山东省济南市槐荫区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（解析版）

2023-2024学年度第一学期期末质量检测

八年级数学

本试题分试卷和答题卡两部分.第I卷共2页，满分为40分；第II卷共6页，满分为110

分.本试题共8页，满分为150分.考试时间为120分钟.

答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将

考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置.考试结束后，将试卷、答题卡一并交

回.本考试不允许使用计算器.

第I卷（选择题共40分）

注意事项：

第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.后的相反数是（）

A.-B.±V5C.-5D.5

【答案】A

【解析】

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可.

【详解】解：J5的相反数是一J5,

故选：A.

【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知定义是解题的关键.

2.实数4,6在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

ba

-3-2-10123

A.>0B><3+6>0

c.a+3<》+3D.-3a<■劲

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得-3（右然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即

可.

【详解】解：由题意可得：-3<6<—2,°=2,所以6<a,

,,,ab<0,a+b<0,a+3>6+3,-3。<-3b9

观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；

故选：D.

【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出一3<6<-2,°=2是解题的关

3.下列各式计算正确的是（）

A,273-73=2B.相+柜=4c.73x2^2=276D.4£-/=2④

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式加减乘除等运算，根据二次根式混合运算法则逐项验

证即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键.

【详解】解：A、？"一"="工计算错误，不符合题意；

B、与不是同类项，有，计算错误，不符合题意；

C、73x272=2x^x2=276,计算正确，符合题意；

D、4人+衽=4=2人，计算错误，不符合题意；

故选：c.

4.下列命题是真命题的是（）

A.相等的角是对顶角B.若同=W,则a=6

c.两边分别相等的两个直角三角形全等D.同旁内角互补，两直线平行

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查命题，涉及命题的概念、真假命题等知识，熟记命题的定义，逐项判断即可得到答案，

熟记命题概念，结合数学知识准确判断命题真假是解决问题的关键.

【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不是真命题，不符合题意；

B、若卜卜W,则。=力或。=b,原命题错误，不是真命题，不符合题意；

C、两边分别对应相等的两个直角三角形全等，如果一个三角形的斜边与另一个三角形的直角边相等，两

个直角三角形不可能全等，原命题错误，不是真命题，不符合题意；

D、根据平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，是真命题，符合题意；

故选：D.

5.如图，直线】'=0）过点2（0,3）,现4,0）,

则不等式ax+3>0的解集是（）

A.A->4B.A-<4C.T>3D.><3

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数图象，找出使函数图象在X轴上方的自变量的取值范围即可.

F、辛铲1铲B(4,0)

【详解】解：,：,

...当x<4时，ax+b>0,

故选：B.

【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案

是解此题的关键.

6.如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm,下列

方程组正确的是()

【答案】C

【解析】

【分析】首先设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm,由图示可得等量关系：①2个长=1个长+3个

宽，②一个长+一个宽=80cm,根据等量关系列出方程组即可.

【详解】解：设每块小长方形地成的长为xcm,宽为ycm,根据题意，得

'x+r=80

'2x=x+3y

故选：C.

【点睛】此题主要考查了用二元一次方程组解决实际问题，做题的关键是正确理解题意，找出题目中的等

量关系，列出方程组.

7,利用因式分解计算2023x2024-20233

A.1B.2023C.2024D.2O232

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查因式分解计算，涉及提公因式因式分解，根据题意，提公因式2023即可简化运算求

值，熟练掌握因式分解方法是解决问题的关键.

【详解】解：2023x2024-20233

=2023x(2024-2023)

=2023x1

=2023,

故选：B.

8.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为N3"时，顶部边缘

2处离桌面的高度3。为7cm,此时底部边缘A处与c处间的距离为24cm,小组成员调整张角的大

小继续探究，最后发现当张角为ND"时（。是8的对应点），顶部边缘。处到桌面的距离0E为

20cm,则底部边缘A处与E之间的距离力£为（）

D

A.15cmB.18cmc.21cmD.24cm

【答案】A

【解析】

【分析】勾股定理解RtZ^45C得出H3=?5cm,勾股定理解Rt—4/即可求解.

【详解】解：依题意，"=2430=7,

在Rt△也。中，AB=>!AC2+BC2=25,

在Rt—血况中，四=，3-左=心=十=15,

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键.

9.如图，在等边中，3。是2c边上的中线，延长3C至点使CE=CZ）,若DE=4后,则

BCE

A.4GB.6C.8D.

【答案】c

【解析】

J4£）=CD=-AC

【分析】先由等边三角形的性质，得BDLAC,~2,3D=ZCBD=30。,再根据

CE=CD,得/E=/CDE,进而得NC8O=NE=30。，则=4也，然后在Rt」砌）

中，由勾股定理求出43即可.

【详解】解：•••△4牙为等边三角形，

..AC=AC=BC,/ABC=ZACB=60°,

•.•8。是工。边上的中线，

AD=CD=-AC

BDLAC,2,ZABD=NCBD=30。,

AB=2AD,

•：CE=CD,

AE=ACDE,

vZ>4CB-Z^+ZCD£.2Z£,

60t-2Z£,

Z£=30°,

NCBD=/E=30。,

BD=DE=443,

在Rt一4SO中，由勾股定理得：AB2-AD2=BD\

(皿3・(4厨

解得：AD=4,

AB=2AD=2.

故选：c.

【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握各知识点是解

答本题的关键.

10.如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作1轴的垂线与三条直

线丁=(。+"\丁=(。+11相交，其中a>0.则图中阴影部分的面积是()

1'0=(。+2.

Pp2》45x

A.12.5B.25C.12.5。D.25。

【答案】A

【解析】

【分析】分别把x=l,x=2,x=3,x=4,x=5代入解析式，求出梯形或三角形的边长，根据面积公式求出

即可.

【详解】把x=l分别代入y=ax,y=(a+1)x,y=(a+2)x得：AW=a+2,WQ=a+l-a=L

AQ=a+2-(a+1)=1,

同理：BR=RK=2,CH=HP=3,DG=GL=4,EF=FT=5,

2-1=1,3-2=1,4-3=1,5-4=1,

.,.图中阴影部分的面积是5XIX1+丁X(1+2)Xl+FX(2+3)Xl+TX(3+4)X1+5X(4+5)

X1=12.5,

故选A.

【点睛】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，梯形等知识点的理解和掌握，能

根据题意求出各个部分的面积是解此题的关键.

第II卷（非选择题共110分）

注意事项：

所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区

域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等.

不按以上要求作答，答案无效.

二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上.）

11.分解因式：a3-2a+\=.

【答案】（5尸

【解析】

【分析】利用完全平方公式因式分解即可求解.

【详解】解：

故答案为：

【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

时.产（3,-4।到*轴的距离是.

【答案】4

【解析】

【分析】本题考查点到坐标轴的距离.根据点到无轴的距离为纵坐标的绝对值，求解即可.

【详解】解：尸（3,-4）到X轴的距离是卜4|=4,

故答案为：4.

13.如图，在中，BC-5,Z5i4C>90°,若MP和NQ分别垂直平分和力。，则△R4Q的

周长为—.

【答案】5

【解析】

【分析】本题考查中垂线的性质，涉及垂直平分线上一点到线段两个端点距离相等、三角形周长等知识，

利用中垂线性质得到PB=PA,QA=QC表示出。的周长，

t△4代值求解即可得到答案，熟记垂直平

分线性质是解决问题的关键.

和NQ分别垂直平分48和,

..PB=PAQA=QC,

BC=BP+PQ+QC=5!

△尸月。的周长为9+2。+幺。=3尸+尸。+。。=3。=5,

故答案为：5.

14.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20血高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s.甲、

乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间无（单位：s）之间的关系如

图所示.10s时，两架无人机的高度差为m.

【解析】

【分析】本题主要考查求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键.

利用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面高度y与无人机上升的时间X之间的函数

关系式，当X=10时，分别求出两者的函数值，求出它们的差即可.

【详解】设甲无人机所在的位置距离地面的高度】'“与无人机上升的时间x之间的为=公，

•••当x=5时，J-40,

5£=40解得七i=8,

了中断

设乙无人机所在的位置距离地面的高度工：.与无人机上升的时间尤之间的为J.=kx+b,

...当1=0时，J：.=2°；当工=5时，丁一=40,

'6=20

「5自+b=40

kj=4

<

解得：卜=40,

.［上=4x+20.

当x=10时，y甲=8x10=8°，龙=4x10+20=60

80-60=20(m)

.10s时，两架无人机的高度差为20m,

故答案为：20

15.在“3C中，43=<C,ZB4C・100°,点。在8。边上，连接加，若&Z即为直角三角形，则

N4DB的度数是.

【答案】50°或90。

【解析】

【分析】由题意可求出N3=NC=40°,故可分类讨论①当4H0=90°时和②当4403=90°时，进

而即可求解.

【详解】解：•••H5=4C,ZB4C-1008,

4=“=丝卫=4。。

工即为直角三角形,

可分类讨论：①当/切。=90°时，如图1,

.­.ZADB=^0°-ABAD-^=50°.,

②当NADS=90°时，如图2,

图2

综上可知N4DB的度数是50°或90°.

故答案为：50°或90°.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理.解答本题的关键是明确题意，利用等腰三

角形的性质和分类讨论的数学思想解答.

16.如图，在平面直角坐标系中，点A、p.C的坐标分别为（1,1）、（4,1）、0,3）,若直线丁=自与

"C的三边有两个公共点，则左的取值范围为.

【答案】42

【解析】

【分析】由直线＞=人与"50的三边有两公共点，由一次函数图像上点的坐标特征结合直线与a45c

的三边有两公共点，即直线与〜超。的边3C有公共点（不包含R,0两点），即可解答.

【详解】解：•••点B、。的坐标分别为（41）、（？3,

.♦.把B（41）,代入广匕得:士=1

上■一

解得：4,

把C（’代入丁=h.得：2k=3

、3

k=—

解得：2,

•.•直线r=h与aMC的三边有两公共点，即直线与a超「的边80有公共点（不包含E,C两点），

故答案为：4

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将直线】'=人与"C的三边有两公共点，转换成

直线与乙姐。的边3C有公共点（不包含B,0两点）是解题的关键.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.）

r2x-5>0

17.解不等式组：［3-*<一1

【答案】x>4

【解析】

【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及解一元一次不等式的方法步骤等知识，逐个解出不等式组中各

个不等式的解集，由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”求出不等式组解集即可

得到答案，熟记不等式组解集的求法是解决问题的关键

【详解】解：由①得上>5,

5

..X>一

由②得-x<-4,

：,x>4

不等式组的解集为x>4.

18.如图1所示的圆形盘子，外圆半径是Rem,内圆半径是rem,现在要给盘子环形部分上釉（图2阴影

部分），如果<=1025cm,r=8.25cm.

图1图2

请求出阴影部分的面积.（结果保留几）

【答案】剩余阴影部分的面积为37兀cm'

【解析】

【分析】本题考查圆环面积求法，涉及圆的面积公式、平方差公式因式分解等知识，读懂题意，利用大圆

面积减去小圆面积表示出圆环面积，代值求解即可得到答案，熟练掌握圆环面积的求法是解决问题的关

键.

【详解】解：:R=10.25cm,r=815cm,

,阴影部分的面积为：忌‘―一=兀（长一一）

=<10,25+8.25）（10.25-8.25）

=18.5x2n

=377i（cm2）,

答：剩余阴影部分的面积为37兀cm2.

19.如图，AD是△ABC的高线，E为AC上一点，8E交于点凡MBF=AC,FD=CD.求证:AD

BD.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据HL,证RtZ\BZ）厂名Rt^AOC,再根据全等三角形性质可得

【详解】证明：是AABC的高线，，

：/BDF=AADC=90°,

'：BF=AC,FD=CD,

：.RtZ\8，WRtZ\AQC（HL）,

：.AD=BD.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质.解题关键点：运用HL证三角形全等.

20.（1）尺规作图：已知一个等腰三角形底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.

己知：如图，线段。，h；

h

_I

求作：^ABC,使力5=47,且BC=a,高心=h.（要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要

求写出作法.）

（2）若等腰三角形底边长a=10,底边上的高的长力=12,请求出等腰三角形的腰长为多少.

【答案】（1）作图见解析；（2）期=13

【解析】

【分析】本题考查尺规作图及勾股定理求线段长，涉及尺规作图-中垂线、尺规作图-作相等线段、等腰三

角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握基本尺规作图及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键.

（1）根据题意，利用尺规作图，先作线段=a的中垂线，再以点R为圆心，以血=人为半径画弧

交中垂线于A,连接即可得到答案；

（2）利用等腰三角形三线合一及勾股定理求解极可能得到答案.

【详解】解：（1）如图所示：

…三’「即为所求,

(2)•••山45。为等腰三角形，BCLAD,

BD=-BC=-x1Q=5

•.•在中乙4DB=90°,则的？=BD?+40?,

AB2=52+\^,

:.AB=13,

21.如图，AABC为等边三角形，BD平分/ABC,DE//BC.

(1)求证：4ADE是等边三角形；

1

(2)求证：AE=~AB

【解析】

【详解】(1)根据等边三角形的判定证明即可;

(2)利用等边三角形的性质解答即可.

证明：

(1)：△ABC为等边三角形，

.•.ZA=ZABC=ZACB=60°,

VDE/7BC,

；./AED=NABD=60°,

.•.ZADE=ZACB=60°,

.\ZA=ZAED=ZADE

/.△ADE是等边三角形；

(2):△ADE是等边三角形

，AD=AE

•/△ABC为等边三角形，

，AB=AC

VBD平分NABC,

；.D是AC的中点(三线合一)

AD=2AC=2AB,

2

；.AE=2AB.

22.如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速

度由西向东方向航行，10时整到达8处，此时，测得灯塔C在8处的北偏东60°方向.

(1)求B处到灯塔C的距离；

(2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的

危险？请你说明理由.

【答案】(1)30海里

(2)有触礁的危险，理由见解析

【解析】

【分析】(1)先根据己知方向角推出乙MC=NC=15°,再根据等角对等边可得3C=n5=30；

(2)过c作")交A8的延长线于点。，求出CQ的长，与16海里比较，即可得出答案.

【小问1详解】

解：由已知条件可得：NH4c-9>・75・・15・,ZC5£=90°-60°=30°,♦=15x(10-8)=30,

ZC=30°-15°=15°,

:.ABAC=AC,

；.BC=AB=3Q,

.B处到灯塔C的距离为30海里；

【小问2详解】

解：有触礁的危险.理由如下：

过c作CD月8交A8的延长线于点D,

c

北

西""""二-----------...........>-----——E

A\Bc

।

...ZCBD-3O0,5C=30,

CD=-BC=15

2,

vl5<16,

,若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险.

【点睛】本题考查方位角、等腰三角形为判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出

NBAC=ZC=15。是解题的关键.

23.阅读材料：

利用完全平方公式可以将一些形如a/+bx+c（"°）的多项式变形为°（“+咐+"的形式，我们把这

样的变形方法叫做多项式+“+c（a*0）的配方法.

例如：求代数式『+4》+6的最小值

=.X3+4.X+4+2=（X+2）2+2

,:（x+2）3>0

,当x=-2时，/+4'+6有最小值是2.

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）求代数式d-6x+12的最小值；

（2）若］'=-/+3,当*=时，>有最______值（填“大”或“小”），这个值是.

（3）试说明：无论》取任何实数时，多项式-4*»+6的值总为正数.

【答案】（1）Y-6x+12的最小值是3

（2）1；大；一2

（3）说明见解析

【解析】

【分析】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非

负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键.

（1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案；

（2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案；

（3）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案.

【小问1详解】

解："6、+12

=.r3-6x+9+3

=(x-3)3+3

3

v(.r-3)>0；

..丁-6x+12的最小值是3；

【小问2详解】

解：F—+、-3

=-(x3-2x)-3

=-(*'-2x+l-1)-3

=-(x3-2x+l)-2

=-(x-1)3-2

•.•・&-1尸40,

,当X=1时，y有最大值，这个值是一2,

故答案为：1,大，一2；

【小问3详解】

解：/+f-4叶〉+6

=AT3-4.X+4+rJ+2y+1+1

33

=(x-2)+(y+l)+lj

'.'(x-2)3^0(v+1)3^0

.(x-2)'+(y+1)=121,

.无论工'取任何实数时，多项式『+丁-4"1'+6的值总为正数.

24.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为

提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本

乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元.

(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元：

(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？

【答案】(1)甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元

(2)该校最多可以购买甲种书40本

【解析】

【分析】(1)设甲种书的单价为尤元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格+1本乙种书的价格

■100；3本甲种书的价格+2本乙种书的价格=165,列方程解答即可；

(2)设购买甲种书。本，则购买乙种书r'"'一口本，根据购买甲种书的总价+购买乙种书的总价

S3W0,列不等式解答即可.

【小问1详解】

解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，

2x+r=100

可得方程⑶+>=165,

\=35

解得〔》=30,

\=35

,原方程的解为5=30,

答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元.

【小问2详解】

解：设购买甲种书。本，则购买乙种书!1'"'一°1本，

根据题意可得3"+3°(1°°一小3200,

解得a440,

故该校最多可以购买甲种书40本，

答：该校最多可以购买甲种书40本.

【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等

关系是解题的关键.

25.如图1,△ABC中，NC=90°,AC=2,BC=4.动点E以每秒1个单位长度的速度从点。出发

向点8运动.到达点3后，又以每秒2个单位长度的速度返回点C.点E回到点C时停止运动.连接

AE,设运动时间为/秒，△月田的面积为y.

(1)请分别求出当0<fW4时，当4<6时丫关于，的函数表达式；

(2)在给定的平面直角坐标系(如图2)中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，求出△且⑦的面积为3时f的值.

【答案】(1)①当0<rW4时，y关于r的函数表达式是J,=f,②当4<f<6时，y关于f的函数表达式

是”“£+12,

(2)画图见解析，当f=4时，函数有最大值为4

9

(3)f的值为3或2

【解析】

【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，一次函数的图象及性质，会进行分类讨

论时解本题的关键；

(1)分两种情况讨论，由三角形面积公式可得出答案；

(2)由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论；

(3)令3即可得出答案.

【小问1详解】

•.•E以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点8运动，设运动时间为f秒，

①当0<*4时，CE=t,

v=S.rg=-CExAC=-xtx2=t

——，

，当0<，44时，>关于r的函数表达式是J=f；

②当4<t<6时，

C£=4-(2r-8)=12-2tJ

J=s皿=+

**,今\

1i，

.当4<t<6时，y关于，的函数表达式是丁=->+12,

【小问2详解】

y=/(0<t<4)

由⑴得，b7+12(4々<6),

函数图象如图：

8

7

6

5

4

3

2

1

【小问3详解】

...△月CE的面积为3,即』=3,

.将J'・3代入中得:

r=3,且符合要求.

_9

将『=3代入J'=-2t+12得，-2,且符合要求.

9

，当r的值为3或2时，△月CE的面积为3.

,1c

];r=_X