB=AC

：.ZB=ZC

：.AABO^AACD

：.AD=AO=DO

・•・AAOO是等边三角形

：.ZADO=6(f

・.•ADAC=9^

ZACB=30°

(2)

*.*ZAOD=60°

ZAOC=120°

圆弧AC的长为：120fx3=2万

二圆弧AC的长为27r.

【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌

握全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的相关知识.

16.(2022.全国•九年级课时练习)如图，。。为正五边形ABCDE的外接圆，已知”'=[(?,

请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹.

⑴在图1中的边DE上求作点G,使DG=CF；

⑵在图2中的边DE上求作点"，使硝=CF.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)连接A。并延长与C。相交，连接交4?延长线于连接与。E的

交点即为所求作；

(2)在(1)的基础上，连接2。并延长与DE相交，连接AG交2。延长线于N,连接CN

并延长即可.

(1)

连接AO并延长与C。相交，连接E尸交A。延长线于连接交。E于点G,则点G

为所求作，如图1所示；

理由：

:。。为正五边形的外接圆，

/.直线A0是正五边形ABCDE的一条对称轴，点2与点石、点C与点£）分别是一对对称点.

\•点M在直线上，

...射线与射线E尸关于直线A0对称，从而点歹与点G关于直线A。对称，

CF与DG关于直线A0对称.

：.DG=CF.

（2）

在（1）的基础上，连接8。并延长与DE相交，连接AG交2。延长线于N,连接CN,如

图2所示；

【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的

性质是解题的关键.

17.（2022・湖南•长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，A8是。。的弦，尸是0O

上一个动点（不与A,B重合），过。作。CLAP于点C,尸于点。.

（1）试判断C。与43的数量和位置关系？并说明理由；

（2）若N3=45。，AP=4,则。。的半径为.（直接写出答案）

【答案】（1）CD〃AB,CD=^AB,理由见解析

⑵2立

【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=PGBD=PD,然后根据三角形中位线定理判断CO

与AB的关系；

（2）连接40,P。，根据圆周角定理可得NAO尸=90。，勾股定理即可求解.

（1）

解：CD//AB,CD=-AB.

2

理由：^.^OC，AP于点C,于点。，

AAC=PC,BD=PD,

，8为△ABP的中位线，

/.CD//AB,CD=-AB.

2

（2）

解：如图，连接AO,P。，

4=45。，

ZAOP=90°,

在RtAAO尸中，AO=OP,AP=4,

2AO2=42,

解得AO=2&（负值舍去）.

二。。的半径为2近.

【点睛】本题考查了垂径定理，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解

题的关键.

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.（2021.江苏.阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，。。的弦42、DC的延长线相

交于点E.

A

图1

(D如图1,若AO为120。，BC为50。，求/E的度数;

(2)如图2,若AE=DE,求证：AB=CD.

【答案】(1)/E=35°

(2)见解析

【分析】(1)先求出NACZ),/A4C的度数，再根据三角形外角的性质得出答案;

(2)先根据“ASA"证明"CE丝ADBE,得出BE=CE,再结合已知条件得出答案即可.

(1)

连接AC,

「AO为120。，8C为50。,

ZACD=-x120°=60°,ABAC=-x50°=25°,

22

Z£=ZACD-ZBAC^60°-25°=35°；

(2)

证明：连接AC、BD,

图2

•BC=BC，

：.NA=ND,

在AACE和△OBE中,

ZA=ZD

<AE=DE,

NE=NE

:.AACE出ADBE(ASA),

：.BE=CE,

'：AE=DE,

；.AE-BE=DE-CE,

即AB=CD.

【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧

与弦的关系是解题的关键.

19.(2021•广东惠州.九年级期末)如图在及&4BC中，ZC=90°,以AC为直径作。O,交

A8于。，过。作OE〃A8,交BC于E.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)如果。。的半径为3,DE=4,求AB的长；

⑶在(2)的条件下，求AA。。的面积.

【答案】(1)证明见解析

⑵AB=1O

(3)5,。=4.32

【分析】(1)根据平行线的性质，得出N1=N2,/3=NA,再根据等边对等角，得出Nl=ZA,

再根据等量代换，得出/3=/2,再利用&4S,得出△OCE四△ODE,进而得出

ZOCE=ZODE,进而得出即可得出结论；

(2)根据(1),得出AODE是直角三角形，根据勾股定理，得出OE=5,再根据三角形的

中位线定理，即可得出的长；

(3)连接CD,根据圆周角定理，得出NADC=90。，再根据等面积法，得出8的长，然

后根据勾股定理，得出AD的长，再根据三角形的面积公式，得出AAOC的面积，再根据三

角形中线平分三角形的面积，即可得出△ADO的面积.

(1)

证明：如图，

•：OE//AB,

・・.N1=N2,N3=ZA,

OA=OD,

：.Z1=ZA,

・・・Z3=Z2,

•；OC=OD,OE=OE,

・・・AOCE沿AODE^AS),

・•・ZOCE=ZODEf

・・•"=90。,

ZOCE=ZODE=90°,

即OD_LDE,

JOE是。。的切线.

解：由(1),可得：三角形ODE是直角三角形,

在RtAODE中,

,.・。。=3,DE=4,

：.OE=5,

又・・・0、E分别是AC、5c的中点，

：.AB=2OE=10；

(3)

解：如图，连接CD,

A3是直径，

・•・ZAT)C=90°,

在心△ABC中，

VAC=6,AB=10,BC=8,

：

.S^ADRCC=2-ACBC2=-ABCD,

—x6x8=—xlOxCD,

22

解得：CD=4.8,

•*-AD=ylAC2-CD2=762-4.82=3.6,

•••5=g•皿C*x4.8X3.6=8.64，

TO是AC中点，即。。是△AT>C的中线,

S=—S协；=—x8.64=4.32.

△AUU2AAZ-/C2

B

【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、切线判定定理、

勾股定理、三角形的中位线定理、圆周角定理、三角形中线的性质，解本题的关键在熟练掌

握相关的性质定理.

20.(2022・江苏・泰州市姜堰区南苑学校九年级)如图，在44BC中，^ABC=9Q°,。是BA

上一点，以。为圆心，。8为半径的圆与交于点P,与AC相切于点，已知AB=8,O

0的半径为r.

⑵求BC=6,求。。的半径r长；

(3)若的垂直平分线和。。有公共点，求半径r的取值范围.

Q

【答案M呜

(2)3

(3)275-2<r<4

【分析】(1)连接0，由切线的性质可得/4。。=90。，由AP=DP,得NPZM=NA,再由

等角的余角相等证明NPD0=NP0D则4P=0P=02=r,列方程可求出r的值；

(2)连接0C、OD,由勾股定理求出AC的长，再根据面积等式列方程即可求出厂的值；

(3)设A£>的垂直平分线交A。于点忆与。。的一个交点为点E,当EF与。O相切时r

的值最小，可求出厂的最小值；MiOB+OD<OB+OA,列不等式求得r<4,即可求出r的取

值范围；

(1)

解：如图1,连接。。，

图1

・・・。。与AC相切于点。，

.・・ACLOD,

：.ZADO=90°,^ZPDO+ZPDA=90°,ZPOD+ZA=90°,

9：AP=DP,

：.ZPDA=ZA,

：.NPD0=/P0D,

DP-OP-OB,

：.AP=OP=OB=r,

VAB=8,

/.3r=8,

.8

故答案为：g.

(2)

解：如图2,连接。C、0D,

图2

*.•ZABC=90°,AB=8,BC=6,

•*-AC=VAB2+BC2=A/82+62=10，

VOP1AC,AB±BC,

：.-ACOD+-BCOB=-ABBC,

222

:.ACOD+BCOB=ABBC,

10r+6r=8x6,

r=3.

（3）

解:设A。的垂直平分线交A。于点凡与。。的一个交点为点E,如图3,当EF与。。相

切时，r的值最小，

设切点为点E,连接。。、0E,则

图3

ZEFD=ZODF=ZOEF=90°,

四边形OOEE是矩形，

OD=OE,

.,•四边形ODFE是正方形，

AF^DF=OD=r

OD2+AD2^OA2,

：.r2+（2r）2=（8-r）2,

解得q=26-2,弓=-2君-2（不符合题意，舍去）,

；・厂的最〃、值为2百一2；

如图4,当心>2店-2时，直线所与。。相交,

U：OD<OA,

：.OB+ODvOB+OA,

2r<8,

/.r<4,

二厂的取值范围是2百-2Vr<4；

【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理、用不等式求取值

范围等知识与方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键，属于考试压轴题.

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

25

21.(2021•四川・广汉市金轮第一中学九年级期末)已知抛物线y=a(尤-3>+一过点

C(0,4).顶点为与无轴交于A、B两点.如图所示以为直径作圆，记作

(1)求抛物线解析式及。点坐标.

(2)猜测直线CM与。。的位置关系，并证明你的猜想.

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,若将线段CP绕点尸顺时针旋转90。，使C点的对应点C

恰好落在抛物线上？若能，求点尸的坐标；若不能，说明理由.

125

【答案】(i)y=-W(x-3)9+—；(3,0)；

(2)相切；证明见解析；

(3)存在，P(0,l)或(0,3),理由见解析.

【分析】(1)利用待定系数法即可确定抛物线解析式；然后确定交点的坐标，再由题意即可

得出点£)的坐标；

(2)连接CM,CD,MD,利用勾股定理逆定理得出CM_LC£>,由切线的判定定理即可证

明；

(3)假设存在点尸，设点尸(3,k),过点C作CGL对称轴ATO,过点C作C'XL对称轴

MD,则尸£>=太根据矩形的判定和性质及全等三角形的判定和性质得出C'(3+4-葭3+4)，

代入抛物线求解即可.

(1)

解：・・,抛物线产。(％—3『+j过点C(0,4),

25

/.4=9(2+—,

4

解得：°=二,

4

1.75

・•・抛物线的解析式为y=-4x-3,

4、74

175

令y=0,贝！］一］(%-3)9+—=0,

解得：西=8,x2=-2,

・•・4-2,0),5(8,0),

AAB=10,

：.AD=5,OD=3,

・・・。(3,0)；

(2)

连接CM,CD,MD,如图所示：

由抛物线的解析式得：M3,7,C(0,4),

V£)(3,0),

•,・"=〔4一千：+(0一3)2章,

CZ)2=(4-0)2+(0-3)2=25,

DM2

哈4-。OB可嗤

CM2+CD1=DM2,

C.CMLCD,

'：CD=5,

直线CM与。。相切；

(3)

存在点尸，理由如下：

假设存在点尸，设点P(3,k),过点C作CGL对称轴过点C'作C'H,对称轴

则?。=晨

根据题意得NCPC'=/CGD=ZGDO=ZCOD=PHC=90°,

:.NCPH+/HPC=90。,ZGCP+ZGPC=90,四边形CODG为矩形,

：.ZGCD=ZHPC,OC=GD=4,CG=OD=3,

\"CP=C'P

：.\CGP=APHC,

：.PG=CH=GD-DP=4-k,CG=PH=OD=3,

：.C'kCG+C'H,HP+PD)即(3+4-葭3+k)

:点C'在抛物线上，

解得：仁1或k=3,

.”(0,1)或(0,3).

【点睛】题目主要考查二次函数的应用及直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质,

矩形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

22.(2022.河北•育华中学三模)如图，在矩形A2CZ)中，A£>=4,ZBAC=30°,点。为对

角线AC上的动点(不与A、C重合)，以点。为圆心在AC下方作半径为2的半圆O,交

AC于点E、F.

备用图

(1)直接写出AC的长—；

(2)当半圆。过点A时，求半圆被A8边所截得的弓形的面积;

⑶若M为厮的中点，在半圆。移动的过程中，求的最小值;

(4)当半圆。与矩形42CD的边相切时，直接写出AE的长—.

【答案】(1)8

⑵。-若

⑶2痒2

⑷2或6-拽

3

【分析】(1)根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，得

AC=1BC,又因为矩形对边相等，所以AC=2AD；

(2)设该半圆与AB的另一个交点为点G,连接OG,过点。作灰，48于点双，由直角

三角形的性质和等腰三角形的性质可求得AG=2A/3和ZAOG=120°,由扇形的面积公式和

三角形的面积公式计算求解即可；

(3)当0、B、M三点共线时，的值最小，此时O3LAC,由直角三角形的性质可求

出。3的长度，根据=03-00即可求出最小值；

(4)分类讨论与A3边和2C边相切两种情况，利用直角三角形的性质求解即可.

⑴

解：在矩形中，ZB=90°,BC=AD=4

：.三角形3AC是直角三角形

；NBAC=30。，

：.AC=2BC,

：.AC=8.

故答案为：8.

(2)

解：如图，当半圆。过点A时，设该半圆与AB的另一个交点为点G,连接OG,过点。作

ONLAB于点N

：OA=OG=2,ZBAC=30°,

：.ZOGA=30°,

ON=l,

AG=2AN=2Ao.cosABAC=28,

ZAOG=120°.

2

120^x24万SAAOG=^X1X2A/3=>/3.

形AOG—Q式八一公

,,S弓形4G=S扇形AOG-S&4OG

(3)

解：如图，连接。“，BM,

D

当0、B、M三点共线时，的值最小，止匕时03,AC.

VAD=BC=4,ZBAC=30°,

.…BC

：.AB=---------=4V3r.

tan30°

/.OB=LAB=26.

2

BM=OB-OM=2s]3-2.

(4)

解：当半圆0与矩形的边相切时，分为与A2边和BC边相切两种情况:

①如解图，当半圆。与4B边相切于点G时，连接0G,则OGLAB.

VZBAC=30°,OG=2,

：.AO=4.

AE=AO-OE=4-2=2-,

②如解图，当半圆。与3C边相切于点G时，连接0G,