人教版高中数学《概率》重难点归纳总结（解析版）

第10章概率重难点归纳总结

随机事件

I------------------------------------------

考点一古典概型

【例1-1］（2023•陕西安康）某校动漫社团成员共6人，其中社长2人，现需要选派3人去参加动漫大赛，

则至少有1名社长人选的概率为（）

1134

A.—B.-C.-D.—

5355

【答案】D

【解析】记社长为N,B,其他成员为c,d,e,f,所以从6人中任选3人，

共有{4,8,c},{A,B,d},{A,B,e\,{A,B,f},{A,c,d},{A,c,e},{A,c,f},{A,d,e},{A,d,f},{A,e,f},

{B,c,d},{B,c,e},{B,c,f},{B,d,e},,{c,d,e\,{c,d,f},{c,e,f},{d,e,f}20

164

种，其中至少含一个社长的有16种，所以概率为茄=不，故选：D.

【例1-2］(2023秋•辽宁葫芦岛•高一统考期末)2022年下半年，我国新冠肺炎疫情“多点散发”的特点愈加

明显，为了有效阻断疫情的快速传播，全国各地均提供了生活必需品线上采购服务，某地区为了更好的做

好此项工作，高质量服务于百姓生活，对爱好线上采购生活必需品的人员进行了调查，随机调查了100位

线上采购爱好者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区爱好线上采购生活必需品人员的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)工作人员为了确定20岁以下和80岁以上是否具有主动性和代表性，在参与调查的100位线上采购爱好

者中20岁以下和80岁以上人员中抽取两名进行电话访问，求被访问者恰有一名是80岁以上的概率.

【答案】(1)48岁

(2)0.89

(3)0.6

【解析】(1)该地区爱好线上采购生活必需品人员的平均年龄为

5x0.01+15x0.02+25x0.12+35x0.17+45x0.23+55x0.2+65x0.17+75x0.06+85x0.02=47.9»48(岁)

(2)这100位线上采购爱好者的年龄位于区间［20,70)的频率为

(0.012+0.017+0.023+0.02+0.017)x10=0.89.

故估计该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间［20,70)的概率0.89.

(3)参与调查的100位线上采购爱好者中20岁以下的人数为0.03x100=3人，记为1,2,3；

80岁以上的人数为0.02x100=2人，记为

从这三名中抽取两名进行电话访问，所有情况如下：

{1,2},{1,3},{1,0},{1力},{2,3},{2,0},{2力},{3,0},{3力},{氏处,共10种.

其中被访问者恰有一名是80岁以上的情况分别为{1,“},{1/},{2,“},{2,耳,{3川,{3力},共6种.

则被访问者恰有一名是80岁以上的概率为搞=0.6

【一隅三反】

1.（2022秋•云南玉溪）欧几里得大约生活在公元前330〜前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥

曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（）

A.vB.-C.-D.-

2346

【答案】A

【解析】记4部书籍分别为a、b、c、d,则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为曲、叫、ad、be、

bd、〃共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为仍、讹、“d共有3个，所以抽到《几何原本》的概率

31

为：尸.故选：A.

62

2.（2023春•河南）在1,2,3,4中任取2个不同的数，作为a,6的值，使方程a/+2版+1=0有2个不

相等的实数根的概率为（）

4552

A.-B.-C.—D.-

99123

【答案】D

【解析】6）取为（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）

共12种，其中使仆2+2笈+1=0有2个不等实根，即4/>4〃，的有8个，所以尸=m=§.故选：D.

3.（2023•全国•高一专题练习）某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数,

根据所得数据，按[10,12）,[12,14）,[14,16）,[16,18）,[18,20]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计该产品这一质量指数的中位数；

(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在［16,18)和［18,20］内的该产品中抽取6件，再从这6件产品中随

机抽取2件，求这2件产品不是取自同一组的概率.

【答案】(1)15.

⑵色.

15

【解析】⑴因为(0.025+0.125)X2=0.3<0.5,0.3+0.200x2=0.7>0.5,

所以该产品这一质量指数的中位数在［14,16)内，

设该产品这一质量指数的中位数为机，则(切-14)x02+0.3=0.5,

解得m=15；

(2)由频率分布直方图可得100x0.100x2=20,100x0.050x2=1。，

即在［16,18)和［18,20］的产品分别由20,10件，

采用分层抽样的方法抽取的6件产品中这一质量指数在［16,18)内的有4件，记为这一质量指数在

［18,20］内的有2件，记为ej,

从这6件产品中随机抽取2件的情况有ab,ac,ad,ae,af,be,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ej,

共15种；其中符合条件的情况有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,共8种,

Q

故所求概率

4.(2023北京平谷)某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法

从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：［20,30),［30,40),…，卜0,90］,并整

理得到频率分布直方图如图所示.

频率1

组距

0.04.....................................................iH

0.02..............-.....................................................

0.01--------------------------I—I

02030405060708090分数

(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间［40,50)内的人数；

(3)估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；

(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生

和女生人数的比例.

【答案】(1)0.2

(2)25人

(3)众数为75；测评成绩的75%分位数为78.75

(4)3:2

【解析】(1)由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：(0.02+0.04+0.02)x10=0.8,

则分数小于60的频率为：1-0.8=0.2,

故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.2；

(2)由频率分布直方图可得分数不小于50的频率为：(0.01+0.02+0.04+0.02)x10=0.9,

则分数在区间［40,50)内的人数为：100-100x0.9-5=5人，

则总体中分数在区间［40,50)内的人数为：500x高=25人；

(3)由频率分布直方图可得分数在区间［70,80)的频率最高，

则随机抽取的100名学生分数的众数估计为75,

由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4,分数小于80的频率为0.8,

则测评成绩的75%分位数落在区间［70,80)上，

035

则测评成绩的75%分位数为70+10x——=78.75；

0.4

(4)由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)x10x100=60人,

因为样本中分数不小于70的男女生人数相等

所以样本中分数不小于70的男生人数为60X1=30人，

又因为样本中有一半男生的分数不小于70,

所以样本中的男生共有30义2=60人，

则样本中的女生共有100-60=40人，

所以总体中男生和女生人数的比例估计为60:40=3:2.

考点二事件的运算与关系

【例2-1］（2023•全国•高一专题练习）已知6件产品中有3件正品，其余为次品.现从6件产品中任取2件，

观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（）

A.恰好有1件次品和恰好有2件次品B.至少有1件次品和全是次品

C.至少有1件正品和至少有1件次品D.至少有1件次品和全是正品

【答案】D

【解析】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；

对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；

对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；

对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件.

故选：D.

【例2-2］（2023•全国•高一专题练习）甲、乙两个元件构成一并联电路，设£="甲元件故障”，尸="乙元件故

障”，则表示电路故障的事件为（）

A.E\JFB.EC\FC.EC\FD.~EUF

【答案】B

【解析】因为甲、乙两个元件构成一并联电路，

所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事件为£口尸.故选：B

【一隅三反】

1.（2022秋・云南曲靖）（多选）现从3名男生和2名女生中选3名同学参加演讲比赛，下列各对事件中为

互斥事件的是（）

A.事件AT选取的3人都是男生”，事件名女生都被选中”

B.事件AT选取的3人中至少有1名女生”，事件选取的3人中至少有1名男生”

C.事件AT选取的3人中恰有1名男生”，事件选取的3人中恰有1名女生”

D.事件选取的3人中至多有1名女生”，事件选取的3人中恰有1名男生”

【答案】ACD

【解析】对于A,“选取的3人都是男生”与“2名女生都被选中“不能同时发生，故",N为互斥事件，故A

正确.

对于B,“选取的3人中至少有1名女生”包含“选取的3人中有2名女生,1名男生”，

“选取的3人中至少有1名男生”包含“选取的3人中有2名女生,1名男生”，

故可同时发生，故",N不为互斥事件，故B错误.

对于C,“选取的3人中恰有1名男生”即为“选取的3人中1名男生，2名女生”，

“选取的3人中恰有1名女生”即为“选取的3人中1名女生，2名男生”，

不能同时发生，故为互斥事件，故C正确.

对于D,“选取的3人中至多有1名女生”即为“选取的3人中均为男生或2名男生，1名女生”，

故“选取的3人中至多有1名女生”与“选取的3人中恰有1名男生”不能同时发生，

故为互斥事件，故D正确.

故选：ACD.

2.（2022・湖北）某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至多有1名男生”

与事件“至多有1名女生”（）

A.是对立事件B.都是必然事件

C.不是互斥事件D.是互斥事件但不是对立事件

【答案】C

【解析】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均为随机事件，故B错误.

事件，，至多有1名男生，，有两种情况：2名学生都是女生或2名学生一男一女.

“至多有1名女生”有一种情况：2名学生一男一女.

故两个事件不是对立事件、互斥事件，故AD错误，C正确，

故选：C.

3.（2022・高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：4="向上的点数为i”，其中

/=1,2,3,4,5,6,8="向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（）

A.B.4+8=0C.4与3互斥D.4与否对立

【答案】c

【解析】对于A,4={2,3,4,5,6},8={2,4,6},，，1台，故A错误；

对于B,4+8={2}。{2,4,6}={2,4,6}片。，故B错误；

对于C,4与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；

对于D,4={4},5={1,3,5）,4与豆是互斥但不对立事件，故D错误；

故选：C

4.（2022・上海•高二专题练习）已知事件N、B、C满足NUB,BUC,则下列说法不正确的是（）

A.事件/发生一定导致事件C发生

B.事件8发生一定导致事件C发生

C.事件7发生不一定导致事件乙发生

D.事件6发生不一定导致事件》发生

【答案】D

【解析】由已知可得/UC,又因为NU5,BGC,如图事件/,B,C用集合表示：

则选项A,B正确，

事件乙£%,则C正确，D错误

5（2023上海徐汇）已知45是两个随机事件，且/=则下列选项中一定成立的是（）.

A.尸（/UB）=尸（/）+尸（8）B.P（4cB）=P（4>P（B）

c.尸（7U司=1-2⑶D.P（AuB）=l-P（B）

【答案】C

【解析】因为/=所以==所以尸8）=尸（⑼，故A错误；

尸（408）=尸（⑷，故B错误；尸（入B）=P伍）=1一尸（8）,故C正确;

P（彳①耳）=1-尸（4cB）=l-P⑷,故D错误.故选:C.

考点三事件的相互独立性

【例3-1］（2023春•江苏南京）（多选）甲乙两人准备买一部手机，购买国产手机的概率分别为0.6,0.5,

购买白色手机的概率分别为0.4,0.6,若甲乙两人购买哪款手机互相独立，则（）

A.恰有一人购买国产手机的概率为0.5

B.两人都没购买白色手机的概率为0.52

C.甲购买国产白色手机的概率为0.48

D.甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为0.468

【答案】AD

【解析】由已知，甲乙两人购买哪款手机互相独立，

“甲购买国产手机”记为事件A,尸（工）=0.6；“乙购买国产手机”记为事件3,尸（3）=0.5；

“甲购买白色手机''记为事件C,尸（。）=04；"乙购买白色手机”记为事件。，P（D）=0.6,

对于选项A,恰有一人购买国产手机的概率为

尸（4月口18）=尸月）+尸（2B）=0.6x（l_0.5）+（l-0.6）x0.5=0.5,

故选项A正确；

对于选项B,两人都没购买白色手机的概率为P（团）=（1-04）x0-0.6）=024,故选项B错误；

对于选项C,“甲购买国产白色手机”记为事件£,其概率为尸（E）=P（NC）=0.6x0.4=0.24,故选项C错误;

对于选项D,“乙购买国产白色手机”记为事件厂，其概率为尸（尸）=P（BO）=0.5x0.6=0.3,

结合选项C的判断，甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为

PuEFo£F）=0.24x0.3+0.24x（1-0.3）+（1-0.24）x0.3=0,468,

（也可以用1-尸（丽）=l-（l-0.24）x（l-0.3）=0.468进行计算），故选项D正确.

故选：AD.

【例3-2］（2023•全国•高一专题练习）（多选）从甲袋中摸出一个红球的概率是:，从乙袋中摸出一•个红球

的概率是方，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）

A.2个球都是红球的概率为:

B.2个球不都是红球的概率为:

C.至少有1个红球的概率为：

D.2个球中恰有1个红球的概率为g

【答案】ACD

【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件4,从“乙袋中摸出一个红球”为事件4，

则尸（4）=；，P（4）=；，

对于A选项，2个球都是红球为44,其概率为=故A选项正确，

对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为1-）=3,故B选项错误，

对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为1-尸（4）p1）=l-gx；=j故C选项正确，

对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为+故D选项正确.

32322

故选：ACD.

【一隅三反】

1.（2022广西）某俱乐部通过抽奖活动回馈球迷，奖品为第22届世界杯足球赛吉祥物“拉伊卜”.已知中奖的

概率为:，则参加抽奖的甲、乙两位球迷都中奖的概率为（）

11-11

A.—B.—C.一D.-

109