利用结构相同函数解题-高考数学复习压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题15利用结构相同函数解题

【方法点拨】

1.一个方程中出现两个变量，适当变形后，使得两边结构相同；或不等式两边式子也可适

当变形，使其两边结构相同，然后构造函数，利用函数的单调性把方程或不等式化简.

2.同构的基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”.

【典型题示例】

例1(2022•江苏苏大考前指导卷)已知a>Z?〉0,且。<匕+山区成立，则()

b

A.a<\B.a>lC.0<Z?<lD.a>b>\

【答案】C

【分析】利用构造函数法，结合导数求得正确答案.

【解析】依题意，a>b>0,a<b+ln-.a-b<]na-\nb,a-]na<b-kib,

b

1y_1

构造函数/(x)=x-ln%(x>0),/(x)=1——=----,

所以/(%)在区间(0,1)J(x)<0J(x)递减；在区间(l,+8),/'(x)>0J(x)递增.

若则/(〃)>/(6)，a-lna>b-lnb,不符合题意.

若则/(〃)</(》)，a-]na<b-]nb,符合题意，

若〃>1>人>0,此时对任意人£(0,1),/(力二/0)有两个不同的实数根瓦毛,

则存在/>a>l>b>0,使“〃>人>0且〃<b+ln2”成立.

b

对任意ae(1+8),〃％)=/(。)有两个不同的实数根。,再，

则存在。<〃<%i<l<a,使“a>/?〉0且a<b+ln@”成立.

b

综上所述，0<匕<1

故选：C

例2(2022险国高中数学联赛江苏苏州选拔赛・7)若关于x的不等式In(依)+axWx+e*

恒成立，则实数a的最大值为.

【答案】e

【分析】关于X的不等式ln(ax)+axWx+eX恒成立，即关于x的不等式

In(砒)+e"3)Wx+e”恒成立，则ln(ar)Wx,即ox«e'，分a=0,a<0,a>0三种情

况讨论，分离参数，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，从而可得出答案.

【解析】关于x的不等式ln(ox)+axWx+eX恒成立，

即关于x的不等式ln(0c)+eW⑹Wx+e*恒成立，

因为函数丁=x+e"为增函数，

所以ln(ax)Wx,所以oxWe,，

X

当。=0时，In(⑪)无意义，故〃。0；当avO时，则％<0,则—，

x

令/(%)=、(％<。),则/'(x)=e(11)<0(元<0),

XX

所以函数/(力在(-8,0)上递减，

当XT■-00时，一，所以。之0,与"0矛盾，所以"。舍去，

当。〉0时，则aW巨，

X

令//(%)=J(x〉0),则〃(x)=e(：

%X

当0<%<1时，//(%)<0,当％>1时，〃(x)>0,

所以函数人⑺在(0,1)上递减，在(L+8)上递增，

所以MxLnnMDne，

所以0<aWe,

综上所述，0<aWe,

所以实数。的最大值为e.

故答案为：e.

点评：利用同构得出axWe"后，由函数图象则易得0<aWe,故实数。的最大值为e.

JI

例3（2022•江苏南通一模）已知a,p均为锐角，且2+力-万>sin力一cos1,

则

A.sina>sin用B.cosa>cos/?

C.cosa>sinD.sina>cos/3

【答案】D

JIJI(兀、

【解析】a+p--->sin〃-cosa,/?-sin>----a-sin---a

12

227、

令/(x)=%-sin%,xe0,—,/,(%)=l-cos%>0,/(%)在0,—/

、27)I2,

B>---a,cosp<cos---a,二cos尸<sina,选D.

2(2)

例4（2021•江苏新高考适应性考试・8）已知a<5且/=5e",b<4且左4=4乱c<3

且ce3=3e°,则（）

/X.c<b<aB.b<c<ac.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

a5ebe4e，e3

【解析一】往结构相同方向变形，将已知变形为一e=一e,—,—=-

a5b4c3

设函数/（x）=《，则/'（%）=宜芈

XX

所以/（x）在（0,1）上单减，在（L+o。）上单增

所以/(3)<〃4)<_/(5),/(c)</(/2)</(«),所以a<0<c.

设函数/(x)=x-lnx,贝！|/'(x)=l

x

所以/(x)在(0,1)上单减，在(1,+0。)上单增

所以/(3)</(4)</(5),/(c)</(&)</(«),所以a<〃<c.

例5已知实数。，。满足3"+。=7,陶W+1+6=2,贝|a+36=.

【答案】16

【解析】令logs班订T=c,则6=g(3%-l),代入log3M36+1+b=2可化为

e+|(33c-l)=2,即33。+3c=7

设f(x)=3，+x-7,则/(x)=ln3-3"+l>0,/(元)在R上单增

故/(x)=3'+x-7=0只有一个零点

所以a=3c,即3log3W36+1=a,3"=36+1

所以a+3“=a+3"-l=7-l=6.

例6已知函数F(x)=3-3T,/(I-2log3t)+f(3log3r-1)>log,/,则f的取值范

3

围是.

【答案】工也)

【分析】这里可以发现log「=—log；=(21og；—1)—(31og；—1),将

3

/(I-2log31)+/(31og3t-l)>loglt移项变形为

3

f

/(31og3?-l)+(31og3-l)>(21og；+l)-/(l-21og31),易知f(x)=3'—3-x是奇函数，

,

-/(l-21og3Z)=/(21og3+l)，故进步变形为

/(31og3r-l)+(31og3r-l)>/(2log3r-l)+(21og3?-l),此时，得到一个“左右形式相当,

一边一个变量”的不等式，令/(%)=/(%)+无，问题转化为尸(3logs'—1)2尸(2log；—1),

只需研究b(x)=/⑴+%的单调性，逆用该函数的单调性即可.

【解析】：log；=—log；=—(1—2log；)-(3log；—1)

3

/(l-21og3f)+/(3logs/-1)2log】t可变形为：

3

f,

/(31og3/-l)+(31og3-l)>(21og3-l)-/(l-21og3l)

：/(x)=3£—3-x是奇函数

r

.•.-/(l-21og3r)=/(21og3-l)

A/(31og3?-l)+(31og3Z-l)>/(21og3?-l)+(21og3r-l)

令F(x)=f{x)+x=3x-3-x+x,贝UF'(x)=ln3-3，+ln3-3T+l>0

F(x)单增

?,

.,.31og3-l>21og3-l,即logs'NO,解之得

所以t的取值范围是［1,+8).

5

例7已知实数X1,%满足再泊=/,^(lnx2-2)=e,则%/=.

【答案】e5

【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令111々-2=/,%=d+2,得到

td=S，研究函数/(x)=xex的单调性，求出国1关系，即可求解.

5

［解析一1实数须，/满足中为=/,x2(lnx2-2)=e,

2,+23

xl>0,x2>e,Inx2-2=/>0,x2=e,则m=e，

f(x)=xd(x>0),/'(x)=(x+l)ex>0(x>0),

所以在(0,+8)单调递增，而/(芭)=/«)=e3,

5

x1=t=lnx2-2,:.xxx2=x2(ln%2-2)=e.

【解析二】对x©"=e3两边取自然对数得：In%+芯=3,

对42(lnX2-2)=/两边取自然对数得：ln^+ln(lnx2-2)=5(:※)

为使两式结构相同，将(※)进一步变形为：(In%—2)+In(In%—2)=3

设/(x)=lnx+x,则/>'0)=工+1〉0

x

所以〃龙)在(0,+8)单调递增，/(©=3的解只有一个.

5

％=ln%2—2,=(lnx2-2)x2=e

点评:两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数,

利用函数的单调性，利用是同一方程求解.

【巩固训练】

1.若2"+log2a=4"+210g46,贝U()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

2.若2%-2,v3T-3一L则()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(^-x+l)<0C.In|x-y|>0D.In|x-y|<0.

3.(多选题)已知对任意x,yG(0,2),(%-1)3-3y2(l-y)3+3x-6恒成立,贝！J

149

A.%+y》2B.—d——2—

xy2

C.f+3盯W4D.，2x+l+J2y+1W2A/^

4.如果cos5e-sin50<7(cos38-sin3。)，，e[0,2])，则。的取值范围是.

Qin

5.不等式^^工+，-一X3一5x〉o的解集是____________.

(x+l)3X+1

6.已知de[0,2%),若关于k的不等式Jsin》-JcosG上去,!?O-cos^6)在(-oo,-2]上恒成立,

则6的取值范围为.

004

7.已知实数〃，〃£(0,2),且满足4=»-2"-4b,则〃+b的值为.

8.设方程兄+2"=4的根为优，方程x+log2*=4的根为〃，贝iJm+〃=.

9.已知3。2+5〃=1,。3—3/+55=5,那么的值是.

10.不等式f—(x+2尸+X2<X，—(%+2)2+X+2的解集是.

11.若当满足2%+2*=5,%满足2x+21og2(x—1)=5,xi+x2=()

57

A.—B.3C.—D.4

22

12.已知实数a,/?G(\/2,+8),且满足一^^->In—,则a,b,的大小关系

aba

是.

13.已知关于X的方程2，"-2m=-丁+如_1在区间[g,3]上有两个不相等的实数根，则

实数。的取值范围为.

14.已知a,b,ce(0,1),且/一2Ina+1=e，Z?2-2In/?+2=e2,

/—21nc+3=/其中e是自然对数的底数，则

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bX）.c>b>a

15.已知xlnx=2021,xe，=2021的根分别为须，/，则下列关于石、々的式子中等于

2021的是（）

西

X1+%22

A.B.X]一%c.X[X2D.—

16.若方程3工+9x=36，X+log3*=2的根分别为王，％2，则再+%2=.

eaeb+1+1

17.（2022•南京零模复习卷•8）已知a〉l,b>l,且J=------,则下列结论一定正

ab+1

确的是（）

A.ln（a+Z?）>2B.ln（«-Z?）>0C.2fl+1<2bD.2fl+2fo<23

18.（2022•江苏金陵中学•网课质检卷•7）已知a+2"=2,6+3）=2,则句ga与alg。的大

小关系是

A.blga<algbB.blga=algbC.blga>algbD.不确定

19.（2022•江苏南京零模•8）已知a,Z?,ce（0,1）,且

a2-2In«+1=e,b2-2In/?+2=e2,c2-2Inc+3=e3,其中e是自然

对数的底数，则

A.a>b>cBa>c>bQc>a>bc>b>a

【答案与提示】

1.【答案】B

2b2Z，

【解析】：4"+2log4b=2+log4b-=于。+log2^=2+log22Z7-1

bb

/.2a+log2a=2~+log22b-l,故2"+log2a<2~+log22b

设/(元)=2*+地2%,则f(x)为增函数,

所以/(a)</(2b),所以。<26

fl22

/(«)-/(/)=2+log2a”+log2b)=22〃+log2。―(2户+log2b)=

2fcfc2

2-2-log2Z?，

当办=1时，/(a)-/(Z72)=2>0,此时/(。)>/(。2),有口>/?

当b=2时，/(a)—/(")=—1<0,此时/伍)</(/),有4<匕2,所以c、D错误.

故选B.

2.【答案】A

【分析】将已知2:2〉<3-*-37按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，

然后逆用函数的单调性.

【解析】由2-v-2〉<3-x—37移项变形为2X-3T<2y-37

设，(x)=2-3一，

易知/(x)是定义在R上的增函一数，故由3-'<2'—3一>,可得x<y,所以

y-x>O=>y-x+l>l,从而ln(y-x+l)>0,故选A.

3.【答案】BD

(X-1)3-3y2(1-4+3]-6可变形为(％-以-3(%-1)^(1-y)3-3(1-y)

设/(%)=)3-3x(X€(-1,1)),则fr(x)=3x2-3<0,f(x)是奇函数且在%£(-1,1)单减

所以x-lWl-y,故0<x+y<2,排除A.

22

对于'由权方和不等式有▲1+4匕I+土2=9=，故B正确.

xyx+y2

319

对于C,当％=—,y=—时，x2+3xy=—>4,不成立.

222

对于。，(缶+1+J2y+1j=(2%+1)+⑵+1)+2状2%+1)⑵+1)

工(2%+1)+(2y+1)+[(2x+1)+(2y+1)]K12,所以J'2%+1+J2y+1W2^/^,故D正确.

4.【答案】(J,苧)

44

［提示】变形为cos56»-7cos3e<sin5。一7sin，0

5.【解析】原不等式可化为：［:一］+5.二—>9+5%

\x+lJx+1

构造函数/（九）=3+5无,贝！（无）=3/+5>0,/（幻在R上单增

2a

所以---->x,解之得x<-2或-1<无<1

X+1

所以原不等式解集是{%上<—2或-1<%<1}.

6.【答案】L-

_4_

【分析】本题的实质是含参数e（这里当然是sme、cose）的不等式恒成立问题，应抓住

已知条件Jsin。-Jcos。W^（sin3"cos*）的对称结构,构造函数，利用函数的单调性

布列不等式.

【解析】看至！J倔?万—cos3s想“对称结构”，将它变形为：

左sin，0—Jsin，>A:cos30—Jcos9,

3i

设/（x）=kx-4xff\x）=3kx——

易知当上e（-8,-2］时，f'（x）=3kx2一一1=<0,故/（尤）在［0,+oo）单减，

2^1x

sin0<cos。

所以Isinezo,解之得：oweW工

4

cos^>0

所以e的取值范围Jo,工.

_4_

7.【答案】2

［分析］将/2_/_4=卷_2。_44化为：/+2。=（2—。）2+22e设/⑺="+2"

则〃龙）在（0,2）上递增，由〃a）=〃2-b）,得a+b的值.

【解析】由。2—4=^—2"—4。，化简为：/+2。=22->+S—2）2,即

tz2+20=(2-&)2+22-\

设/(X)=Y+2，，则在(0,2)上递增,因为a,be(0,2),所以设6e(0,2),

且/(a)=/(2—b)，所以a=2—b,即a+〃=2.

8.【答案】4

9【答案】2

【解析】由题意知炉—3CZ2+5CI—3=-2,b3―3fe2+5£>—3=2,

设则/(。)=-2,f(b)=2.

因为/(尤)图象的对称中心为(1,0),所以a+b=2.

点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数/(无亚=加+加+cx+d其对称中

心为(尤o,/(xo)).其中r'(xo)=O.

10.【答案】[—1,2]

【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有(x+2)、x两个因式，将

不等式转化为“一边一个变量”的形式为：

X6-X4+X2<(x+2)3-(X+2)2+(X+2),构造函数/(X)=尤3-炉+X,题目

转化为求解/(x2)</(尤+2)的问题.因为/'(尤)=3/_2x+1,易知

/'(无)=-2尤+1>0恒成立，故/(%)为火上的单调增函数，所以由

/(x2)<于(x+2)立得：x2<x+2,解之得—1<x<2.

11.【答案】C

12.【答案】a>\[ab>b

…一.11,b11,,,11,,

【提不】——一7>ln—=>——一->lnb-lna=^—+lna>—+lnb

a'b'aa"b"a~b'

构造函数/(x)=±+lnx,单增.

13.【答案】(2,1

【解析】因为方程2，％一2口=-炉+1,所以变形为2'%+，+1)=2"+"，

令/(0=2'+r,则有f(x2+1)=f{ax),

因为/⑺=2,+f在R上单调递增，所以/(炉+1)=/(词即为/+1=办，

故当xed,3］时，三+1=办有两个不相等的实数根，

2

3'啜女6

2-2x1

«2-4>0

△>011，解得2$，

在了2+1一依二。中，则有＜即

----6/+1..02

.042

9-3ci+1..0

［八々..U'

所以实数。的取值范围为(2,3.

14.【答案】A

【解析】设/(x)=X2—21nx,g(x)=e、—x,则〃a)=g(l),/®=g⑵,〃c)=g(3),

又g<%)=e*—l