高三数学一轮复习：三角函数及解三角形

人教A版数学三角函数及解三角形（一轮复习）专题五

知识点一三角形面积公式及其应用，正弦定理解三角形,余弦定理解三角形

典例1、在MlfiC中，内角4B,。所对的边分别是a,b,c.已知（缶-"cosBnbcosC.

（1）求角8的大小；

（2）若点。在6。上，b=2娓,AD=2版,ZAOC=1,求AABC的面积.

拓展练习：在AABC中，角4氏C的对边分别为a,6,c,且c-6cosA=66sinA.

(1)求角B；(2)若a=4,6=J5T,求44BC的面积.

典例2、在AA3C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且bcosC=a-且csinB.

3

(1)求角B的大小；

(2)若6=2,求AA3c周长的取值范围.

拓展练习：在AABC中，角A3，C所对的边分别为a,Z?,c,acosC+yfiasinC-b.

(1)求角4

(2)若°=26-2,且AASC的面积为2,求边4c的直

,rsinA+sinBc+b

典例3、在AABC中，角B,C所对的边分别为。,%°,且=R

(1)若a=2石，b=2,求角位

(2)设的角平分线A。交BC于点，若面积为石，求AD长的最大值.

拓展练习：如图，在平面四边形ABCD中，△BCD的面积是△相£＞的面积的26倍.

NDBC=2ZABD,AB=1,BC=2.

(1)求/ABD的大小;

(2)若点2D在直线AC同侧，NAEC=?,求AE+EC的取值范围.

知识点二用和、差角的正弦公式化简、求值，二倍角的余弦公式，正弦定理解三角形，

余弦定理解三角形

典例4、在AA6C中，内角ARC所对的边分别是a,6,c,且c<b,已知°=3,cosA=g,。=3行.

■JT

(1)求sinB及c的值；(2)求sin(2A+1)的值.

拓展练习：已知"RC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,C,5asinC=3c且C为钝角.

(1)求cosA；

(2)若a=3&,b=5,求443c的面积;

(3)求sin，2A+"].

典例5、已知AABC中,角A5,C的对边分别为a,"gtanH=1,Q=0,Z?=3.

(1)求sinA：(2)求cos(2A-3)；(3)求。的长.

拓展练习：在AA6C的内角ASC所对边的长分别是a/,c,已知a=4,c=20,cosA=-手.

(1)求b的值；(2)求sin。的值；(3)求cos[2A+])的值.

典例6、在①2asinN=。tanA,②工-1=4cos3-cosA,③向量用=(〃,与〃=(cosA,sinB)平

bb

行，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析.在△AgC中，a,b,c

分别是内角4B,。的对边，已知.

(1)求/的大小；(2)若a=3,S.c=孚，求6+c的直

拓展练习：已知AABC的内角A,6,C的对边分别为a,b,c,面积为S,满足S=；(/一町sinC.

(1)证明sinA=2sin_B

(2)求所有正整数A,"的值，使得。=机人和tanA=ktanC同时成立

人教A版数学三角函数及解三角形（一轮复习）专题五答案

典例1、答案：（1）8=：（2）3+3有

解：（1）因为（&q-ckosB=6cosC,

所以&sinAcosB-sinCcos5=sin5cosC，

所以^2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（5+C）.

因为A+3+C=TT,L>tsinA=sin（B+C）,

所以后cos5=l,即cos5=^^.因为所以5=“

（2）因为NAOC=1,所以NADB*.

在△回中，由正弦定理可得第=.:,则。=丝包胃变=26.

sinBsin/ADBsinB

+上〜十r/日ADbmi•「ADsinZADC1

在AACD中，由正弦定理可得一二=.则sinC=-------------=-.

sinCsinZADCb2

因为NAOC=g,所以0<C〈尸，所以C=]

j36

因为A+3+C=TI,所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=";忘,

贝（JAZ4LBC的面积为—besinA=3+3^73.

拓展练习：答案：（1）J（2）5g

6

解：（1）因为0-bcosA=y/3bsinA,

由正弦定理，可得sinC-sin3cosA=VSsinBsinA,

BPsinAcosB+cosAsinB-sinBeosA=^sinBsinA,化简得sinAcosB=^/SsinBsinA,

因为Ae（0,万），可得sinAwO,所以tan2=",

3

因为3直0,万），所以3=2

（2）因为a=4,Z?=A/5T且6=m,

o

由余弦定理）2=a2+c2—2accosB,可得31=16+c?-8cx^-,

2

即—40C—15=O,解得C=5A/§或。=-石（舍去），

故AABC的面积为gQcsin3=gx4x56xg=5A/^.

典例2、答案：⑴B=y(2)(4,6]

解：(1)由bcosC二^一^^以诂⑶及正弦定理，得sinBcosC=sinA-sinCsinB,

33

h

又A=*(B+C),.・.sinBcosC=sin(B+C)-^-sinCsinB,

.J3

/.sinCcosB------sinCsinB=0.

3

*/0<C<^,sinC0,tanB=V3.

「71

又0<B<7T9B=—.

(2)由余弦定理得〃=々2+。2_2accosB=(a+c)2-3。。=4,

.•.(a+c)2-4=3acW3[专],得a+cV4,当且仅当时取等号.

又a+c>b=2,(三角形任意两边之和大于第三边)

/.4<«+c+Z?<6,

448。周长的取值范围为(4,6].

拓展练习：答案：⑴(2)b=c=2近.

0

解：(1)4C0SC+百qsinC=6,

由正弦定理得：sinAcosC+y/3sinAsinC=sinB,

又・.・sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,百sinAsinC=cosAsinC,

又,.•Ce(0,%),.七指。*。，tanA=—,又Ae(0,i),：.A=^：；

36

JI11

(2)'：A=—,5=-Z?c*sinA=-bc=2,.'.be=8,

6AABC24

又•<,cosA-b+'——=,「♦(b+c)2-2bc-a2=6bc,

2bc2

又。=26-2,bc=8,；・b+c=4曰:.b=c=2y/2.

典例3、答案：⑴B=^(2)1

o

i-r-tsinA+sinBc+bc

解:(1)因为sinCF依据正弦定理嘉二白

sinC

所以"=^=“2一〃=加+。2,^b2+c2-a2=-bc,

ca-b

由余弦定理变形知cosA==坐=-4，

2bc2bc2

因为Ae（O,乃），所以A=与_.因为0=25/^,b=2,

ab2y/32.1

则在AABC中，由正弦定理得：又sinAsinB石sinB2,

~T

因为6<ao3<A,所以3=?.

6

k

(2)方法~：因为SABC=—bcsinZBAC=^-bc=-Jin/?c=4,

△24

24

AD是加C=^的角平分线，

而S&ABC=SJED+^AACD9

11rr1jr1v7T

所—xASxADxsiny+—xACxADxsin—=—xABxACx—,

即伍+c)AD=bc,所以AD=*

be<be

>0,c>0,b+c>2y[bc,bc=4,

因为>且故为。=b+c2>Jbc

当且仅当b=c=2取等，所以AD最大值为1.

答：当b=c=2时，AD最大值为1.

方法二：\^^JS△A。RLC=-JbcsinABAC=—bc=y/3^>bc=4,

设Z.ABD=0,

AD_c___—___A__D____<)__c__—__________

在446。，△ACO中由正弦定理知:sin。sinZADBsin。.(兀、①,

sinl6n>+yIJ

ADbADb

---------o

sinZADCsinp+f]②,

因为历=4,所以①,②得,

besin0sin(--0)8sin6sin彳一9瓜.oo

02_3_13J_2y3sm2,+2cos2,-2

sin2(^+^)l+cos(2d—g)l+cos(2g—g)

4sinI20+—\-24cos|20--|-2

I6)=I3)=4_6,

1+cos[28—g)1+cos[28—g)1+cos(28—

令，=1+cos

由于IT

所以A£>2=4_，，易得此函数在feg,2为单调递增函数，

所以当f=2=6=J时，AD最大值为1.

O

拓展练习：答案：(1)p(2)(百,2石］.

解：(1)^ZABD=a9贝IJND5c=2a,

9

S1^ABCD=S"cz)=53C・_B°sin2a，5"即AB._BZ)sina，

贝U—BC-BDsin2a=2百•；AB-BDsina,而AB=1,BC=2,

贝！］有sin2a=V§sina,即2sinacosa=gsina,又0<二<兀，sina>0,

因此cosa=#,«=p所以“如？

(2)由(1)知NOBC=g,ZA3C=g,连力。，AC2=AB2+BC2=5,贝UAC=占,

兀.、、,.________________V__/I<

而N71EC=z，△AEC中，由正弦定理有sin/ACE一sin/EAC一.无一3、，

3sin—

3

AE=1V15sinZACE,EC=|V15sinZEAC,AE+EC=|V15sinZACE+1V15sinZEAC,

24

yiZACE+ZEAC=—,令ZACE=6,

27r27r

则/£AC=日--6»,0<6><—,

HltkAE+EC=—\/15sin0+--\/15sin(---6)=—^/15(—sin0H—^cos。)=2\/^sin(e+7),

3333226

因0<。<多，贝4?<夕+?<兴，有\<$皿。+^)vi,

366626

gpV5<2V5sin(6>+^)<2^,y/5<AE+EC<2y/59

6

所以AE+EC的取值范围为(62⑸.

典例4、答案：（1）sin3=逅，c=6（2）土卫

36

解：（1）因为cosA="，A为三角形内角，所以sinA=3,

33

又上7=号，解得sin3=当，

sinAsinB3

又cosA=b——,所以。=3G（舍），c=G；

2bc

（2）因为sin2A=2sinAcosA=2xx=2y,cos2A=2cos2A—l=—,

又sin（2A+—）=sin2Acos—+cos2Asin­=，+五.

4446

拓展练习：答案：（1）I（2）y（3）

解：（1）因为5asinC=3c,由正弦定理得5sinAsinC=3sinC,

3

因为sin。。。，所以sinA=g.

因为角。为钝角，所以角/为锐角，所以cosA=Jl-sin2A=g.

4

（2）由（1）cosA^-,由余弦定理〃=〃+C2-26CCOSA,a=30,b=5,

18=25+C2-2X5CX1,所以。2_8。+7=（）,

解得c=7或c=l,c=l<b,不合题意舍去，c=7,

i1321

故△A5C的面积为]6csinA=3x5x7x《=苛.

34

（3）因为sinA=二，cosA=—,

所以sin[2A+=sin2Acos—+cos2Asin—=&sinAcosA+cos2A--="+"百

I6J66250

典例5、答案：(1)|(2)的芋(3)26+1

318

TT

解：(1)\,tanB=l,O<B<^,B=—

49

h

由正弦定理三---可得，.4asinB

sinAsinB-------sinA=---

b3

]JT

,

(2)：sinA=-^a<b,B=—J

cosA=Vl-sin2A=J1-：=2f

74、B

•*-cos2A=2cos0A-l=—,sin2A=2sinAcosA=----

99

7V2472V28+7五

/.cos(2A-B)=cos2AcosB+sin2AsinB=—x---1----x--=------

929218

4+

(3)sinC=sin(7r-B-A)=s呜+A)=争cosA+sinA)=2^xl±|^l=^,

由正弦定理，M=吃可得，=需=1^=2夜+1.

sinCsmBsm»<2

~T

拓展练习：答案：(1)2；(2)立；(3)叵口.

48

解：(1)S^J6Z=4,C=2A/2,COSA=-^-,故由余弦定理cos4="上———

42bc

可得一乎=>+/6,即。+4)。-2)=0,解得6=-4(舍)或。=2.

44岳

(2)因为A£(。,，故sinA>0,则sinA=Vl—cos2A=，

42V2Q

由正弦定理「二y则而=碇，解得sinc=".

sinAsinC---4

4

(3)因为cos[2A+§)=gcos2A-^^sin2A=g(2cos2A-l)-6sinAcosA

^,cosA=

又sinA=叵

44

5

故COS

典例6、答案：（1）?（2）3拒

解：（1）选条件①：2asinB=btanA,由正弦定理可知asinB=Z?sinA

则btanA=2asinB=2bsinA,即tanA=2sinA

又在△A5c中，0<A<7r,即sinA>0,

1%

故cosA=],又OVAV»,故A=§

选条件②：--1=—cosB-cosA

bb

根据余弦定理，上式可化为：===2+-

bblac2bc2bc