专题07 一元二次方程根的分布问题（3大压轴考法）原卷版-2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题07一元二次方程根的分布问题

注意：本节专题提前涉及到第三章的部分简单概念

目录

解题知识必备.....................................

压轴题型讲练........................................................4

题型一、一元二次方程根的零分布.............................................4

题型二、一元二次方程根的k分布.............................................5

题型三、一元二次方程根在区间上的分布......................................6

压轴能力测评（9题）6

X解题知识必备2

一、二次函数相关知识

对于形如丁=办2+次+c（aw。）的二次函数，有以下性质：

—77+J/72—4/7「

1、判别式：A=b2-4ac；求根公式：x="；

2a

、、bc

2、韦达定理：玉+=---，XyX2=一；

aa

3、二次函数对称轴%=—--,定点坐标（——?——-一--）.

2a2a4ac

二、一元二次方程的根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根，有一负根,

其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.

A=Z?2-4ac>0

b八

1、方程有两个不等正根和％O<Xj+々二-->0

a

xx=—>0

x2a

A=Z?2-4ac>0

b八

2、方程有两个不等负根石,看。<%+“2=-------<0

a

c

xx=—>0

{2a

3、方程有一正根和一负根，设两根为％,兀2O%1兀2=£<0

a

三、一元二次方程根的k分布

两根都小于左即两根都大于4即一根小于左，一大于女即

分布情况

xx<k,x2<kxx>k.x2>kx1<k<x2

yk1y八U/

k

\L

大致图象（4>0）TF7^

rrx

A>0A>0

上〉

得出的结论k/W<0

2a2a

J㈤〉0J⑻〉0

hu

大致图象（«<0）

TTrvTTr

A>0A>0

一上〉

得出的结论Lkk/W>o

2ala

f（%0/（左）<0

A>0A>0

综合结论

-2<k-2〉左

<<a-/（左）<0

（不讨论a）2ala

a"（左）>02-f（k）>0

四、一元二次方程根在区间的分布

根的分布图像限定条件

L

1A<0

mnx

01

A=0

xx=x2<m

或％=x>m

1/.\/2

0mnx

A>0

在区间内二b

•-----<m

2a

没有实根4f(m)>0

A>0

b

•----->n

la

/(«)>0

mn\x

rf(m)<0

\Fmn[fW<0

7(m)>0

[fW<o

o^

在区间（m,ri）内

有且只有一个实根y

JW>0

\y

A>0

b

在区间内m<-----<n

la

有两个不等实根\JA>0

♦♦压轴题型讲练♦♦

【题型一一元二次方程根的零分布】

一、多选题

1.（23-24高一上•山西太原•阶段练习）已知关于x的方程必+⑪+0+3=0,贝I（）.

A.当a=2时，方程有两个不相等的实数根

B.方程无实数根的一个充分条件是-2<。<4

C.方程有两个不相等的负根的充要条件是“>6

D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<-4

二、填空题

2.（23-24高一上•北京•期中）已知方程｝2+（："-2）X+%=0有两个不相等的正根，则实数机的取值范围

是.

三、解答题

3.（24-25高一上•上海•课堂例题）已知方程V+4mx-4-12:r=0.

（1）若关于机的方程总有实数解，求x的取值范围；

（2）求证：无论加取何实数，关于x的方程无2+4〃吠一4-12］，=0必有互异实数根.

4.（23-24高一上•山东潍坊•阶段练习）关于龙的方程中2+x+l=0至少有一个负实根，求。的取值范围.

5.（23-24高一上•山东临沂•期末）已知关于x的不等式,2-2人-3卜?+（4+1）尤+1>0仅eR）的解集为M.

（1）若〃=R,求上的取值范围；

⑵若存在两个不相等负实数a,b,使得M=或x>6},求实数上的取值范围.

6.（23-24高一上•河南•阶段练习）已知士,々是一元二次方程（4K+1）1-（4左+l）x+1=0的两个不相等的实

数根.

（1）若两根同号，求实数上的取值范围；

（2）求使得*+学+4的值为整数的整数k的值.

【题型二一元二次方程根的k分布】

一、填空题

1.（23-24高一上•江苏连云港•阶段练习）已知方程元2-26+〃一4=0的一个实根小于2,另一个实根大于

2,求实数。的取值范围___________.

2.（23-24高一上.重庆・期末）关于x的一元二次方程尤2+（4-1卜+。-2=。有一个根小于-I,另一个根大

于1,则。的取值范围是.

3.（2023高一•全国•课后作业）关于工的方程/一〃尤+1=0的两根均大于1,则实数。的取值集合为.

二、解答题

4.（23-24高一上•江苏南京•阶段练习）已知命题pJxeR,尤2_^+140.

（1）若P为真命题，求实数。的取值范围；

⑵命题4：关于尤的一元二次方程幺+（。-1卜+。-2=0的一根小于0,另一根大于3,若P、4至少有一个

是真命题，求实数。的取值范围.

5.（22-23高一上•全国・单元测试）已知关于x的方彳2-2%+a=0.当。为何值时，

⑴方程的一个根大于1,另一个根小于1?

⑵方程的一个根大于一1且小于L另一个根大于2且小于3?

【题型三一元二次方程根在区间上的分布】

一、单选题

1.(22-23高一上・江苏扬州•阶段练习)已知一元二次方程/-小久+1=0的两根都在(0,2)内，则实数加的

取值范围是()

A.(2,|JB.2,|JC.(-8,-2]」2,tD.(一e,-2]u(2,|J

二、填空题

2.(23-24高一上・江苏南京•阶段练习)设机为实数，若二次函数》=/-彳+m在区间(-8，1)上有两个零点，

则机的取值范围是.

三、解答题

3.(23-24高一上•浙江宁波•阶段练习)已知函数/(XX/+ZS+ZK+H-L

(l)/(x)=0有两根X”尤2，且无1＜。＜无2，求实数。的取值范围；

(2)/(尤)=0有两根再,马,且-4＜玉＜Z＜。，求实数。的取值范围.

4.(23-24高一上•天津南开•期中)已知函数/(了)=(4+1*-ax+a-l(aeR).

⑴不等式〃x)＜0的解集为0，求。的取值范围；

⑵若函数的两个零点在区间(-U)内，求。的取值范围.

5.(2023高三・全国•专题练习)关于x的方程f+(w_3)x+〃?=0满足下列条件，求机的取值范围.

(1)有两个正根；

(2)一个根大于1,一个根小于1；

(3)一个根在(-2,0)内，另一个根在(0,4)内；

(4)一个根小于2,一个根大于4；

(5)两个根都在(0⑵内.

”压轴能力测评“

一、单选题

1.(2024高三,全国•专题练习)关于元的方程+(Q+2)X+9〃=0有两个不相等的实数根4/，且玉＜1＜xi，

那么。的取值范围是()

c2

B.ci>一

5

22

C.ci<—D.-----<Q<0

711

二、填空题

2.（22-23高一上•北京•期中）已知关于了的方程x2+2（a+2）x+/-l=0有一个正根和一个负根，则实数。的

取值范围为.

3.（23-