对角互补模型综合应用（知识解读）-2023年中考数学重难点题型专项训练

专题05对角互补模型综合应用（知识解读）

【专驳说跚】

共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互补，

含120。的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常

用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.

【方放技巧】

类型一：含90°的对角互补模型

（1）如图，NAOB=NDCE=90°,OC平分NAOB,则有以下结论：

作法1作法2

(1)CD=CE.

@OD+OE^y[2OC.

③S,Ocn+S.gFloC?

(2)如图，ZAOB=ZDCE=90°,OC平分/AOB,当NDCE的一边与AO的延长线交于点D

时，则有以下结论：

作法1作法2

®CD=CE.

@OE-OD=41OC.

③&CA.C£AaWOCD=一2OC~

类型二：含120°的对角互补模型

(1)如图，ZAOB=2ZDCE=120°,OC平分/AOB,则有以下结论:

@OD+OE^OC.

③S.n+S.F=

0c0c4

(2)如图，ZAOB=ZDCE=90°，OC平分/AOB,当/DCE的一边与AO的延长线交于点D

时，则有以下结论:

A

®CD=CE.

@OE-OD=4IOC.

(3)5"fif-,.--Snrn=—0C~

【真例令折】

【类型一：含90°的对角互补模型】

【典例1】(1)如图1,在四边形ABCQ中，AB=AD,ZB=ZZ)=90°,E、P分别是边

BC、CO上的点，且/胡尸=』/54。，线段EF、BE、之间的关系是；

2

(不需要证明)

(2)如图2,在四边形A8CZ)中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E、/分别是边SC、CD

上的点，且(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成

2

立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是边8C、CD

延长线上的点，且/EAB=_1/A4。，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若

2

不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

【变式1-1］如图，在△A8C中，AB=AC,ZBAC=90°,直角的顶点P是8C的

中点，两边PE、尸尸分别交A3、AC于点E、F,连接斯交AP于点G,以下五个结论：

①/B=/C=45°；②AP=EF；③NA"和NAEP互补；④△■£/小是等腰直角三角形；

⑤四边形AEPE的面积是△ABC面积的旦，其中正确的结论是()

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

【变式1-2](1)如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD=10Q°,ZB=ZADC=

90°.E,尸分别是BC,CO上的点.且NE4F=50°.探究图中线段ERBE,尸£>之间

的数量关系.

小明同学探究的方法是:延长FD到点G,使。G=BE,连接AG,先证明△ABEgAADG,

再证明△AEF0ZVlGf',可得出结论，他的结论是(直接写结论，不需证明)；

(2)如图2,若在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是BC,CD

上的点，且2/胡F=/胡。，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请

说明理由；

(3)如图3,四边形4BCD是边长为7的正方形，NEBF=45°,直接写出△。跖的周

长.

【变式1-3](1)如图①，在四边形ABC。中，AB=AD,NB=ND=90°,E,尸分别是

边BC,CZ)上的点，且请直接写出线段ERBE,即之间的数量关

2

系：；

(2)如图②，在四边形A8CD中，AB=AD,ZB+Z£>=180°,E,尸分别是边BC,CD

上的点，且/胡尸=1/54。，(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

2

(3)在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是边BC,CD所在直

线上的点，且请直接写出线段ERBE,口)之间的数量关系：.

【变式1-4】问题探究：如图1,在AABC中，点。是8c的中点，DEA.DF,交A8于

点、E,。尸交AC于点R连接EE

①BE、CE与EV之间的关系为：BE+CFEF；（填“>”、“=”或“<”）

②若/A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明.

问题解决：如图2,在四边形A8OC中，ZB+ZC=180°,DB=DC,ZBDC=130°,

以。为顶点作NEOP=65°,/即尸的两边分别交A3、AC于E、尸两点，连接ER探

索线段BE、CF、E尸之间的数量关系，并加以证明.

B

【类型二：含120°的对角互补模型】

【典例2】问题背景：如图1,在四边形A8C。中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC

=90°,E,尸分别是BC,CD上的点，且NEAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD

之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长如到点G.使。G=BE.连接

AG,先证明再证明可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：如图2,若在四边形ABCZ）中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是BC,

CD上的点，且上述结论是否仍然成立，并说明理由；

2

实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，

舰艇乙在指挥中心南偏东70°的2处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指

令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90

海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且

两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

G

图1图2图3

【变式2-1］如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD=CD,ZBDC=nO°,以点。

为顶点作一个60°角，使其两边分别交A8于点交AC于点N,连结MN,则

的周长是.

A

M/\

BC

D

【变式2-2】【问题背景】

如图1：在四边形ABC£>中，AB^AD,ZBA£>=120°,/B=NADC=90°,E、F分

另lj是BC、CD上的点，且NEAF=60°,试探究图中线段BE、EF、ED之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长尸。到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE

^AADG,再证明哈△AGF,可得出结论，他的结论应是.

【探索延伸】如图2,若在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、/分别是

BC,CZ）上的点，且上述结论是否仍然成立，并说明理由.

2

【学以致用】

如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形，/EBF=45°,直接写出△OEF的周长

专题05对角互补模型综合应用（知识解读）

【专驳说跚】

共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互补，

含120。的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常

用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.

【方放技巧】

类型一：含90°的对角互补模型

（1）如图，NAOB=NDCE=90°,OC平分NAOB,则有以下结论：

作法1作法2

(1)CD=CE.

@OD+OE^y[2OC.

③S,Ocn+S.gFloC?

(2)如图，ZAOB=ZDCE=90°,OC平分/AOB,当NDCE的一边与AO的延长线交于点D

时，则有以下结论：

作法1作法2

®CD=CE.

@OE-OD=41OC.

③&CA.C£AaWOCD=一2OC~

类型二：含120°的对角互补模型

(1)如图，ZAOB=2ZDCE=120°,OC平分/AOB,则有以下结论:

@OD+OE^OC.

③S.n+S.F=

0c0c4

(2)如图，ZAOB=ZDCE=90°，OC平分/AOB,当/DCE的一边与AO的延长线交于点D

时，则有以下结论:

A

®CD=CE.

@OE-OD=4IOC.

(3)5"fif-,.--Snrn=—0C~

【龚例隆新】

【类型一：含90°的对角互补模型】

【典例1】(1)如图1,在四边形ABCQ中，AB=AD,ZB=ZZ)=90°,E、P分别是边

BC、CO上的点，且/胡尸=』/54。，线段EF、BE、之间的关系是；

2

(不需要证明)

(2)如图2,在四边形A8CZ)中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E、/分别是边SC、CD

上的点，且(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成

2

立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是边8C、CD

延长线上的点，且/EAB=_1/A4。，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若

2

不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

【解答】解：(1)EF=BE+FD,

理由如下：如图1,延长C8至G,BG=DF,连接AG,

在AAgG和△ADF中，

，AB=AD

<ZABG=ZD=90°>

BG=DF

AAABG^AADF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

'：ZEAF^IZBAD,

2

ZDAF+ZBAE=ZEAF,

：.ZGAE=ZBAG+ZBAE=ZDAF+ZBAE=ZEAF,

在△G4E和△E1E中,

'AG=AF

<ZGAE=ZFAE>

AE=AE

.".△GAE^AME(SAS),

：.EF=EG,

'：EG=BG+BE=BE+DF,

：.EF=BE+FD,

故答案为：EF=BE+FD；

(2)(1)中的结论仍然成立，

理由如下：如图2,延长CB至使连接AM,

VZABC+Z£>=180°,ZABC+Z1=180°,

：.Z1=ZD,

在△ABM和△ADB中,

'AB=AD

<Z1=ZD-

BM=DF

(SAS),

：.AM=AF,Z3=Z2,

'：ZEAF^XZBAD,

2

：.Z3+Z4=ZEAF,

：./EAM=Z3+Z4=Z2+Z4=ZEAF,

在△〃/1£和△E4E中，

rAI=AF

<ZMAE=ZFAE>

AE=AE

(SAS),

：.EF=EM,

EM=BM+BE=BE+DF,

：.EF=BE+FD；

(3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如图3,在E2上截取连接AH,

同（2）中证法可得，AABH咨AADF,

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF,

：.ZHAE=ZFAE,

在△HAE和△项E中，

'AH=AF

<ZHAE=ZFAE>

AE=AE

△物E(SAS),

：.EF=EH,

\'EH=BE-BH=BE-DF,

【变式1-1］如图，在aABC中，AB^AC,NBAC=90°,直角/EPP的顶点P是8C的

中点，两边PE、尸尸分另ij交A8、AC于点E、F,连接交AP于点G,以下五个结论：

①/B=NC=45°；®AP=EF-,③NAFP和/A£P互补；④是等腰直角三角形；

⑤四边形AEPE的面积是△ABC面积的反，其中正确的结论是（）

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

【答案】D

【解答】W："：AB=AC,ZBAC=9Q°,

.•./B=NC=45

故①正确；

;点尸为BC的中点，ZBAC=90°,AB=AC,

：.AP=CP,ZAPC=90°,ZBAP=ZC=45°,

NEPF=ZAPC,

：./APE=NFPC,

在△AEP和△CBP中，

,ZEAP=ZC

-AP=PC，

ZAPE=ZCPF

.♦.△AE尸丝△CFP(ASA),

：.PE=PF,

：./XEPF是等腰直角三角形，

/.四边形AEPF的面积为S/^AEP+SAAFP=S^CPF+S^APF=5AAPC=—SABC,

2A

故④正确，⑤不正确；

'：ZBAC=ZEPF=90°,

：.NAFP和NAEP互补，

故③正确；

不是定长，故②不正确.

正确的有：①③④，

故选：D.

【变式1-2](1)如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD=IOO°,ZB=ZADC=

90°.E,尸分别是BC,CD上的点.且NEA尸=50°.探究图中线段ERBE,0之间

的数量关系.

小明同学探究的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明AABE也△AQG,

再证明△AEF0△AGF,可得出结论，他的结论是EF=BE+DF(直接写结论，不需

证明)；

(2)如图2,若在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是8C,CD

上的点，且2/取尸=/胡。，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请

说明理由；

(3)如图3,四边形ABC。是边长为7的正方形，NEBF=45°,直接写出的周

长.

【解答】证明：(1)延长即到点G.使£>G=2E.连接AG,

在△ABE和△AQG中，

fAB=AD

-ZABE=ZADG=90°-

BE=DG

AAABE^AADG(SAS),

J.AE^AG,NBAE=NDAG,

VZBAD=100°,Z£AF=50°,

AZBAE+ZFAD=ZDAG+ZFAD=5Q°,

：.ZEAF=ZFAG=50°,

在和AGA尸中，

'AE=AG

NEAF=/GAF，

AF=AF

/.△EAF^AGAF(SAS),

：.EF=FG=DF+DG,

：.EF^BE+DF,

故答案为：EF=BE+DF-,

(2)结论仍然成立，

理由如下：如图2,延长E8到G,使BG=DF,连接AG.

VZABC+Z£>=180°,ZABG+ZABC=1SQ°,

ZABG=ZD,

;在AASG与△AD尸中，

'AB=AD

<ZABG=ZD-

BG=DF

AAABG^AADF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

'：2ZEAF=ZBAD,

：.ZDAF+ZBAE=/BAG+NBAE=1/BAD=NEAF,

2

：.ZGAE^ZEAF,

又AE=AE,

：.AAEG^AAEF(SAS),

:.EG=EF.

,:EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD；

(3)如图，延长EA到H,使A”=CR连接BH,

：.AB^BC^1=AD=CD,NBAD=NBCD=90°,

：.ZBAH=ZBCF=9Q°,

XVAH=CF,AB=BC,

:.△ABgXCBF(SAS),

:.BH=BF,ZABH=ZCBF,

；NEBF=45°,

ZCBF+ZABE=45°=ZHBA+ZABE=ZEBF,

：.NEBH=ZEBF,

又,：BH=BF,BE=BE,

:.△EBHWAEBF(SAS),

:.EF=EH,

；.EF=EH=AE+CF,

：.丛DEFWMI-fe=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=14.

【变式1-3](1)如图①，在四边形ABC。中，AB=AD,NB=ND=90°,E,尸分别是

边BC,CD上的点，且.请直接写出线段ERBE,即之间的数量关

2

系：；

(2)如图②，在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是边3C,CD

上的点，且(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

2

(3)在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是边8C,CD所在直

线上的点，且请直接写出线段ERBE,即之间的数量关系：.

:在AAgG与△A。尸中，

，AB=AD

<ZABG=ZADF=90°-

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

：.AG=AF,Z1=Z2,

.•.Z1+Z3=Z2+Z3=AZBAD=ZEAF.

2

:.NGAE=NEAF.

又AE=AE,

易证AAEG乌△AEK

:.EG=EF.

；EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的结论£F=8E+FD仍然成立.

理由是：如图2,延长到G,使BG=r)R连接AG.

VZABC+ZD=180°,ZABG+ZABC=180°,

ZABG=ZD,

;在AAeG与△AD尸中，

rAB=AD

<ZABG=ZD>

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

：.AG=AF,Z1=Z2,

Z1+Z3=Z2+Z3=AZBAD=ZEAF.

2

：.ZGAE^ZEAF.

又AE=AE,

：.△AEG/AAEF.

；.EG=EF.

；EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(3)当(1)结论EF=BE+FD成立，

当图三中，EF=BE-FD或EF=FD-BE.

证明：在BE上截取BG,使BG=£)R连接AG.

VZB+ZA£>C=180°,ZADF+ZADC=\S00,

：.NB=ZADF.

:在△ABG与△A。尸中，

'AB=AD

-ZABG=ZADF-

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

：.ZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=1.ZBAD.

2

：.ZGAE=ZEAF.

'：AE=AE,

：.AAEG^AAEF(SAS).

:.EG=EF

;EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

同理可得：：.EG=EF

,:EG=BG-BE

：.EF=FD-BE.

故答案为：(1)EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=

FD-BE.

【变式1-4】问题探究：如图1,在△ABC中，点。是的中点，DELDF,DE交于

点、E,OF交AC于点孔连接ER

①BE、CB与EP之间的关系为：BE+CFEF；（填“>”、"=”或“<”）

②若/A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明.

问题解决：如图2,在四边形48OC中，ZB+ZC=180°,DB=DC,N2OC=130°,

以。为顶点作/即尸=65°,/EDE的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EE探

索线段BE、CF、EE之间的数量关系，并加以证明.

【解答】解：（1）如图1中，延长£0到使得OH=0E,连接CH,FH.

,:BD=CD,NBDE=NCDH,DE=DH,

:,ABDE咨ACDH(SAS),

:・BE=CH,

■;DE=DH,FD2EH,

:・FE=FH,

在△尸CH中，・；CH+CF>FH,

：.BE+CF>EF.

故答案为〉.

(2)结论：EF2=BE2+CF2.

理由：如图2中，延长即到“，4吏得DH=DE,连接CH,FH.

•:BD=CD,ZBDE=ZCDH,DE=DH,

：.ABDE^ACDH(SAS),

：・BE=CH,/B=/DCH,

•：DE=DH,FD1EH,

:・FE=FH,

VZA=90°,

：.ZB^ZACB=90°,

AZACB+ZDC//=90°,

AZFCH=90°,

：.FH2=CH2+CF2,

：.EF1=BE1+CF2.

(3)如图3中，结论：EF=BE+CF.

理由：,:DB=DC,ZB+ZACD=180°,

可以将△OBE绕点。顺时针旋转得到△OCH,A,C,X共线.

"：ZBDC=130°,NEDF=65°,

ZCDH+ZCDF=ZBDE+ZCDF=65°,

ZFDE=ZFDH,

,;DF=DF,DE=DH,

：./XFDE^/XFDH(SAS),

：.EF=FH,

'：FH=CF+CH=CF+BE,

；.EF=BE+CF.

【类型二：含120。的对角互补模型】

【典例2】问题背景：如图1,在四边形48CD中，AB=AD,ZBAD^12Q°,NB=/ADC

=90°,E,尸分别是BC,CD上的点，且NEAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD

之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长阳到点G.使DG=2E.连接

AG,先证明△ABEg△AOG,再证明△AEFgA4G凡可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：如图2,若在四边形ABC。中，AB，ZB+ZD=180°,E,尸分别是BC,

CD上的点，且/E4P=』N8AD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

2

实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30。的A处，

舰艇乙在指挥中心南偏东70°的8处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指

令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90

海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,尸处，且

两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

G

图1图2图3

【解答】解：问题背景：由题意：△A2E也△AUG,AAEF^AAGF,

：.BE=DG,EF=GF,

：.EF=FG=DF+DG=BE+FD.

故答案为：EF=BE+FD.

探索延伸：EF=BE+FD仍然成立.

理由：如图2,延长尸。到点G,使DG=BE,连接AG

VZB+ZADC=180°,ZA£)G+ZA£>C=180°,

：.ZB=ZADG,

y.,：AB=AD,

在△ABE和△AOG中，

rAB=AD

<ZB=ZADG>

BE=DG

A(SAS),

C.AE^AG,NBAE=NDAG,

2

ZFAG=ZFAD+ZDAG=ZFAD+ZBAE=ZBAD-ZEAF,

=ZBAD-l.ZBAD=^ZBAD,

22

：.ZEAF=ZGAF.

在△AEF和△AGF中,

'AE=AG

<ZEAF=ZGAF-

AF=AF

AAEF^AAGF(SAS),

：.EF=FG,

又"?FG=DG+DF=BE+DF,

:.EF=BE+FD.

实际应用：如图3,连接ER延长AE,8/相交于点C,

在四边形AOBC中，

VZAOB=30°+90°+20°=140°,NFOE=70°=」NA02,

2

又：OA=OB,ZOAC+ZOBC=60°+120°=180°,符合探索延伸中的条件,

二结论EF^AE+FB成立.

即，EF=AE+FB=2X(70+90)=320(海里)

答：此时两舰艇之间的距离为320海里.

图3

q

【变式2-1］如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD=CD,ZBDC=120°,以点。

为顶点作一个60°角，使其两边分别交于点交AC于点N,连结MN,则△AMN

的周长是.

【解答】解：,••△2OC是等腰三角形，且/BOC=120°,

：.ZBCD=ZDBC=30°,

V△ABC是边长为4的等边三角形，

AZABC=ZBAC=ZBCA=60°,

/Z)BA=/r>CA=90°,

延长AB至凡使BF=CN,连接。几

在△B£)F和△CN。中，

'BF=CN

<ZFBD=ZDCN>

DB=DC

:ABDF沿ACND(SAS),

：.ZBDF=ZCDN,DF=DN,

■:/MDN=60°,

：.ZBDM+Z.CDN^6G°,

：.ZBDM+ZBDF=60°,

在ADMN和中，

rMD=MD

<ZFDM=ZMDN-

DF=DN

.MDMN乌ADMF(SAS),

:.MN=MF,

：.dAMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6+6=12.

故答案为：12.

【变式2-2】【问题背景】

如图1：在四边形ABC。中，A