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文档简介
专题07一元二次方程根的分布问题
注意:本节专题提前涉及到第三章的部分简单概念
目录
解题知识必备.....................................
压轴题型讲练........................................................4
题型一、一元二次方程根的零分布.............................................4
题型二、一元二次方程根的k分布.............................................5
题型三、一元二次方程根在区间上的分布......................................6
压轴能力测评(9题)6
X解题知识必备2
一、二次函数相关知识
对于形如丁=办2+次+c(aw。)的二次函数,有以下性质:
—77+J/72—4/7「
1、判别式:A=b2-4ac;求根公式:x=";
2a
、、bc
2、韦达定理:玉+=---,XyX2=一;
aa
3、二次函数对称轴%=—--,定点坐标(——?——-一--).
2a2a4ac
二、一元二次方程的根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根,有一负根,
其实就是指这个一元二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧.
A=Z?2-4ac>0
b八
1、方程有两个不等正根和%O<Xj+々二-->0
a
xx=—>0
x2a
A=Z?2-4ac>0
b八
2、方程有两个不等负根石,看。<%+“2=-------<0
a
c
xx=—>0
{2a
3、方程有一正根和一负根,设两根为%,兀2O%1兀2=£<0
a
三、一元二次方程根的k分布
两根都小于左即两根都大于4即一根小于左,一大于女即
分布情况
xx<k,x2<kxx>k.x2>kx1<k<x2
yk1y八U/
k
\L
大致图象(4>0)TF7^
rrx
A>0A>0
上〉
得出的结论k/W<0
2a2a
J㈤〉0J⑻〉0
hu
大致图象(«<0)
TTrvTTr
A>0A>0
一上〉
得出的结论Lkk/W>o
2ala
f(%0/(左)<0
A>0A>0
综合结论
-2<k-2〉左
<<a-/(左)<0
(不讨论a)2ala
a"(左)>02-f(k)>0
四、一元二次方程根在区间的分布
根的分布图像限定条件
L
1A<0
mnx
01
A=0
xx=x2<m
或%=x>m
1/.\/2
0mnx
A>0
在区间内二b
•-----<m
2a
没有实根4f(m)>0
A>0
b
•----->n
la
/(«)>0
mn\x
rf(m)<0
\Fmn[fW<0
7(m)>0
[fW<o
o^
在区间(m,ri)内
有且只有一个实根y
JW>0
\y
A>0
b
在区间内m<-----<n
la
有两个不等实根\JA>0
♦♦压轴题型讲练♦♦
【题型一一元二次方程根的零分布】
一、多选题
1.(23-24高一上•山西太原•阶段练习)已知关于x的方程必+⑪+0+3=0,贝I().
A.当a=2时,方程有两个不相等的实数根
B.方程无实数根的一个充分条件是-2<。<4
C.方程有两个不相等的负根的充要条件是“>6
D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<-4
二、填空题
2.(23-24高一上•北京•期中)已知方程}2+(:"-2)X+%=0有两个不相等的正根,则实数机的取值范围
是.
三、解答题
3.(24-25高一上•上海•课堂例题)已知方程V+4mx-4-12:r=0.
(1)若关于机的方程总有实数解,求x的取值范围;
(2)求证:无论加取何实数,关于x的方程无2+4〃吠一4-12],=0必有互异实数根.
4.(23-24高一上•山东潍坊•阶段练习)关于龙的方程中2+x+l=0至少有一个负实根,求。的取值范围.
5.(23-24高一上•山东临沂•期末)已知关于x的不等式,2-2人-3卜?+(4+1)尤+1>0仅eR)的解集为M.
(1)若〃=R,求上的取值范围;
⑵若存在两个不相等负实数a,b,使得M=或x>6},求实数上的取值范围.
6.(23-24高一上•河南•阶段练习)已知士,々是一元二次方程(4K+1)1-(4左+l)x+1=0的两个不相等的实
数根.
(1)若两根同号,求实数上的取值范围;
(2)求使得*+学+4的值为整数的整数k的值.
【题型二一元二次方程根的k分布】
一、填空题
1.(23-24高一上•江苏连云港•阶段练习)已知方程元2-26+〃一4=0的一个实根小于2,另一个实根大于
2,求实数。的取值范围___________.
2.(23-24高一上.重庆・期末)关于x的一元二次方程尤2+(4-1卜+。-2=。有一个根小于-I,另一个根大
于1,则。的取值范围是.
3.(2023高一•全国•课后作业)关于工的方程/一〃尤+1=0的两根均大于1,则实数。的取值集合为.
二、解答题
4.(23-24高一上•江苏南京•阶段练习)已知命题pJxeR,尤2_^+140.
(1)若P为真命题,求实数。的取值范围;
⑵命题4:关于尤的一元二次方程幺+(。-1卜+。-2=0的一根小于0,另一根大于3,若P、4至少有一个
是真命题,求实数。的取值范围.
5.(22-23高一上•全国・单元测试)已知关于x的方彳2-2%+a=0.当。为何值时,
⑴方程的一个根大于1,另一个根小于1?
⑵方程的一个根大于一1且小于L另一个根大于2且小于3?
【题型三一元二次方程根在区间上的分布】
一、单选题
1.(22-23高一上・江苏扬州•阶段练习)已知一元二次方程/-小久+1=0的两根都在(0,2)内,则实数加的
取值范围是()
A.(2,|JB.2,|JC.(-8,-2]」2,tD.(一e,-2]u(2,|J
二、填空题
2.(23-24高一上・江苏南京•阶段练习)设机为实数,若二次函数》=/-彳+m在区间(-8,1)上有两个零点,
则机的取值范围是.
三、解答题
3.(23-24高一上•浙江宁波•阶段练习)已知函数/(XX/+ZS+ZK+H-L
(l)/(x)=0有两根X”尤2,且无1<。<无2,求实数。的取值范围;
(2)/(尤)=0有两根再,马,且-4<玉<Z<。,求实数。的取值范围.
4.(23-24高一上•天津南开•期中)已知函数/(了)=(4+1*-ax+a-l(aeR).
⑴不等式〃x)<0的解集为0,求。的取值范围;
⑵若函数的两个零点在区间(-U)内,求。的取值范围.
5.(2023高三・全国•专题练习)关于x的方程f+(w_3)x+〃?=0满足下列条件,求机的取值范围.
(1)有两个正根;
(2)一个根大于1,一个根小于1;
(3)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;
(4)一个根小于2,一个根大于4;
(5)两个根都在(0⑵内.
”压轴能力测评“
一、单选题
1.(2024高三,全国•专题练习)关于元的方程+(Q+2)X+9〃=0有两个不相等的实数根4/,且玉<1<xi,
那么。的取值范围是()
c2
B.ci>一
5
22
C.ci<—D.-----<Q<0
711
二、填空题
2.(22-23高一上•北京•期中)已知关于了的方程x2+2(a+2)x+/-l=0有一个正根和一个负根,则实数。的
取值范围为.
3.(23-
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