函数（学生版+解析）-2022-2023学年浙教版八年级数学上册同步讲义

第23课函数

号目标导航

学习目标

1.通过实例，了解函数的概念.

2.了解函数的三种表示法:①解析法;②列表法;③图象法.

3.理解函数值的概念.

4.会在简单情况下，根据函数的表达式求函数的值.

弧西识精讲

知识点01函数的概念

函数：在某个变化过程中有两个变量X与》如果对于尤的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对

应，那么就说y是x的函数，x是自变量.

识点02函数的表示方法

1.函数的三种常用的表示方法：解析法、列表法、图象法

2.函数的三种常用的表示方法的特点：

列表法：能反映两个变量具体对应的值，体现变量之间的一定的变化规律，只能反映出局部的对应值和

变化规律

解析法：能说明两个变量之间具体的对应关系，抽象，无法反映变量之间的变化关系

图象法：直观体现两个变量之间的变化规律，无法说明两个变量之间具体的对应关系

知识点03函数自变量的取值范围问题

函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

能力拓展

考点01函数的概念

【即学即练1】有下面四个关系式：①y=|尤I；②|切=尤；③2/-y=0；④y=«（尤NO）.其中y是尤的函

数的是（）

A.①②B.②③C.①②③D.①③④

考点02函数的表示方法

【典例2】2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映,小李一家开车去观看.最初以某一速度匀

速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场,小李在不违反交通规则的前提下加快了速

度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间f（小时）的函数关系

的大致图象是（）

【即学即练2】在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（»wz）与面

条的粗细s（树，）（横截面积）的对应数据如表.根据表中数据，可得y关于s的函数表达式为（）

面条的总长度1002004008002000

y（mm）

面条的粗细S12.806.403.201.600.64

（mm2）

SD.^280

A.产B.yC.y=y

"320y1280s

考点03函数自变量的取值范围问题

【典例3】求下列函数的自变量x的取值范围：

(l)y=-4x；(2)y="+1；(3)y=—0―；(4)1=。27-5；(5)Vx-2_

2x+5x-3

【即学即练3】求下列函数中自变量％的取值范围：

(1)y=;(2).=；(3)y=--—+Vx~2;

Vx+31-xx-3

fii分层提分

题组A基础过关练

1.下列表示y与x之间关系的图象中，y不是x的函数的是（）

超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠.”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价

为60元的办公用品x件（x>2）,则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（）

A.y=54x（x>2）B.y=54x+10(x＞2)

C.y=54x+90Cx>2）D.y=54x+100(尤＞2)

3.函数丫幺11自变量尤的取值范围是（）

x-3

A.尤21且xW3B.龙》1C.xW3D.尤＞1且xW3

4.某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽车行驶每100千

米耗油x升，则y关于x的函数表达式为（）

A.y—2xB.y——C.y=5000xD.y=500°

xx

5.在国内投寄平信应付邮资如表：

信件质量无（克）0<xW2020VxW4040<x<60

邮资y（元/封）1.202.403.60

（1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？

（2）结合表格解答：

①求出当x=48时的函数值，并说明实际意义.

②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少克？

题组B能力提升练

6.小明一出校门先加速行驶，然后匀速行驶一段后,在距家门不远的地方开始减速，而最后停下，下面哪一

7.下列函数中，自变量x的取值范围选取错误的是（）

A.y=2d中，尤取全体实数B.-中，x取无¥-1的实数

X+1

C.>=正工中，x取尤22的实数D.>=以一中，x取龙2-3的实数

8.正方形的边长为4,若边长增加无，那么面积增加y,则y关于x的函数表达式为（）

A.y=/+16B.y=（无+4）2C.y=/+8xD.j=16-4x2

9.一辆汽车加满油后，油箱中有汽油70L,汽车行驶时正常的耗油量为QAL/km,则油箱中剩余的汽油量Q

（£）关于加满后已驶里程km）的函数表达式是,自变量d的取值范围

10.将一些长为30c7”，宽为10c%的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为2c〃葭

（1）求5张白纸黏合后的长度；

（2）设x张白纸黏合后的纸条总长度yaw,写出y关于x的函数关系式.

（3）当尤-20张时，y的值是多少？

11.已知三角形的周长为y（cm）,三边长分别为9cm5cm,x（cm）.

（1）求y关于尤的函数表达式及其自变量x的取值范围.

(2)当％=6时，求y的值.

(3)当y=19.5时，求工的值.

题组C培优拔尖练

12.早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本

骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达.设小

明在途中的时间为x,两人之间的距离为y,则下列选项中的图象能大致反映y与龙之间关系的是()

13.已知等腰三角形的周长为12c机，若底边长为yaw,一腰长为则y与x的函数关系式是,

自变量尤的取值范围是.

14.小红帮弟弟荡秋千(如图1),秋千离地面的高度〃(相)与摆动时间f(s)之间的关系如图2所示.

(1)根据函数的定义，请判断变量//是否为关于r的函数？

(2)结合图象回答：

①当f=0.7s时，/?的值是多少？并说明它的实际意义.

②秋千摆动第一个来回需多少时间？

15.一辆油箱装满油的汽车，在速度不变的情况下，汽车油箱中余油量。(千克)与行驶时间f(小时)之间

的关系为。=行+乩已知车速40千米/时，当f=0时，油箱中余油量为60千克；汽车行驶了8小时，

油箱中余油量为20千克.

(1)写出余油量Q(千克)与行驶时间f(小时)之间的关系式？

(2)当驾驶员发现油箱余油15千克时，汽车已行驶了多少路程？

(3)如果汽车开出后必须返回出发地,且在沿途不能加油的情况下，该汽车最多能行驶多远就必须返回？

第23课函数

号目标导航

学习目标

1.通过实例，了解函数的概念.

2.了解函数的三种表示法:①解析法;②列表法;③图象法.

3.理解函数值的概念.

4.会在简单情况下，根据函数的表达式求函数的值.

趣理识精讲

知识点01函数的概念

函数：在某个变化过程中有两个变量无与“如果对于X的每一个确定的值，y都有唯一

确定的值与其对应，那么就说y是尤的函数，x是自变量.

知识点02函数的表示方法

1.函数的三种常用的表示方法：解析法、列表法、图象法

2,函数的三种常用的表示方法的特点：

列表法：能反映两个变量具体对应的值，体现变量之间的一定的变化规律，只能反映出局

部的对应值和变化规律

解析法：能说明两个变量之间具体的对应关系，抽象，无法反映变量之间的变化关系

图象法：直观体现两个变量之间的变化规律，无法说明两个变量之间具体的对应关系

知识点03函数自变量的取值范围问题

函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

能力拓展

考点01函数的概念

【典例1】下列各图的直线或曲线中，不能表示y是X的函数的是(

【思路点拨】根据设在一个变化过程中有两个变量尤与y,对于尤的每一个确定的值，y

都有唯一的值与其对应，那么就说y是尤的函数判断即可.

【解析】解：A选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，是函数，故

该选项不符合题意；

8选项，对于尤的每一个确定的值，y有可能有2个值与其对应，不是函数，故该选项符

合题意；

C选项，对于尤的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，是函数，故该选项不符合

题意；

。选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，是函数，故该选项不符合

题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了函数的概念，掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的

每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是尤的函数是解题的关键.

【即学即练1】有下面四个关系式：①y=|x|；②|y|=x；③2x2-y=0；④y=«(GO).其

中y是x的函数的是()

A.①②B.②③C.①②③D.①③④

【思路点拨】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之

对应关系，据此即可确定函数的个数.

【解析】解：•••对于尤的每一个取值，y都有唯一确定的值，

①尸国；③2?-y=0；④y=«(x2O).当x取值时，y有唯一的值对应；

故选：D.

【点睛】主要考查了函数的定义.函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x,y,

对于龙的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量.

考点02函数的表示方法

【典例2】2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初

以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违

反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距

离y（千米）与行驶时间f（小时）的函数关系的大致图象是（）

【思路点拨】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车离剧场的距离y

（千米）与行驶时间f（小时）的函数关系采用排除法求解即可.

【解析】解：随着时间的增多，汽车离剧场的距离y（千米）减少，排除A、C、D；

由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，汽车离剧场的距离y没有变化；

后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走

势要陡.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的

类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.

【即学即练2】在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长

度yGnm）与面条的粗细s（mm1）（横截面积）的对应数据如表.根据表中数据，可得

y关于s的函数表达式为（）

面条的总长度1002004008002000

y（mm）

面条的粗细s12.806.403.201.600.64

Cmm2）

【思路点拨】根据加的值是一个定值，可知该函数为反比例函数，求出这个定值即可.

【解析】解：Vy5=100X12.8=200X6.4=400X3.2=800X1.6=2000X0.64=1280,

•*y=，

故选：D.

【点睛】本题考查了函数关系式，观察表格发现》的值是一个定值，得到该函数为反比

例函数是解题的关键.

考点03函数自变量的取值范围问题

【典例3】求下列函数的自变量x的取值范围：

(1)y=-4x；⑵y="：+1；(3)>=—?—；(4)j=V2x-5；(5)y=^x~^-

2x+5x-3

【思路点拨】根据被开方数大于等于0,分母不等于0,列式计算即可得解.

【解析】解：(1)自变量x的取值范围是全体实数；

(2)自变量x的取值范围是全体实数；

(3)依题意有x+5#0,

解得尤#-5；

(4)依题意有2x-520,

解得在2.5；

(5)依题意有x-220且x-3W0,

解得尤22且xW3.

【点睛】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

【即学即练3】求下列函数中自变量x的取值范围：

(1)y=-.x;(2)y=乙；(3)y=—^-+Vx~2；

Vx+31-xx-3

【思路点拨】根据二次根式的被开方数不小于零，分母不为零即可求解.

【解析】解:(1)依题意有x+3>0,

解得x>-3；

(2)依题意有且1-xWO,

解得x20且xWl；

(3)依题意有x-220且x-3W0,

解得尤22且x#3；

(4)依题意有7-1W0且x-1》0,

解得尤>1.

【点睛】考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式

都有意义.

M分层提分

题组A基础过关练

1.下列表示y与尤之间关系的图象中，y不是尤的函数的是（)

【思路点拨】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即

可判断.

【解析】解：A、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函

数，故A不符合题意；

8、对于自变量尤的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故

2符合题意；

C、对于自变量尤的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故C不符

合题意；

D、对于自变量尤的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故。不符

合题意；

故选:B.

【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键.

2.某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该

商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠.”在大酬宾活动中，

小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x>2）,则应付货款y（元）与

商品件数x的函数关系式是（）

A.y=54尤（尤>2）B.54.x+10（尤>2）

C.y=54尤+90（x>2）D.y=54x+100（x>2）

【思路点拨】容易知道y大于100,所以应付货款分成两部分，一部分原价付款，一部分

按9折优惠.应付货款y（元）=100+超过100的部分.

【解析】解：Vx>2,

销售价超过100元，超过部分为6Qx-100,

...y=100+（60x-100）X0.9=54x+10（42,且x为整数），

故选：B.

【点睛】此题主要考查利用一次函数解决实际问题，找到所求的量的等量关系是解决问

题的关键.

3.函数丫］£1自变量尤的取值范围是（）

x-3

A.且xW3B.C.D.x>l且xW3

【思路点拨】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式进行计算即可得解.

【解析】解：根据题意得，x-120且X-3W0,

解得龙21且x#3.

故选：A.

【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.

4.某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽

车行驶每100千米耗油尤升，则y关于尤的函数表达式为（）

A.y=2xB.y=2C.y=5000xD.y=5000

xx

【思路点拨】行驶千米数=汽油升数x每升汽油可行驶千米数，把相关值代入即可求解.

【解析】解：..•该汽车行驶每100千米耗油X升，

Al升汽油可走到千米，

X

；.y=50XI。。=§000,

XX

••.y关于x的函数表达式为>=驷_,

x

故选：D.

【点睛】本题考查了函数关系式，解决本题的关键是找到行驶的千米数的等量关系.

5.在国内投寄平信应付邮资如表：

信件质量X（克）0V%W2020VxW4040〈％W60

由诙丫挑/封）1.202.403.60

（1）根据函数的定义，y是关于尤的函数吗？

（2）结合表格解答：

①求出当x=48时的函数值，并说明实际意义.

②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少克?

【思路点拨】（1）根据函数的定义判断即可.

（2）①②利用表格求出对应的函数值即可.

【解析】解：（l）y是x的函数，

理由是：对于x的一个值，函数y有唯一的值和它对应；

（2）①当尤=48时，y=3.60,

实际意义：信件质量为48克时，邮资为3.60元；

②一封信件的邮资为2.40元，信件质量大约为大于20克，且不超过40克.

【点睛】本题考查函数的概念，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

题组B能力提升练

6.小明一出校门先加速行驶，然后匀速行驶一段后，在距家门不远的地方开始减速，而最后

停下，下面哪一幅图可以近似地刻画出以上情况（）

【思路点拨】抓住关键词语：速度是先加速，后匀速，则速度不变，然后减速，最后停

下，结合图象，逐一判断.

【解析】解：从速度变化情况来看，先匀加速行驶，再匀速行驶，最后减速为0.

故选：C.

【点睛】此题主要看速度变化即可，时间只是个先后问题.

7.下列函数中，自变量尤的取值范围选取错误的是（）

A.y=2x2中，x取全体实数B.-中，x取xW-1的实数

x+1

C.中，x取x22的实数D.y=」中.尤取3的实数

【思路点拨】根据分式分母不为0、二次根式的被开方数是非负数计算，判断即可.

【解析】解：4y=27中，x取全体实数，本选项说法正确，不符合题意；

B、y=_中，x+IWO,即无#-1,本选项说法正确，不符合题意；

X+1

C、二中，X-2NO,即x》2,本选项说法正确，不符合题意；

D、产J中-x+3>0,即x>-3,本选项说法错误，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式分母不为0、二次根式的

被开方数是非负数是解题的关键.

8.正方形的边长为4,若边长增加尤，那么面积增加”则y关于x的函数表达式为（

A.J=X2+16B.y=(x+4)2C.y=/+8xD.y=16-4X2

【思路点拨】增加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即

可.

【解析】解：•••新正方形边长是x+4,原正方形边长是4,

...新正方形面积是(x+4)2,原正方形面积是16,

.,.增加的面积＞=(尤+4)2-16

即yuf+Sx

故选：C.

【点睛】本题考查列二次函数解析式，根据题意列出增加面积的等量关系是解决本题的

关键.

9.一辆汽车加满油后，油箱中有汽油70L,汽车行驶时正常的耗油量为Q.lL/km,则油箱中

剩余的汽油量Q(L)关于加满后已驶里程d(km)的函数表达式是0=70-O.ld,

自变量d的取值范围0WdW700.

【思路点拨】根据余油量=原有油量-用油量，可得出。(L)与d(km)之间的函数关

系式，再根据里程数=总共油量+单位耗油量可求自变量d的取值范围.

【解析】解：原有油量=70L,用油量=0.1d,

由题意得：油箱中剩余的汽油两。(L)关于加满后已驶里程d(km)的函数表达式是

0=70-0.1%

自变量d的取值范围为：0W1W700.

故答案为：0=7O-O.ld,0WJW700.

【点睛】本题考查了函数关系式，函数自变量的取值范围，根据余油量=原有油量-用

油量得出。与d的关系式是解答本题的关键.

10.将一些长为30cm,宽为10c机的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分的

宽为2cm.

(1)求5张白纸黏合后的长度；

(2)设x张白纸黏合后的纸条总长度"如写出y关于尤的函数关系式.

(3)当x-20张时，y的值是多少？

【思路点拨】(1)根据题意求值即可；

(2)根据题意x张白纸黏合时会有(x-1)个黏合处，然后列相应数量关系式即可;

(3)根据题意已知自变量值求出函数值即可.

【解析】解：(1)5张纸黏合在一起有4个黏合处，

30X5-4X2=142(cm)；

(2)x张白纸黏合后有(x-1)个黏合处，

:・y=30x-2(x-1)艮13y=28x+2.

(3)当x=20时,

>=28X20+2=562.

【点睛】本题考查了一次函数的解析式与求函数式的值，做题关键要掌握待定系数法求

一次函数解析式.

11.已知三角形的周长为y(cm),三边长分别为5cm,x(.cm).

(1)求y关于i的函数表达式及其自变量工的取值范围.

(2)当x=6时，求y的值.

(3)当y=19.5时，求x的值.

【思路点拨】(1)根据三角形的周长公式，可得函数关系式，根据三角形三边的关系，

可得自变量的取值范围；

(2)根据自变量的值，可得函数值；

(3)根据y=19.5,可得答案.

【解析】解：(1)由三角形的周长公式，得：

y=x+14.

由三角形的三边的关系，得：

4<x<14.

(2)当％=6时，y=6+14=20(cm)；

(3)当y=19.5时,x+14=19.5,

•・x^5.5.

【点睛】本题考查了函数关系式，利用了三角形的周长公式，三角形三边的关系.

题组C培优拔尖练

12.早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里,

便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前

往学校，两人同时到达.设小明在途中的时间为x,两人之间的距离为》则下列选项中

【思路点拨】根据题意可以得到各段时间段内y随x的变化情况，从而可以判断哪个选

项中的函数图象符合题意，本题得以解决.

【解析】解：由题意可得，

小明从家出发到妈妈发现小明的作业本落在家里这段时间，y随尤的增大而增大，

小明的妈妈开始给你小明送作业到追上小明这段时间，y随x的增大而减小，

小明妈妈追上小明到各自继续行走这段时间，y随x的增大不变，

小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大，

故选：B.

【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

13.已知等腰三角形的周长为12c机，若底边长为衣机，一腰长为玄忆.则y与x的函数关系

式是y=-2x+12；自变量尤的取值范围是3Vx<6.

【思路点拨】根据三角形的周长公式可得：底边长=周长-2义腰长；再根据三角形三边

关系定理：三角形任意两边之和大于第三边可得丫，再把y=12-2x代入可得

lX4y>X

(2X〉12-2X

,再解不等式组即可.

.12-2x>0

【解析】解：依题意有：y=12-2x,

故y与x的函数关系式为：y=12-2尤；

2x>y

x+y>x

.，2