新高考数学二轮复习：立体几何解答题全归类（练习）（原卷版）

专题15立体几何解答题全归类

目录

01非常规空间几何体为载体..........................................................2

题整02立体几何探索性问题..............................................................4

题整03立体几何折叠问题................................................................6

04立体几何作图问题................................................................8

05立体几何建系繁琐问题...........................................................11

06两角相等（构造全等）的立体几何问题.............................................13

07利用传统方法找几何关系建系.....................................................15

题瞿08空间中的点不好求...............................................................17

09创新定义........................................................................20

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woi非常规空间几何体为载体

1.(2023•四川南充•模拟预测)如图所示，在圆锥。。中，。为圆锥的顶点，。为底面圆圆心,AB是圆

。的直径，C为底面圆周上一点，四边形/ODE是矩形.

C

(1)若点尸是的中点，求证：。尸//平面/CE；

71

(2)若AB=2,ABAC=NACE=§,求直线CD与平面ABDE所成角的余弦值.

2.（2023•新高考H）如图，三棱锥4-8CZ）中，DA=DB=DC,BD1CD,NADB=NADC=E为

3c中点.

(1)证明

(2)点尸满足而^刀，求二面角D-48-尸的正弦值.

2/23

3.(2023•河南•高二深河高中校联考阶段练习)如图，四棱台NBCD-EFG//中，上、下底面均是正方形,

且侧面是全等的等腰梯形，EG=2AC=4,上、下底面中心的连线垂直于上、下底面，且7W与侧面

所成角的正切值为巫.

2

(1)求点/到平面"HG的距离；

(2)求二面角的余弦值.

4.(2023•天津和平•统考三模)如图，四棱台N3CD-4月GA中，上、下底面均是正方形，且侧面是全

等的等腰梯形，4B=24&=4,E,尸分别为DC,5C的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且

与侧棱所在直线所成的角为45。.

⑴求证：32〃平面。防；

(2)求点4到平面C.EF的距离；

(3)边8c上是否存在点使得直线4M与平面尸所成的角的正弦值为巨叵，若存在，求出线段3M的

22

长；若不存在，请说明理由

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・题型02立体几何探索性问题

5.（2023•新高考I）如图，在正四棱柱48CD-48]G2中，48=2,441=4.点4，与，C2,3分别

在棱AAt>BBX>CCt>DR上，AA2=1，BB。=DD2=2，CC。=3.

（1）证明：32c2〃4。2；

（2）点尸在棱3月上，当二面角尸-4。2-。2为150°时，求B7.

6.（2023•北京•高三北京八中校考期中）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体N3CDM,

四边形48CD与四边形NDM均为等腰梯形，其中£1尸〃AD=4,EF=BC=AB=2,ED=M，

M为ND中点，平面3C作与平面4DM交于ER再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使

得羡除/3CDE尸能够确定，然后解答下列各题：

（1）求证：〃平面CDE；

（2）求二面角8-ZE-尸的余弦值.

（3）在线段NE上是否存在点。，使得与平面/2E所成的角的正弦值为正，若存在，求出梨的值，若

7AE

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不存在，请说明理由.

条件①：平面CDE，平面/BCD；

条件②：平面ZDEB_L平面N2CD；

条件③：EC=2A/L

7.(2021•甲卷)己知直三棱柱48C-481G中，侧面44百8为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为/C

和CG的中点，。为棱4与上的点，BF1AtBt.

(1)证明：BF1DEi

(2)当为何值时，面8与GC与面。尸E所成的二面角的正弦值最小？

8.(2021•北京)如图，在正方体488,E为4口的中点，与。［交平面CDE交于点尸.

(I)求证：尸为用G的中点；

(H)若点M是棱4与上一点，且二面角乂-尸C-E的余弦值为如，求4丝的值.

3AXBX

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9.(2023•全国•高三专题练习)如图，正方形/£>£尸所在平面和等腰梯形/BCD所在平面相互垂直，已

知BC=4,AB=AD=2.

F,------------匪

(1)求证：AC1BF；

IPEI

(2)在线段上是否存在一点尸，使得平面尸平面5c所？若存在，求出白的值；若不存在，请说

明理由.

一题整03立体几何折叠问题

10.(2023•江苏苏州•高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习)已知图①中四边形/BCD是圆。的

内接四边形，沿8。将△/取>所在圆面翻折至如图②所示的位置，使得4C=CD.

C

图①

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(1)若/C8O=45。，证明：AB1OC；

(2)若反^丽二曲•丽，求二面角B-/C-。余弦值的最小值.

11.(2023•湖南•校联考模拟预测)如图，在梯形/BCD中,AD//BC,AD±AB,BC=2AD=a,AB=6,

AC与BD交于点M,将AABD沿BD翻折至工PBD,使点A到达点P的位置.

ADP

BCBC

(1)证明：BDLPC-,

(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为五，求三棱锥尸-8。的体积.

7

12.(2023啧州•高二校联考阶段练习)如图1,已知48FE是直角梯形，EF//AB,ZABF=90°,ZBAE=60°,

C、。分别为/£的中点，AB=5,EF=\,将直角梯形4BFE沿CD翻折使得二面角厂-OC-3的

大小为60。，如图2所示，设N为的中点.

当一\F

图1图2

(1)证明：FNLAD■,

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(2)若M为/£上一点，且察=2,则当几为何值时，直线与平面/£>£所成角的正弦值为文.

AE14

13.(2023•河南•校联考模拟预测)如图，在矩形ABCD中，点£在边CD上，且满足AD=DE=0CE=与,

将VNOE沿NE向上翻折，使点。到点尸的位置，构成四棱锥尸-/8CE.

(1)若点尸在线段NP上，且EF〃平面尸BC,试确定点尸的位置;

(2)若尸8=①，求锐二面角P-EC-/的大小.

一题型.04立体几何作图问题

14.(2023•贵州•校联考模拟预测)如图，已知平行六面体N3CD-481GA的底面是菱形,

兀3

CD=CCl=ACl=2fZDCB=~,且cos/GCO=cos/GC8=W.

(1)试在平面内过点C作直线/,使得直线///平面£助，说明作图方法，并证明：直线/〃4口；

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（2）求平面3CQ与平面4BQ所成锐二面角的余弦值.

15.（2023•重庆九龙坡•高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知四棱锥尸-48CD中，底面48CD为正

方形，。为其中心，点£为侧棱尸。的中点.

（1）作出过。、P两点且与/E平行的四棱锥截面（在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，并写出简要

作图过程）；记该截面与棱的交点为求出比值器（直接写出答案）；

MC

（2）若四棱锥的侧棱与底面边长均相等，求NE与平面P8C所成角的正弦值.

16.（2023•全国•高三专题练习）如图，已知底面为平行四边形的四棱锥尸-48CD中，平面MNG”与直

线尸3和直线/C平行，点E为尸。的中点，点尸在CD上，且DGFC=1:2.

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(1)求证：四边形MNG〃是平行四边形；

(2)求作过E尸作四棱锥尸-/BCD的截面，使尸B与截面平行(写出作图过程，不要求证明).截面的定义:

用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.

17.(2023•安徽马鞍山•统考三模)如图多面体4B8EF中，面E43,面4BC。，为等边三角形,

3

四边形/BCD为正方形，EFUBC,S.EF=-BC=3,H,G分别为CE,CD的中点.

(1)求二面角C-FH-G的余弦值；

4P

(2)作平面与平面/BCD的交线，记该交线与直线48交点为P,写出f■的值(不需要说明理由,

AB

保留作图痕迹).

18.(2023•北京•北京市H~一学校校考三模)四棱锥尸-48。中，底面48C。是边长为2的菱形，

/。93=与./(7。8。=0,且尸。1平面/8。。，，点尸,G分别是线段PA尸。上的中点，£在尸/上.

且尸4=3尸E.

(I)求证：BD//平面EFG；

(II)求直线48与平面EFG的成角的正弦值；

(III)请画出平面E/G与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.

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一题量05立体几何建系繁琐问题

19.(2023•浙江台州•高一统考期末)如图，平面NDE尸，平面48cD,四边形/DE尸为矩形，且加■为线

段E尸上的动点，ABHCD,ZABC=90°,AD=2DE,AB=2CD=2BC=2.

(1)当M为线段EF的中点时，

(i)求证：平面BDM；

(ii)求直线与平面M8c所成角的正弦值；

(2)记直线与平面所成角为a，平面AMD与平面MBC的夹角为。，是否存在点”使得e=尸？若

存在，求出尸N；若不存在，说明理由.

20.(2023•江苏南京•高一南京外国语学校校考阶段练习)如图，在梯形/BCD中，AB//CD,

AD=DC=CB=l,ZABC=60°,四边形ZC在'为矩形，平面NCFF_L平面48。，CF=\.

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F

E

D

a、B

(1)求证：BCmACFE,

(2)求二面角尸-C的平面角的余弦值;

(3)若点M在线段E尸上运动，设平面与平面尸C3所成二面角的平面角为0(0490。)，试求cos。的范围.

21.(2023•重庆•统考三模)如图，四面体/BCD的顶点都在以N3为直径的球面上，底面8C〃是边长为

V3的等边三角形，球心。到底面的距离为1.

(1)求球O的表面积；

(2)求二面角B-AC-D的余弦值.

22.(2023•浙江•高二校联考阶段练习)如图所示，在平行四边形/BCD中，AB=2BC=873.NDAB=三,

£为边48的中点，将V4DE沿直线OE翻折为,若尸为线段/'C的中点.在V4DE翻折过程中，

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A'

(1)求证：3尸〃平面MOE；

(2)若二面角A'-DE-C=60。,求HC与面A'ED所成角的正弦值.

7T

23.(2023•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)四面体D-N8C中=AC=2BC=2,

jr

ZBCD=ZACD=-,CD=a,CD<BC,E为/C中点.

4

(1)证明：CD1BE；

(2)若二面角E-2。的余弦值为亭，求。的值.

一题瞿06两角相等(构造全等)的立体几何问题

24.(2023•河南•统考模拟预测)如图，在三棱锥/-3C。中,“BC是等边三角形,/34D=NBCD=90。,点

P是4c的中点，连接BRDP.

(1)证明:平面/CD_L平面ADP;

(2)若BD二戈，且二面角4-8。-C为120。,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.

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25.（2023•广东广州•统考一模）如图，在三棱锥"-BCD中，是等边三角形，NBAD=NBCD=90。,

点尸是/C的中点，连接AP,DP

⑴证明：平面/CD_L平面8DP；

⑵若cos/BPD=-*,求三棱锥/-BCD的体积.

26.（2023•福建龙岩•统考一模）如图，在三棱锥。-48C中，AABC为等边三角形,NDAC=NDAB,NBCD

面积是AA8C面积的两倍，点M在侧棱4D上.

（1）若3W_L4D,证明：平面/CD_L平面BCA/；

__27r

（2）若二面角。-5C-4的大小为行■,且"为4。的中点，求直线攻与平面力CD所成角的正弦值.

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27.（2023•浙江宁波•高三统考期末）如图所示，四面体48C。中，AA8C是正三角形，A4co是直角三

角形，。是ZC的中点，且NABD=NCBD,4B=BD.

（2）过NC的平面交于点E,若平面NEC把四面体4BCD分成体积相等的两部分，求二面角。-4E-C

的余弦值.

W07利用传统方法找几何关系建系

28.（2023•江苏徐州•高三统考期中）如图，在三棱锥尸-/3C中，侧面尸NB是锐角三角形，PA1BC,

平面平面

(1)求证：AB1BC-,

（2）设以=尸8=2,/C=4,点。在棱（异于端点）上，当三棱锥P-ABC体积最大时，若二面角C-PA-D

大于30。，求线段长的取值范围.

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29.(2023•江苏常州•高三统考期中)己知三棱柱/3C-481G，AB=AC=2,

AA,=3,ZA.AB=AAXAC=ABAC=60°,为线段/。净4上的点，且满足缪=黑=X。＜，＜D.

⑴求证：〃平面NBC；

(2)求证：BBJBC；

(3)设平面A/M4n平面48C=/,已知二面角M-/-C的正弦值为辛，求f的值.

30.(2023•浙江•高三校联考阶段练习)在正三棱台/3C-4耳G中，侧棱长为1,且BC=2B1cl=2,E为

4G的中点，。为“4上的点，且。£，切席

(1)证明：DE2平面BCCM，并求出的长;

(2)求平面BDE与平面ABC夹角的余弦值.

31.(2023•湖南永州•统考一模)如图所示，在四棱锥尸-48CD中，底面/BCD为矩形，侧面尸40为正

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三角形，且4。=248=4,M、N分别为尸。、BC的中点，”在线段尸C上，S.PC=3PH.

⑴求证：AGV//平面尸48；

(2)当尸C时，求平面与平面的夹角的余弦值.

题亶08空间中的点不好求

32.(2023•云南临沧•高二校考期中)己知四棱锥尸-A8C。，底面ABC。为菱形，PD=PB,H为PC上

的点，过/〃的平面分别交尸8/。于点且助〃平面

(1)证明：MNLPC-,

(2)当a为尸C的中点，P4=PC=//反PZ与平面/BCD所成的角为60。，求平面尸与平面4W所成的

锐二面角的余弦值.

33.(2023•浙江•高三浙江省新昌中学校联考期中)如图，在四棱台池8-48。12中，底面/BCD是

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IT

边长为2的菱形，NDAB=,平面灰平面/BCD,点Q,O分别为耳3。的中点,

O.B=\,ZAXAB,ZOXBO均为锐角

⑴求证：AC±BBX-

（2）若异面直线。。与441所成角正弦值为叵，四棱锥4-/BCD的体积为1,求二面角8-N4-C的平面

7

角的余弦值.

34.（2023•广东•高三茂名市第一中学校联考阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面N3CZ）是

矩形，AB=2,PA=PB=BC=A，PD=PC=&

BC

（1）求证：平面P48_L平面尸CD；

（2）求直线尸N与平面P3C所成角的正弦值.

35.（2023•湖北•高三黄冈中学校联考阶段练习）如图，在几何体/3CDE中，底面为以/C为斜边的

等腰直角三角形.已知平面48cl平面4c。，平面45cl平面〃平面48C,/。_L.

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D

(1)证明：DE工平面/CD；

(2)若ZC=2CD=2,设“为棱BE的中点，求当几何体/8CDE的体积取最大值时与CD所成角的正切

值.

36.(2023•全国•模拟预测)如图，已知四边形/BCD为正方形，。为正方形对角线的交点，平面/团立乂口

平面MNDC=MN,MB=MC=45,AB=MN=2.

⑴求证：平面MV。_L平面；

(2)求平面AMC和平面/ND所成角的余弦值的最小值.

37.(2023•重庆•高三重庆八中校考阶段练习)如图甲是由梯形/BCD,48跖组成的一个平面图形，其

中AB"DC,AD=BC,DE1AB,DC=AE=EF=1,BF=DE.如图乙，将其沿DE,£5折起使得E4

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与E尸重合，连接尸C,直线即与平面BE户所成角为60。.

(1)证明：EF工BF；

(2)求图乙中二面角E-BF-C的正弦值.

一题整09创新定义

38.(2023•安徽合肥•合肥一六八中学校考模拟预测)已知顶点为S的圆锥面(以下简称圆锥S)与不经

过顶点S的平面a相交，记交线为C,圆锥S的轴线/与平面a所成角6是圆锥S顶角(圆S轴截面上两条母

线所成角6的一半，为探究曲线。的形状，我们构建球7,使球T与圆锥S和平面a都相切，记球T与平面a

的切点为尸，直线/与平面a交点为/,直线N厂与圆锥S交点为。，圆锥S的母线OS与球7的切点为

\OM\=a,\MS\=b.

(1)求证：平面S04_L平面a,并指出a,b,。关系式;

(2)求证：曲线C是抛物线.

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39.（2023•辽宁沈阳•东北育才学校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构

是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥J-CDE,K-EFA,再分别以/C,CE,以为轴将

KEJ,AE/K分别向上翻转180。，使H,J,K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如

图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率

之和，而每一顶点的曲率规定等于2兀减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面