数列与不等式-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展22数列与不等式（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、数列与不等式

数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联

系，证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩

法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围.

1.常见放缩公式:

1111/.

(1)-y<7------=---------------(n>2)；

n[n—\)nn—ln

1)1_1__1_.

(2)

n2+nn+\

______o.

(3)

n24n24/I2-1<2n-l2n+lJ'

_rI_n\11111，

(4)Trl~Crn--,/x/<.</1(r-2)；

+nr\\n—r)\nrr\ryr—\)r—1r

(1Y111

(5)1+-<1+1+——+——+...+-———<3；

InJ1x22x3(n-l)n

-----厂=利

(6)r=rr<i2(J"1+(nN2)；

7n+7H<n—l+{n'7

(7)r~rr>ri------2(册+6+l);

(8)厂一厂r<1------i-------/--------\--------J2(N2n1+J2〃+1)；

\Jny/n+y/n/1/1J2〃一1+J2v+1''

J几-------------------

V2V2

2"2"2"2"-'11/

(9)--------------------------------------------------------------------------------------------------1〃2I■

(2"一(2"-1)(2"-1)(2"-1)(2"_2)(2"T(2"T_1)2"T-12"-1""

122_________2_________

(11)—~——-----―<—--------------

VA?y/n2-n+y/n-n2周几-1+(n-l)\fnJ(n-l)n(y/n+Jr-1)

-2(一册)

2_2__2

-------------------<-------------------

n

2〃-1(l+l)-lC：+C：+C-1〃(〃+l)nn+1

…八12〃T1I/。、

(13)<7-----;----77-------r=--------------------(n>2).

2n-l(2〃T—1)(2〃—1)2〃T—12〃—117

(14)2(J〃+1-4)=./2——<，<~r~~i-----—2(G-A//?-1).

+l个nyjn+y/n—l

2.数学归纳法

(1)数学归纳法定义：对于某些与自然数,有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当"

取第一个值"o时命题成立；然后假设当〃=%(k&N*,k>n0)时命题成立，证明当〃=左+1时命题也成

立.这种证明方法就叫做数学归纳法.

注：即先验证使结论有意义的最小的正整数»0,如果当n=%时，命题成立，再假设当n=k(keN*,kWnJ

时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当〃=左+1时，命题也成立，那

么就可以递推出对所有不小于％的正整数？+1,%+2,…，命题都成立.

(2)运用数学归纳法的步骤与技巧

①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当〃取第一个值%结论正确；

(2)假设当〃=左(左wN*,k>n0)时结论正确，证明当〃=4+1时结论也正确

由(1),(2)可知，命题对于从〃。开始的所有正整数〃都正确.

②用数学归纳法证题的注意事项

(1)弄错起始小•小不一定恒为1,也可能%=2或3(即起点问题).

(2)对项数估算错误.特别是当寻找〃=%与〃=左+1的关系时，项数的变化易出现错误(即跨度问题).

(3)没有利用归纳假设.归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明

过程也就不正确了(即伪证问题).

(4)关键步骤含糊不清.“假设”=4时结论成立，利用此假设证明〃=左+1时结论也成立”是数学归纳法的

关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、

规范性(即规范问题).

二、题型精讲精练

【典例1】(2021.天津•统考高考真题)已知｛〃“｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.他,｝是公比大

于0的等比数列，々=4也-4=48.

(I)求｛4｝和低｝的通项公式；

1*

(II)记，=氏+不，,

bn

(i)证明归f“｝是等比数列；

(ii)证明f停岂<2右(〃N*)

k=1Y。2k

【典例2】(2020.全国.统考高考真题)设数列｛即｝满足〃尸3,4+1=34-4%

(1)计算〃2,。3,猜想｛〃几｝的通项公式并加以证明;

(2)求数列｛2〃即｝的前〃项和

【题型训练-刷模拟】

1.数列不等式

一、单选题

1.(2023春•北京海淀•高二人大附中校考期中)已知数列的前”项和为7“，若对任意的“eN*,不

[4〃-1J

等式〃『-2〃z>6,恒成立，则实数加的取值范围是()

A.(-8,—1]U[3,+8)B.(-«>.-3]o[l,+»)c.[-3,1]D.[-1,3]

2.(2023•宁夏银川•校联考二模)已知数列｛4｝满足。“=2"：+1)，数列｛%｝的前〃项和为4,若

北>河"（北R）对任意〃eN*恒成立’则2的取值范围是（）

A.（-oo,4）B.（-00,275j

C.（-oo,5）D.（-00,6）

3.（2023•河南驻马店・统考二模）设数歹义4｝的前〃项和为S“，%=4,且4+1=。+^］。“，若2Sw+12»k%

恒成立，则人的最大值是（）

22J5

A.2A/TO+1B.C.D.8

4.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知S〃是各项均为正数的数列｛4｝的前〃项和，

S,“=21%+；S，，%%=64,若一邑”一65W。对〃eN*恒成立，则实数2的最大值为（）

A.872B.16C.160D.32

一「、1（n+l］a/、

5.（2023・福建•统考模拟预测）已知数列｛%｝溺足％an+i=-----------,al+aia2+---+ala2---all<m（me'R）

恒成立，则加的最小值为（）

A.3B.2C.1D.-

3

6.（2023春・江西九江•高二校考期中）数列｛%｝是首项和公比均为2的等比数列，S"为数列｛4｝的前〃项和，

则使不等式《7+父不+…+下］—成立的最小正整数〃的值是（）

白自^2*^3W+i2U23

A.8B.9C.10D.11

7.（2023・上海•高三专题练习）已知数列｛%｝满足q=1,。向一q=1_£|,存在正偶数“使得

（a„-2）（a„+1+A）>0,且对任意正奇数"有（。”-团（。用+X）<0,则实数4的取值范围是（）

A.］一|，1］B.k0,一为（1,+8）C,卜曲口.卜鸿］

8.（2023春・浙江衢州•高二统考期末）已知等差数列｛%｝的前项和为S„,且%>,若a=2023%,

数列也,｝的前〃项积为则使的最大整数〃为（）

A.20B.21C.22D.23

9.（2023・江西吉安・统考一模）已知数列｛g｝满足4=1,%=叱+4,止艮"€?4*,则下列说法正确的是（）

A.数列｛%｝不可能为等差数列B.对任意正数f,是递增数列

D.若r=l,数列，的前几项和为工，则S,〈士

C.若r=l,贝

[an]e

q

10.（2023・四川遂宁•校考模拟预测）若数列｛叫的前"项和为s“，b”吟,则称数列也｝是数列｛5｝的“均

值数列已知数列出｝是数列｛%｝的“均值数歹『'且b„=n设数列若

；卜？-机+若一3）＜方对〃eN*恒成立，则实数机的取值范围为（）

A.[-1,2]B.(-1,2)

C.—l）U（2,+°°）D.（―℃,—1]U[2,+oo）

11.（2023春•浙江杭州•高二杭州市长河高级中学校考期中）已知数列｛《,｝满足

q=a＞0,q,+i=-a；+S“（〃eN*）,若存在实数乙使｛%｝单调递增，则a的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

12.（2022春・北京.高二清华附中校考期中）对于数列几｝,若V租,〃eN（/7件同，都有上"型"为常

m-n

数）成立，则称数列｛4｝具有性质P。）.数列｛%｝的通项公式为4,=/-?,且具有性质P（5）,则实数。的

取值范围是（）

A.[5,+oo）B.[4,+oo）

C.（一与4]D.（-co,5]

13.（2023春・河南开封•高二校考期中）已知数列｛q｝的前〃项和为S〃，q=l,若对任意正整数小

S〃+i=-3〃M+4+3,S”+a.＞（-L）%,则实数〃的取值范围是（）

A.'l]B.,1,|）仁UD.（-2,3）

14.（2022秋.安徽合肥・高二统考期末）在数列｛〃“｝中，若％=：,且对任意的“eN*有嗅=M，则使

数列｛■前〃项和，成立的〃最大值为（）

A.9B.8C.7D.6

2

15.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足，的=a,+2（〃eN*）,则下列选项正确的是（）

n

「20211

A•生021<“2020B.m<1

40437f

―八2021

C.0<<------D.。2021>1

20214043

二、填空题

16.（2023春・上海•高三统考开学考试）设S”为正数列｛%｝的前几项和，Sn+i=qSn+Sif对任意的〃之1,

“eN均有S„+1W4%,则q的取值为.

17.（2023•陕西延安•校考一模）已知数列｛%｝的前〃项和为S,,且25=34-2”,若可,>560,则正整数机

的最小值是.

18.（2023春•河南南阳•高二南阳中学校考阶段练习）已知数列｛2｝满足勿=3"+（-1严42用，且对于任意的

〃eN*,都有2恒成立，则实数4的取值范围___________.

19.（2023春•山东德州•高二校考阶段练习）设数列｛为｝的前〃项和为S“,%=4,且。用=，++]%，若

2S“+12>他,恒成立，则k的最大值是.

311

20.（2023•四川内江•校考模拟预测）已知数列｛。”｝的前w项和弟:彳1一”，设a=——2为数列也｝的

前见项和，若对任意的〃eN*,不等式9〃+3恒成立，则实数4的取值范围为.

21.（2023春・江西赣州•高二江西省全南中学校考期末）已知数列｛q｝的前"项和为S„,na„+1-（n+l）ait+1=0

（〃eN*）,且卬=3,g=5.若根>恒成立，则实数机的取值范围为.

22.（2023春•辽宁锦州•高二校考阶段练习）已知数列｛为｝的首项4=1,且满足〃用一（〃eN*）,

则存在正整数小使得（%-冷（。用+#<0成立的实数2组成的集合为

23.（2021・江苏•高二专题练习）已知正数数列｛4｝满足（w+l）a,+i="+-^,且对任意“eN*,都有。“V2,

an

则内的取值范围为.

三、解答题

24.（2024秋・湖北黄冈.高三流水县第一中学校考阶段练习）已知数列｛%｝的各项均为正数，其前”项和S“满

足2厄=%+1,数列闾满足为=（%+1）1+1）.

（1）求｛4“｝的通项公式;

(2)设数列也,｝的前"项和为7；,若加F＜7；＜5相对一切〃eN*恒成立，求实数加的取值范围.

叵4是公差为1的等差数列.

25.(2023•全国•模拟预测)已知数列｛4｝的前〃项和为工，4=1,,

%

(1)求｛4“｝的通项公式;

(2)证明：+a2S2H—I-anSn<4.

26.(2023•湖南长沙•长郡中学校考一模)已知数列｛4｝满足％=4,当“22时，凡一4。E=-丽刁.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

1114

⑵已知数歹也证明：厂+了+…+了＜丁

瓦瓦bn9

27.(2023・江西上饶•校联考模拟预测)已知公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且%,%，4成等比

数列，a2a3=ag.

(1)求数列｛%｝的通项公式。”；

(2)若"22,/~7+下\+…+不\2累，求满足条件的"的最小值.

32一1%一1品―1M

28.(2023春•云南・高三云南师大附中校考阶段练习)数列｛%｝满足％=3%+1-2%%=2,数列｛4｝的前

2M—1

〃项和为数列也｝满足或=——,数列｛2｝的前〃项和为却

an+2〃

⑴求数列｛4｝的前"项和S“；

⑵求证：7；＜|

29.(2023・山东・沂水县第一中学校联考模拟预测)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，S?=l,='+(｝.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)证明：S“＜2.

30.(2023•全国•高三专题练习)设％=1,an+l=^cQ-2an+2+b[neN*).

(1)若6=1,求出，%及数列｛”,｝的通项公式；

⑵若6=-1,问：是否存在实数c,使得知＜。＜2,+1对所有weN*成立？证明你的结论.

31.(2023春・江苏•高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习)已知数列｛%｝的前〃项和为S“=2a”-2M.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若对一切正整数".不等式2n2-n-3＜2耳恒成立.求2的最小值.

32.(2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测)已知数列｛q｝满足2q+3a2+4/+…+("+1)4=".

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若不等式的,-〃+2＜。对“wN*恒成立，求实数t的取值范围.

n+1

33.(2023春•江西赣州•高二江西省龙南中学校考期末)已知数列｛%｝的前”项和为S“，4=1,S„+1=2S„+2,

〃£N*.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设4=/，｛%｝的前〃项和为若对任意的正整数〃，不等式7；＞病;;+7恒成立,求实数机的取值

范围.

34.(2023•辽宁锦州•统考模拟预测)记S“为数列｛%｝的前〃项和，已知%=2,%M=S“+〃.

⑴求｛〃“｝的通项公式；

⑵设单调递增的等差数列也,｝满足4=2,且卬+配出+么吗+；仇成等比数列.

(i)求也｝的通项公式；

1113

(ii)设立=*+/+L+声证明：Tn<~.

u

u\"2n今

35.(2023•海南海口•海南华侨中学校考一模)已知各项均为正数的数列｛4｝满足26=%+1,其中S“是数

列｛%｝的前”项和.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若对任意〃eN+，且当〃22时，总有4r+下二+…+恒成立，求实数九的取值范围.

43]32T33T1

36.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，4=1,若对任意的正整数”都有

2

2sti=2nan-n+n

(1)求数列｛4｝的通项公式;

⑵记数列的前n项和为7"，若"(一""恒成立，求ds的最小值.

37.(2023・全国•高三专题练习)数列｛%｝满足％+2为+…+陷,=4-5N，»eN*.

(1)求数列｛%｝前"项和

(2)证明：对任意的〃cN*且〃22时，[1+^-+^-+...+—|-7^<2+21nn

123n)

•全国•高三专题练习)已知数列｛《｝满足：

38.(2023q=«„+1=，数歹U-的前，项和为S“,

〃("+1)[%J

证明：当〃eN*时,

(1)0<〃用<。“；

n

(2)«„<

3n-l

(3)S.>"一；

39.(2023秋广东阳江•高三统考开学考试)已知数列｛4｝中，S“是其前”项的和，5s2=1玷，—=2一%小

an

(1)求生,出的值，并证明L-1是等比数列；

(2)证明：+

40.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛q｝满足4=1，。“+1=1=("€m).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵设外=1+4+。3也>0,数列也｝的前〃项和为九证明：-<Sn<n+l.

41.(2023春•辽宁大连•高二校联考期中)已知数列｛%｝的前"项和为S"，q=4,S”是a用与2〃-4的等差

中项.

⑴求证：｛《「1｝是等比数列，并求｛%｝的通项公式；

⑵设2=4"+(-1方/，若数列他,｝是递增数列，求f的取值范围；

(3)设％=—4,且数列｛q｝的前〃项和为7“，求证：Tn<^-.

“〃一彳16

42.(2023春・浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)数歹U｛4｝满足q=1,%=2,3«„=%一+2an_2,

n>3,〃£N*.

(1)求｛4｝的通项;

_8

(2)若XeR,恒成立,求2的取值范围•

43.(2023・全国•高三专题练习)设无穷数列｛%｝满足4=%一+二-0栏2),4>0.证明：

an-\

(1)当〃>2时，

(2)不存在实数c,使得a„<y]2n+c对所有的n都成立.

2.数学归纳法

一、解答题

1.(2023•全国•高三专题练习)首项为正数的数列｛““｝满足〃用=；@+3),〃eN*.

(1)证明：若可为奇数，则对V”eN*,。“都是奇数；

(2)若对V”eN*,都有。用>4,求内的取值范围.

2.(2023•全国•高三专题练习)设等比数列｛g｝满足％=3,a“M=3a“-47z.

(1)计算外,生，猜想｛4｝的通项公式并加以证明；

(2)求数列｛2%“｝的前〃项和S..

3.(2023•江西宜春•校联考模拟预测)已知数列｛%｝中％=2,a,3Q-向"=1,2,3,….

⑴求｛q｝的通项公式；

(2)若数列也｝中4=2,%=三三，证明：AbjW%,(“=1,2,3,…).

4.(2023・全国•高三专题练习)设。>2,给定数列｛风｝,其中q=a〃£N*证明:

(1M>%>2.

但1彳a

(2)如果。“>3,那么当时，必有

lg3

5.(2023・全国•高三专题练习)在数列｛。〃｝中，已知。i=Q,4+1=------二说,已知。证明:

〃+1〃+1

⑴*<4;

a

(2)*

(1—〃)〃+〃

6.（2022秋广东广州•高三中山大学附属中学校考期中）已知数列｛4｝满足：（〃-1）%+]=以-1,%=3.

（1）证明：｛%｝为等差数列，并求｛〃“｝的通项公式；

，，+1

（2）数列b„=QJ+n,求满足bl+b2+b3+L+bn<100的最大正整数n.

7.（2023・四川宜宾・统考模拟预测）已知正项数列｛%｝满足q=1,S.二0.

（1）计算出,生，猜想｛。“｝的通项公式并加以证明；

⑵若bn=an+2",求数列也｝的前"项和C.

8.（2023•辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测）已知数列｛%｝满足。“+1=京二一，4=：.

⑴计算：a2,a3,a4,a5,猜想数列｛q｝的通项公式，并证明你的结论；

（2）若W〃