矩形的折叠问题-2023年中考数学重点知识点专练

第16讲矩形的折叠问题（解析）

利用对称的性质，结合方程思想求值）

矩形折叠

结合相似或者三角函数求值

♦题型一：利用对称的性质，结合方程思想求值

Q例题精讲：

【例1】如图，一张宽为3,长为4的矩形纸片4BCD,先沿对角线8。对折，点C落在C'的位置，交2。于

G,再折叠一次，使点。与点A重合，得折痕EN,EN交AD于M,那么ME=.

【对称性质】

①线段相等：CD二C'D=AB,BC=BC',EA=EDNA=ND^AM=DM;

②角相等：/C'BD=NCBD,NC'DB=NCDB;

③全等三角形：△CBD94CBD,AABG=△CDG

④垂直平分：BD垂直平分CC',NE垂直平分AD;

【答案】"

【分析】由折叠的性质与矩形的性质，证得△BGD是等腰三角形，那么在RtAABG中，利用勾股定理，借

助于方程即可求得4G的长，又由AABGmAC'DG,得到=-1BG,由三角函数的性质即可求得ME的

长.

【详解】解：由折叠的性质得：乙GBD=Z.CBD,AM=DM=^AD,^EMA=上EMD=90°,

,•・四边形ABC。是矩形，

ADWBC,AO=8C=4,Z.BAD=90°,

Z.ADB=Z-CBD,

Z.GBD=Z.ADB,

BG=DG,

设4G=x,那么BG=DG=4—x,

•••在RtA/lBG中，AB2+AG2=BG2,

•••32+x2=(4-%)2,

•••x=-,即力G=

88

在△486和4C'GD中，

2BAG=4DOG

/.AGB=/.C'GD

、AB=CD

:.&ABG三AC'DG(AAS),

•••乙EDM=Z.ABG,

.EM_AG_7

"MD~AB~24

又MD=2,

7

・•.EM=—,

12

故答案为：f

【点睛】此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理，解题的关键

是留意数形结合与方程思想的应用.

国真题演练：

1.[2022•辽宁营口•统考中考真题）如图，在矩形力BCD中，点M在4B边上，把△BCM沿直线CM折叠，使

点2落在边上的点E处，连接EC,过点B作BF1EC,垂足为R假设CD=1,CF=2,那么线段4E的

长为（）

A.V5-2B.V3-1C.-D.-

32

【答案】A

【分析】先证明△BFC^^CDE,可得DE=CF=2,再用勾股定理求得CE=V^,从而可得AD=BC=V5,最

终求得AE的长.

【详解】解：：四边形ABCD是矩形，

；.BC=AD,/ABC=ND=90。，AD//BC,

；./DEC=/FCB,

,:BF1EC,

：.ZBFC=ZCDE,

•.,把ABCM沿直线CM折叠，使点B落在2D边上的点E处，

；.BC=EC,

在ABFC与4CDE中，

'/.DEC=乙FCB

/.BFC=乙CDE

.BC=EC

：.ABFC^ACDE〔AAS）,

；.DE=CF=2,

CE=y/CD2+DE2=Vl2+22=V5,

/.AD=BC=CE=V5,

.\AE=ADDE=V5-2,

应选：A.

【点睛】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决此题的

关键是娴熟把握矩形中的折叠问题.

2.（2022・山东济宁.校考二模）如图，矩形。力BC中，。4=4,4B=3,点。在边BC上，且CD=3D8,点E是

边02上一点，连接。E,将四边形沿DE折叠，假设点A的对称点4恰好落在边。C上，那么。E的长为

B'

【答案】|

【分析】连接4D,AD,依据矩形的性质得到BC=。4=4,0C=4B=3,NC=NB=。=90°,求得CD=3,

BD=1,依据折叠的性质得到4。=AD,A'E=AE,依据全等三角形的性质得到4c=BD=1,依据勾股

定理即可得到结论.

【详解】解：连接AD,AD,

,•・四边形04BC是矩形，

BC=OA=4,OC=AB=3,NC=NB=N。=90°,

•・•CD=3DB,

CD=3,BD=1,

CD=AB,

,•・将四边形4BDE沿DE折叠，点4的对称点4恰好落在边OC上，

A'D=AD,A'E=AE,

在Rt△4。£)与区1△084中，

(CD=AB

lA'D=AD'

ARt△4'CD三Rt△DBA(HL),

A'C=BD=1,

A'O=2,

•••A'O2+OE2A'E2,

：.22+OE2=(4-OF)2,

・•.OE=

2

故答案为：|.

B'

【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题〕，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出帮助线是

解题的关键.

3.[2022•河南郑州•郑州外国语中学校考模拟猜测〕如图,在长方形纸条4BCD中，点G在边8c上,BG=2CG,

将该纸条沿着过点G的直线翻折后，点C、。分别落在边BC下方的点E、F处，且点E、F、8在同一条直

线上，折痕与边4。交于点X,HF与BG交于点M.设力B=t,那么△GHM的周长为〔用含f的代数

【答案】2gt

【分析】过点M作MN1GE,连接BF,利用矩形和折叠的性质，推出△HMG为等边三角形，求出MG,即

可得解.

【详解】如图，过点M作MN1GE,连接BF；

•..点E、F、B在同一条直线上，

二点尸在BE上，

:将长方形纸条4BCD沿HG翻折,

."E=ND=90°,GE=GC,乙MHG=LDHG；

9：BG=2CG,

：.BG=2GE,

GE1

•,•cos乙B厂1G7E———,

BG2

・"BGE=60°；

•・•四边形/BCD是矩形，

：.MH||GE,AH||MGfCD=AB=t.

:.乙HMG=乙BGE=60°,^AHM=乙HMG=60°；

：.^MHG=18°—°=60°，

2

•••△”MG为等边三角形；

VZ.MFE=乙FEN=乙ENM=90°,

・•・四边形MNE尸为矩形，

：.MN=FE=CD=t；

VAMGN=60°,

.•.MG=MN+siMMGN/3

；.△GHM的周长=3x^t=2V3t；

故答案为：2Wt.

【点睛】此题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，等边三角形的判定和性质.娴熟把握矩形的性质和折

叠的性质，证明AUMG为等边三角形，是解决此题的关键.

4.（2022・山东泰安・校考二模）在矩形48co中，48=4,2E=2,点G、F、H、£是分另U边48、BC、DC、AD

上的点，分别沿HE,GF折叠矩形恰好使DE、BF都与EF重合，那么4。=.

【答案】7

【分析】设DE=x,依据折叠的性质得出BF=EF=DE=x.过E作EM1BC于M,那么EM=AB=4,

MF=x-2.在RtAEMF中依据勾股定理得出EM?+M/2=£■产，即4?+（x-2尸=产，解方程即可.

【详解】解：设。E=乃

:分另！1沿HE,GF折叠矩形恰好使£>£、8F都与EF重合,

:,BF=EF=DE=x.

过E作EM_LBC于M,那么四边形ABME是矩形，

"：AB=4,AE=2,

：.EM==4,=AE=2,MF=BF—BM=x—2,

在Rt△EMF中，Z.EMF=90°,

：.EM2+MF2=EF2,即42+（久一2）2=/,

解得x=5,

那么DE=5,

：.AD=AE+DE=7.

故答案为：7.

【点睛】此题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的外形和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质，勾股定理，列出关于x的方程是解题的关键.

5.[2022•江苏徐州・统考中考真题）如图，将矩形纸片ABC。沿CE折叠，使点8落在边A。上的点尸处.假

设点E在边A8上，AB=3,BC=5,那么AE=.

【答案】拂《

【分析】由折叠性质可得CF=BC=5,BE=EF,由矩形性质有CD=AB=3,BC=AD=5,勾股定理求得DF,

AF.设BE=EF=x,那么AE=ABBE,在直角三角形AEF中，依据勾股定理，建立方程，解方程即可求解.

【详解】解：由折叠性质可得CF=BC=5,BE=EF,

由矩形性质有CD=AB=3,BC=AD=5,

VZD=90°,

：.DF=VCF2-CD2=4,

所以力尸=AD-DF=5-4=1,

所以BE=EF=x,那么AE=ABBE=3x,在直角三角形AEF中：

AE2+AF2=EF2,

(3—x)2+I2=%2,

解得"I，

：.AE=3--=-,

33

故答案为：号

【点睛】此题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方

程求解是关键.

6.12022•甘肃兰州・统考中考真题〕如图，在矩形纸片ABC。中，点E在边上，将ACDE沿翻折得

到小FDE,点尸落在AE上.假设CE=3cm,AF=2EF,那么4B=cm.

【答案】3V5

【分析】由将4CDE沿DE翻折得到点F落在AE上，可得EF=CE=3cm,CD=DF,/DEC=NDEF,

由矩形的性质得NDFE=/C=90o=/DFA,从而得AF=6cm,AD=AE=9cm,进而由勾股定理既可以求解。

【详解】解：：将4CDE沿DE翻折得到△FDE,点F落在AE上，CE=3cm,四边形ABCD是矩形，

；.EF=CE=3cm,CD=DF,NDEC=/DEF,ZDFE=ZC=90°=ZDFA,

VAF=2EF,

AF=6cm,

/.AE=AF+EF=6+3=9(cm),

・・•四边形ABCD是矩形，

AAB=CD=DF,AD||BC,

・•・NADE=NDEONDEF,

AD=AE=9cm,

,/在RtAADF中，AF2+DF2=AD2

・・・62+DF2=92,

.".DF=3V5(cm),

AB=DF=3V5(cm),

故答案为：3县.

【点睛】此题考查矩形的性质、勾股定理及轴对称，娴熟把握轴对称的性质是解题的关键.

7.[2022•辽宁大连•统考中考真题)如图，对折矩形纸片2BCD,使得力。与BC重合，得到折痕EF,把纸片

展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点4落在EF上，并使折痕经过点以得到折痕BM.连接MF,假设

MF1BM,AB=6cm,那么4D的长是cm.

【答案】5V3

【分析】依据直角三角形的中线定理，先证明四边形40AM是平行四边形，再证明AAOM是等边三角形,

分别依据直角三角形中的三角函数求出AM和DM,从而得到答案.

【详解】解：如以下图所示，设4E交BM于点0,连接A0,

:点E是中点，

...在RtAABM和RtAH'BM中，AO=0M=OB,0A'=OB=0M,

：.^OAE=AOBE.^OBA'=AOA'B,

■:上OBE=^OBA',

J./-OAE=^OA'B,

"：AOAE+AAOE=90°,AOA'B+AOA'M=90°,

：.Z.AOE=/.OA'M,

：.AO//A'M,

AMI10A'

四边形4O4'M是平行四边形，

：.AM=OA'

：.AM=AO=OM,

...△40M是等边三角形，

：.^AMO=/LOMA'=60°

tanzXMO=tan60°=—

AM

：.AM=2V3,

VMF1BM,Z.OMA'=60°,

：./-A'MF=30",

J.A.DMF=180°-150°=30°,

1

U：DF=-AB=3,

2

：.AD=AM+MD=5V3,

故答案为：5V3.

【点睛】此题考查矩形的折叠、直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键是证明AZOM是等边三角形

以及娴熟把握直角三角形中的三角函数.

8.12022.山东潍坊.中考真题〕小莹依据如下图的步骤折叠A4纸，折完后，发觉折痕AB，与A4纸的长边

AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为.

DB'CB'C

【答案】V2

【分析】判定△AB，D是等腰直角三角形，即可得出AB，=&AD,再依据AB，=AB,再计算即可得到结论.

【详解】解：：四边形ABCD是矩形，

ZD=ZB=ZDAB=90°,

由操作一可知：NDAB，=ND，AB，=45。，ZAD,B,=ZD=90°,AD=AD,,

△ABD，是等腰直角三角形，

.•.AD=AD'=B'D',

由勾股定理得AB'=V2AD,

又由操作二可知：ABr=AB,

/.V2AD=AB,

s,

AD

：.M纸的长AB与宽AD的比值为近.

故答案为：V2.

【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及折叠变换的运用，解题的关键是理解题意，敏捷运用所学学问解

决问题.

9.（2022.辽宁锦州・中考真题）如图，四边形A8CD为矩形，AB=&,AD=3,点E为边BC上一点，将△DCE

沿DE翻折，点C的对应点为点F,过点尸作DE的平行线交AD于点G,交直线BC于点H.假设点G是边力D

【答案】手或彳

【分析】过点E作EM1GH于点M,依据题意可得四边形HEDG是平行四边形，证明HE=FE,等面积法求

得ME,勾股定理求得HM,可得HF的长，进而即可求解.

【详解】①如图，过点E作EM1GH于点M,

VDE//GH,AD//BC

・•・四边形HEDG是平行四边形

1

・•.HE=GD=-AD=1

二折叠

•••乙FED=Z-CED

•・•Z.MED=90°

即4FEM+乙FED=90°

・・・(CED+乙HEM=90°

・•・乙HEM=Z.FEM

•・•乙EMF=乙EMH=90。，ME=ME

・•.△HEM=AFEM

・•.HM=MF,EF=HE=1

.・.EF=EC=1

••・四边形4BCD是矩形

•••ZC=90°,DC=AB=V2

Rt△EDC中，DE=y/DC2+EC2=J(V2)2+l2=V3

•••GH=DE=^3

•••ME1HG,HG//DE

11

S^DEF=qMEXDE=SADEC=qDCXEC

DCxECV2X1_V6

•••ME

~DE-

HM=y/HE2-ME2=Jl—(宵=彳

RtAHME中,

L2LW

：.FG=HG-HF=HG-2HM=V3--V3=—

EC=EF=HE=2,

•••DE=J22+(V2)2=V6,

DCxECV2x22V3

ME=————=——=——

DE^/63

Rt△HME中，HM=yjHE2-ME2=J22-(攀)=等

45/6J—V6

•••FG=HF-HG=2HM-HG=---V6=—

33

故答案为：?或苧

【点睛】此题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，把握以上学问，留意分类

争论是解题的关键.

10.（2022・四川雅安・统考中考真题）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，假设8c=9,CD=3,那么阴影

局部的面积为

【答案】7.5

【分析】利用矩形与轴对称的性质先证明FB=FD,再利用勾股定理求解FB=5,再利用三角形的面积公式

可得答案.

【详解】解：•・・把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC=9,CD=3,

.・.AD=BC=9fAD//BC,AB=CD=3fZ-A=9Y/EBD=乙CBD,

•••Z.ADB=Z-CBD,

Z-FDB=Z.FBD,

・•.FB=FD,

・•.AF=AD-FD=9-FB,

•••FB2=32+(9-FB)2,

解得：FB=FD=5,

11

•••S阴影=3严。xAB=-x5x3=7.5.

故答案为：7.5

【点睛】此题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，证明F8=FD是解此题的关键.

11.(2022•吉林长春•模拟猜测)【推理】

如图1,在边长为10的正方形4BCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结

BE,CF,延长CF交4。于点G,BE与CG交于点M.

(1)求证：CE=DG.

【运用】

(2)如图2,在【推理】条件下，延长BF交4D于点”.假设CE=6,求线段。H的长.

【拓展】

(3)如图3,在【推理】条件下，连结AM.那么线段AM的最小值为.

【答案】(1)见解析

⑵弓

(3)5痛-5

【分析】m利用ASA证明△BCE三/XCDG,得CE=DG；

(2)连接HE,利用等角对等边证明HG=HF,设DH=x,那么GH=HF=6—x,由勾股定理得，(6-x)2+

62=X2+42,解方程即可；

[3)取BC的中点0,连接。M,A0,利用勾股定理求出4。，直角三角形斜边上中线的性质得M。的长，再

利用三角形三边关系可得答案.

【详解】(1)证明：•••四边形4BCD是正方形，

：.^ADC=ABCD=90°,DC=BC,

：.^DCG+Z.BCM=90°,

•.•正方形4BCD沿BE折叠，

Z.Z.BCM=90°,

：.^CBM+ABCM=90°,

:.乙CBM=Z.DCG,

：.ABCE=ACOG(ASA),

ACE=DG；

(2)解：连接HE,

正方形4BCD沿BE折叠，

/.Z.BCF=乙BFC,EF=CE=6,

'：AD//BC,

:.乙HGF=乙BCF,

■:乙BFC=4HFC,

J.A.HGF=NHFG,

：.HG=HF,

设D”=%,那么G”=HF=6-x,

由勾股定理得，（6-X）2+62=/+42,

解得x=y,

：.DH=—14

3

[3)解：取8c的中点。，连接。M,A0,

那么B。=5,AO=5V5,

WBMC=90°,。为BC的中点,

：.MO=-BC=5,

2

"JAM>AO-OM,

.♦.AM的最小值为2。-OM=5V5-5,

故答案为：5V5-5.

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股

定理，三角形三边关系等学问，运用勾股定理列方程是解题的关键.

12.[2022•河南郑州•郑州外国语中学校考模拟猜测)如图，平面直角坐标系中，矩形O4BC的对角线4C=12,

/-ACO=30°

⑴求3、C两点的坐标；

(2)把矩形沿直线OE对折使点C落在点A处，DE与4C相交于点R求四边形ADCE的面积；

(3)假设点M在直线DE上，平面内是否存在点N,使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？假设存在,

请直接写出点N的坐标；假设不存在，请说明理由.

【答案】⑴B(6旧,6),C(6V3,0)；

⑵S四边形4DCE=248

⑶N(3V3,—3),(V3,3),(3,3次)，(-3,—3g)

【分析】(1)含30。角直角三角形的性质及勾股定理得4。、OC的长度，那么可得B、C的坐标；

(2)由折叠性质得4D=CD,AF=CF,可证明△AEF三△CDF,那么AE=CD,由矩形可知，四边形2DCE

是平行四边形；设CD=x=AD,那么。。=6次一乃在RtAA。。中，由勾股定理建立方程可求得x的值,

从而可求得结果；

(3)分三种状况考虑：以。凡FM为边；FM为边,。f为对角线；假设。尸为边，FM为对角线；分别利用菱

形的性质及相关学问即可求得点N的坐标.

【详解】(1)•••^ACO=30°,AO1CO,AC=12

AO=6

由勾股定理得：OC=6百

.,.B(6V3,6),C(6V3,0)；

(2)由折叠的性质得：AD=CD,AF=CF

••・四边形。ABC是矩形

：.AB//OC

•••Z.EAF=乙DCF

Z.AFE=Z.CFD

AFE=△CFD

・•.AE=CD

•・•AE//CD

.•・四边形4DCE是平行四边形

设CD=x=4D,那么。。=6百一x

•.,在RtAA。。中，AD2=AO2+OD2

：.x2=36+(6A/3-X)2

解得：x=4V3

S四边形4DCE=X=248

[3)假设以。F,FM为边，如图

•­•F(3V3,3)

由(1)知，。。=6百—4百=2g

."(2百，0)

设直线OE的解析式为y=kx+b

把点。与点尸的坐标分别代入得：［2^fe+b=0

解得：?=声

直线DE解析式y=V3%-6

四边形ONMF是菱形

：.OF=ON,ON//DE

.••。可的解析式丫=E万

设N(a,V3a)

：.a2+(V3a)2=(3V3)2+32

解得：a=±3

；.N(3,3V3),(-3,-3>/3)

四边形4DCE是平行四边形，AD=CD

四边形4DCE是菱形

：.AD=CD=4V3

/.Z.DXC=/.DCA=30°

：.^OAD=30°

/./.OAD=皿IC,AD=AD,4AOD=/.AFD=90°

：.^AOD^LAFD

.♦.4。=AF,OD=FD

.•.4。是。尸的垂直平分线

四边形ONFM是菱形

.•.ND是。F的垂直平分线

；.M与D重合，即M(2次，0)

设N(b,c)

：。产与DN相互平分

.b+2y/30+3A/30+3c+0

••—,1—

2222

b=V3,c=3

.\N(V3,3)

假设。F为边，FM为对角线

如图

直线DE解析式y=V3%-6

二直线与y轴的交点为（0,-6）

VF(3V3,3),0(0,0)

/.OF=6

•・•四边形。FNM是菱形，OF=6

・•・OM=OF=6

AM是直线y=百万-6与y轴的交点

四边形OFNM是菱形，。尸=6

J.FN//OM,FN=6,且尸(38，3)

：.N(3＞/3,-3)

综上所述N(3V3,-3),(V3,3),(3,3b)，(-3,-3V3)

【点睛】此题考查了一次函数，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平

分线的判定等学问，涉及分类争论思想，敏捷运用这些学问是解题的关键.

13.12022.湖北荆门•统考中考真题)如图，矩形ABC。中，42=8,BC=x[0＜尤＜8),将AACB沿AC对

折到△ACE的位置，AE和CD交于点F.

(1)求证：△CEF^AADF；

⑵求tan/ZMF的值(用含x的式子表示).

【答案】(1)证明见解析

(2)tanZDAF=^^

【分析】[1)依据矩形的性质得到NB=ND=90。，BC=AD,依据折叠的性质得到BC=CE,ZE=ZB=

90°,等量代换得到NE=ND=90。，AD=CE,依据AAS证明三角形全等即可；

[2)设DF=a,那么CF=8-a,依据矩形的性质和折叠的性质证明AF=CF=8-a,在RtAADF中，依

据勾股定理表示出DF的长，依据正切的定义即可得出答案.

【详解】11)证明：•.•四边形ABCD是矩形，

.*.NB=ND=90。，BC=AD,

依据折叠的性质得：BC=CE,ZE=ZB=90°,

/.ZE=ZD=90°,AD=CE,

在ACEF与4ADF中，

Z.CFE=2LAFD

ND=4E=90°,

、AD=CE

?.ACEF^AADF(AAS)；

(2)解：设DF=a,那么CF=8-a,

•.•四边形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,AD=BC=x,

/.ZDCA=ZBAC,

依据折叠的性质得：ZEAC=ZBAC,

/DCA=/EAC,

；.AF=CF=8-a,

在RtAADF中，

：AD2+DF2=AF2,

x2+a2=(8-a)2,

【点睛】此题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），依据

矩形的性质和折叠的性质证出AF=CF是解题的关键.

14.（2022・江苏无锡・统考中考真题）如图，四边形为矩形AB=2y/2,BC=4,点E在8c上,CE=AE,

将小ABC沿AC翻折到△AFC,连接EF.

⑴求的长；

⑵求sin/CEP的值.

【答案】⑴g

（2）^734

【分析】（1）先由RtANBE可求得2E的长度，再由角度关系可得NR4E=90。，即可求得EF的长;

(2)过F作FM1CE于M,利用勾股定理列方程，即可求出EM的长度，同时求出FM的长度，得出答案.

【详解】(1)设=那么EC=4-x,

*.AE=EC=4—x,

在RtA/BE中，AB2+BE2=AE2,

：.(2V2)2+x2=(4-x)2,

.*.%=1,

：.BE=1,AE=CE=3,

U：AE=EC,

/.Zl=Z2,

■:乙ABC=90°,

AZ.CAB=90°-Z2,

：.^CAB=90°-^1,

由折叠可知AR4c三ABAC,

：.^FAC=^CAB=90°-zl,4F=4B=2上,

."R4C+N1=90°,

：.Z.FAE=90°,

(2V2)2+32=V17.

/FME=NFMC=90°,

设EM=a，那么EC=3a,

在RtAFME中，FM2=FE2-EM2,

在RtAFMC中，FM2=FC2-MC2,

：.FE2-EM2=FC2-MC2,

(V17)2-a2=42-(3-a)2,

・5

••CL——

3

.•.EM=|

2

：.FM=J(V17)-(j)2=鸿,

勾股定理，矩形的性质，通过添加帮助线构建直角三角形是解题的关

键.

15.12022•河南•统考中考真题)综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠"为主题开展数学活动.

(1)操作推断

操作一：对折矩形纸片ABCZ),使与重合，得到折痕EF,把纸片展平;

操作二：在上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM,BM.

依据以上操作，当点M在£尸上时，写出图1中一个30。的角:

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，连续探究，过程如下:

将正方形纸片ABC。依据［1)中的方式操作，并延长交C。于点。连接8。.

①如图2,当点M在斯上时，NMBQ=°,NCBQ=°；

②转变点P在A。上的位置〔点P不与点A,。重合)，如图3,推断与NCB。的数量关系，并说明

理由.

(3)拓展应用

在［2)的探究中，正方形纸片ABC。的边长为8cm,当FQ=lcin时，直接写出AP的长.

【答案】或4aBp或4P8M或NM8C

⑵①15,15；②乙MBQ=LCBQ,理由见解析

(3)4P=*m或IIcm

【分析】⑴依据折叠的性质，得BE=|BM,结合矩形的性质得NBME=30°,进而可得乙4BP=乙PBM=

乙MBC=30°；

(2)依据折叠的性质，可证RtABQMwRtABQC(HL),即可求解；

［3)由〔2〕可得QM=QC,分两种状况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时,设力P=PM=x,

分别表示出PD,DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

⑴

解:■：AE=BE=^AB,AB=BM

1

BE=-BM

2

RE1

•・•乙BEM

=90°,sinZBME=—BM=-2

・•・乙BME=30°

・•・乙MBE=60°

•・•"BP=乙PBM

・•.Z.ABP=乙PBM=Z.MBC=30°

12)

•・,四边形ABCD是正方形

AAB=BC,NA=NABC=NC=90。

由折叠性质得：AB=BM,ZPMB=ZBMQ=ZA=90°

，BM=BC

①•••BM=BC,BQ=BQ

；.RtABQM=RtAFQC(HL)

.­.4MBQ=Z.CBQ

•••LMBC=30°

•••乙MBQ=乙CBQ=15°

②•••BM=BC,BQ=BQ

•••RtASQMaRtABQC(HL)

.­.乙MBQ=4CBQ

⑶

当点Q在点F的下方时，如图，

图3

FQ=lcm,DF=FC=4cm,AB=8cm

QC=CD-DF-FQ=8-4-1=3(cm),DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)

由［2)可知，QM=QC

设4P=PM=x,PD=8-x,

PD2+DQ2=PQ2,

即(8-X)2+52=0+3)2

解得：％=工

•.AP——cm；

li

当点Q在点F的上方时，如图,

APD

FQ=lcm,DF=FC=4cm,AB=8cm

•••QC=5cm,DQ=3cm,

由(2)可知，QM=QC

设/尸=PM=x,PD=8-x,

・•.PD2+DQ2=PQ2,

即(8—％)2+32=(%+5)2

解得：久=得

24

：.AP=—cm.

13

【点睛】此题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，把握相关学问并敏捷应用

是解题的关键.

♦题型二：结合相像或者三角函数求值

IB例题精讲：

【例2】1.如图，点E是矩形4BCD中CD边上一点，△8金沿85折叠得到对应的48尸瓦且点C的对应点尸

落在力。上.假设tanNDFE=*BC=3,那么CE=.

AFD

E

B

【一线三等角】当折叠的顶点落在边上时，会消失一线三等角的相像。

【答案】2

【分析】依据三角函数设DE=5x,那么DF=12x,依次求出岳尸、。石、。。、48,结合折叠证443尸〜"DFE,

依据相像三角形的性质求出4F,以及BC=3解方程，即可求出.

【详解】依题意:

CLLDE5

tanZ.PFE=—=一

DF12

设DE=5%,那么DF=12%,

•••EF=yjDE2+DF2=V(5%)2+(12x)2=13x,

由折叠可知:

CE=EF=13%,

AB=CD=CE+DE=13%+5%=18%,

由矩形翻折可知:

Z.BFE=z90°

••・乙DFE+Z.AFB=490。，

•••Z-A=z90°

・•・4ABF+Z.AFB=490。，

•••Z-ABF=乙DFE,

ABF~&乙DFE,

tAF_AB

,・DE~DF'

a即r-tA一F=——18X，

5x12x

解得：4F=等，

•••BC=3,

•••BC=AD=AF+DF=12x+—x=3,

2

解得X=M

2

CE=13%=13X—=2,

13

故答案为：2.

【点睛】此题考查了折叠的性质、三角函数、勾股定理以及相像三角形的判定和性质；依据翻折证明三角

形相像、利用三角函数构建线段相等是解题的关键.

国真题演练：

16.（2022・贵州毕节・统考中考真题）矩形纸片2BCD中，E为BC的中点，连接4E,将△4BE沿4E折叠得到

AAFE,连接CF.假设48=4,BC=6,那么CF的长是1）

A.3B.—C.-D.—

525

【答案】D

【分析】连接BF交AE于点G,依据对称的性质，可得AE垂直平分BF,BE=FE,BG=FG=”F,依据E

为BC中点，可证BE=CE=EF,通过等边对等角可证明NBFC=90。，利用勾股定理求出AE,再利用三角函

数〔或相像）求出BF,那么依据FC=7BC2-/2计算即可.

【详解】连接BF,与AE相交于点G,如图，

•.,将△4BE沿4E折叠得至!]△AFE

?.△ABE^^4FE关于AE对称

，AE垂直平分BF,BE=FE,BG=FG=jfiF

•.•点E是BC中点

.".BE=CE=DF=|BC=3

：.AE=7AB2+BE?=V42+32=5

,BEAB3X412

・・DG=-------=-----

AE55

1724

：.BF=2BG=2X—=—

25

VBE=CE=DF

AZEBF=ZEFB,NEFONECF

・•・ZBFC=ZEFB+ZEFC=—=90°

2

AFC=VBC2-BF2=小62一传了=/

应选D

【点睛】此题考查了折叠对称的性质，娴熟运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键.

17.〔2022•浙江湖州•统考中考真题）如图，8。是矩形48CD的对角线，AB=6,8c=8,点E,F分别在边

AD,BC上，连结BE,DF.将△ABE沿BE翻折，将△OCT沿。尸翻折，假设翻折后，点A,C分别落在

对角线上的点G,H处,连结G?那么以下结论不正确的选项是〔）

A.8。=10B.HG=2C.EG||FHD.GF±BC

【答案】D

【分析】依据矩形的性质以及勾股定理即可推断A,依据折叠的性质即可求得HD,BG,进而推断B,依据

折叠的性质可得NEGB=NFHD=90。，进而推断C选项，依据勾股定理求得CF的长，依据平行线线段成比

例，可推断D选项

【详解】〈BD是矩形ABCD的对角线，AB=6,BC=8,

・•.BC=AD=8fAB=CD=6

BD=yjBC2+CD2=10

故A选项正确，

・・・将△ABE沿BE翻折，将ADCF沿DF翻折，

.・.BG=AB=6,DH=CD=6

・•.DG=4,BH=BD—HD=4

HG=10-BH-DG=10-4-4=2

故B选项正确，

•・•EG1BDfHF1DB,

・・・EG〃HF,

故C正确

设AE=a,那么EG=a,

ED=AD-AE=8—a,

•••Z.EDG=Z-ADB

•••tanZ.EDG=tanZ-ADB

ni-|EGAB63

'DG~AD~8~4

a3

A4=4

・•.ZE=3,同理可得CF=3

假设FG〃CD

那么竺=也

BFBG

,,CF_3GD_4_2

・B尸—5，BG-6-3’

CF,GD

--W--9

BFBG

・,・FG不平行CD,

即GF不垂直BC,

故D不正确.

应选D

【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，把握以上学问是解题的

关键.

18.〔2022•四川达州・统考中考真题）如图，点E在矩形4BCD的4B边上，将A/IDE沿DE翻折，点A恰好落

在BC边上的点尸处，假设CD=3BF,BE=4,那么2D的长为（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】C

【分析】依据折叠的性质可得ZE=EF,4D=FD,设BE=x,那么CD=3%,那么AE=-BE=CD-

BE=3x-4,在Rt△BEF中勾股定理建列方程，求得x,进而求得CD,依据NBEF=乙DFC,可得tan/8£T=

tanzDFC,即里=电，求得FC=12,在RtAFCD中，勾股定理即可求解.

BEFC

【详解】解：:四边形是矩形，

：.AB=CD,=Z.C=90°,

・・・将△40E沿DE翻折，点A恰好落在边上的点F处，

・•.FD=AD,EF=AE/EFD=AA=90°,

•・•CD=3BF,BE=4,

设BF=x,那么CD=3x,AE=AB-BE=CD-BE=3x-4,

在RtZkBEF中8尸+B产=EF2f

即42+/=（3%—4）2,

解得％=3,

BF=3,CD=9,

•・•Z.EFD=Z.A=90°,=cC=90°,

・•.Z.BEF=90°-乙BFE=乙DFC,

••・tanZ-BEF=tanzPFC,

J..BF_=CD,

BEFC

•.••3_9，

4FC

FC=12,

在Rt△FCD中，FD=VFC2+CD2=15,

•••AD=FD=15.

应选C.

【点睛】此题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，把握折叠的性质以及勾股定理是解题的

关键.

19.12022•浙江金华・统考中考真题）如图是一张矩形纸片48CD,点E为2。中点，点尸在BC上，把该纸片

沿EF折叠，点A,8的对应点分别为4,B',AE与BC相交于点G,B0的延长线过点C.假设差=；那

GC3

NCBo4V10c20n8

A.2V2B.-----C.—D.-

573

【答案】A

【分析】令BF=2x,CG=3x,FG=y,易证△CG4CFB’,得出=坐，进而得出y=3x,那么AE=4x,

CFBF

AD=8x,过点E作EHLBC于点H,依据勾股定理得出EH=2&x,最终求出华的值.