2025年高考数学专项复习训练：函数与方程【八大题型】原卷版+解析版

专题2.7函数与方程【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1函数零点所在区间的判断】...............................................................2

【题型2求函数的零点或零点个数1................................................................3

【题型3根据函数零点个数求参数】................................................................3

【题型4根据函数零点的范围求参数】.............................................................4

【题型5由函数零点分布求值(范围)】...........................................................4

【题型6复合函数的零点个数判定】...............................................................4

【题型7根据复合函数零点求参数】................................................................5

【题型8函数零点的大小与范围问题1.............................................................5

►考情分析

1、函数与方程

考点要求真题统计考情分析

函数的零点问题是高考常考的热点

(1)理解函数的零点与方2022年天津卷：第15题，5内容，从近几年的高考形势来看，一般

程的解的联系分以选择题与填空题的形式出现；函数与

⑵理解函数零点存在定2023年新课标I卷：第15题，方程的综合应用也是历年高考的一个热

理，并能简单应用5分点内容，经常以客观题出现，通过分析

⑶了解用二分法求方程2024年新课标H卷：第6题，函数的性质，结合函数图象研究函数的

的近似解5分零点或方程的根的分布、个数等，题目

难度较大，一般出现在压轴题位置.

►知识梳理

【知识点1确定函数零点所在区间的方法】

1.确定函数收)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数夕比尤)在区间口力］上的图象是否连续，再看是否有人a)«^)<0.

若有，则函数y=/(x)在区间(。,6)内必有零点.

(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如人x尸

g(x)-/?(x),作出y=g(x)和尸〃(x)的图象，其交点的横坐标即为函数段)的零点.

【知识点2函数的零点个数和求参问题】

1.函数零点个数的判断方法

函数零点个数的判定有下列几种方法：

（1）直接法：直接求零点，令｛x）=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

（2）零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在［应句上是连续不断的曲线，且八0）负6）＜0,还必须结合函

数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点.

（3）图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个

不同的零点.

（4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期

函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.

2.已知函数零点求参数的方法

（1）已知函数的零点求参数的一般方法

①直接法：直接求方程的根，构建方程（不等式）求参数；

②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两

个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；

③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.

（2）已知函数零点个数求参数范围的方法

已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确

画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

【知识点3嵌套函数的零点问题】

1.嵌套函数的零点问题的解题策略

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解

套”，设中间函数为普通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

►举一反三

【题型1函数零点所在区间的判断】

【例1】（2024•河北•模拟预测）已知函数/（x）=3，+x-6有一个零点工=祀，则均属于下列哪个区间（）

A.(|,1)B-(唱)C.（1，2）D.(2,|)

【变式1-1］（2024•海南•模拟预测）函数/（久）=2'-1+式一3的零点所在的区间是（）

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【变式1-2］（2024•吉林长春•一模）方程log3X+x=2的根所在区间是

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【变式1-3］（2024•全国•模拟预测）设函数/久）=久一a|,aeR,则()

A.若/'（x）在区间(-2,-1)和(-1,0)都有零点，则在区间（0,1）也有零点

B.若/（x）在区间(-2,-1)和(-1,0)都有零点，则在区间（0,1）没有零点

C.若/'（久）在区间(-2,-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间（0,I）有零点

D.若f（x）在区间(-2,-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间（0,1）也没有零点

【题型2求函数的零点或零点个数】

【例2】（2024•江苏•一模）函数/（久）=sin（2久+（）在区间（0,2n）内的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式2-1］（2024・湖南岳阳・模拟预测）函数丫=（>一2）（2，+1）的零点是（）

A.2B.（2,0）C.-2D.2或-1

【变式2-2］（2024•内蒙古・三模）已知奇函数久久）的定义域为R/（x+3）=-f（-x）,且/（2）=0,则/（久）

在［0,6］上的零点个数的最小值为（）

A.7B.9C.10D.12

【变式2-3］（2024・四川自贡•一模）定义在R上的奇函数f（x）满足/（1+切=/（1一幻，且当［0,1］时，/（%）

1n1

=尹叼》,则函数g（%）=/（%）-0在上所有零点的和为（）

A.16B.32C.36D.48

【题型3根据函数零点个数求参数】

【例3】（2024・四川内江•三模）若函数/（%）=野V有两个零点，则实数6的取值范围为（）

A.(0,e)B.(e,+8)C.(0,2e)D.(2e,+8)

【变式3-1］（2024•陕西安康•模拟预测）已知函数f（x）=l-2sin2（3x+j（3>0）在（of上有且仅有两个

零点，则3的取值范围是（）

飞片

A.町）BD.PT1

xlnx%>0

【变式3-2］（2024•河北衡水•模拟预测）-1A=o,若关于X的方程/(x)=axT有

{xln(—X)—2,%<0.

5个不同的实数根，则Q的取值范围是（）

A.(1,+8)B.(2,+8)C.(l,e)D.(2,2e)

【变式3-3］（2024•陕西汉中•二模）已知函数/（%）=偿叫"。，若函数9（%）=/（%）-根%有4个零点,

I41n2%,%>0

则馆的取值范围为（）

A.之B.{m\m>eln22}

C.^m|eln22<m<||D.^m\m=eln22或m

【题型4根据函数零点的范围求参数】

【例4】（2024・四川成都・三模）若函数/（久）=9-质2大于0的零点有且只有一个，则实数k的值为.

【变式4-1]（2024•全国•模拟预测）函数/（x）=Q+2）ln（x+l）—ax只有3个零点打，%2,%3

（久1<久2（久3<3），则a+久2的取值范围是.

【变式4-2]（2024•陕西西安•二模）己知函数/（X）=3COS（3X+S）（3>0）,若/（一力=3,府）=。，且

/Q）在区间（—以―力上没有零点，则3的一个取值为.

【变式4-3]（2024・天津•二模）设aeR,函数/（x）={\l^7T+alf<a.若f（久）在区间

2z

lx-2（a+l）x+2a-a+lfx>a

[0,+8）内恰有2个零点，贝Ija的取值范围是.

【题型5由函数零点分布求值（范围）】

【例5】（2024•全国•模拟预测）已知函数/（%）=%+?-2,%€（0,+8）有两个零点，则实数m的取值范围是

()

A.（—8,0]B.（—8,1]C.[—1,+8）D.（0,1）

【变式5-1]（2024•上海松江•二模）已知某个三角形的三边长为a、b及c,其中a<b.若a,b是函数y=a/

一b%+c的两个零点，贝的取值范围是（）

A.（1,1）B,&等）

C.（0,年）D.（三,1）

【变式5-2]（2023•云南•二模）设%L%2是关于1的方程无之+（a—1）%+a+2=0的根.若—1<%i<1,1<x2

<2,则实数。的取值范围是（）

A.（一々,一1）B.C.（-2,1）D.（-2,-1）

【变式5-3】（2023•全国•模拟预测）已知函数人久）=[25:疝久;°八有且仅有3个零点a£y,若

（axz+2ax+3,x<0

a<p<y,贝1j（）

A.lna£=yB.\na（]=y-1C.lna/3<y—1D.Ina/?>y

【题型6复合函数的零点个数判定】

1

【例6】（2024•浙江金华•三模）若函数/（久）=%+而，则方程/[/（%）]=3的实数根个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式6-1】（2。24・福建漳州•模拟预测）已知函数/⑺贝雇数必—）的

零点个数为()

A.3B.5C.6D.8

【变式6-2】(2024•陕西咸阳•模拟预测)已知函数fO)={]/%；，1)：久；°0,则函数g(x)=/(〃>))-1的零

点个数是()

A.1B.0C.2D.3

【变式6-3](2024•全国•二模)已知函数十(久)={而(e为自然对数的底数)，则函数F(x)=/[/(%)]

(久)一1的零点个数为()

A.3B.5C.7D.9

【题型7根据复合函数零点求参数】

'—x2,x<0

【例7】(2024•西藏林芝•模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,7(%)=-2;若函数

>2

(%)-血%有三个零点，则实数m的取值范围为.

【变式7-11(2024•全国•模拟预测)已知函数f(x)={久2咬；?葭士1，若方程2,(创2-缶+2)"(x)+a=0

有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是.

1%—11—1x〈2

{2，若函数SO)=久•fO)—a的零

点个数为2,则a的范围为.

(2久x<0

【变式7・3】(2024•河南新乡•二模)已知函数/(%)=，弛M%>jg(%)=/+2%-44,AG/?,若关于％的方

程/(9(久))=4有6个解，贝U的取值范围为.

【题型8函数零点的大小与范围问题】

[例8](2024•全国•模拟预测)已知函数〃>)=aex-x(aeR)有两个零点.

(1)求实数“的取值范围；

(2)设/'(%)的两个零点分别为%1血，证明：Xi+x2>2；

222

(3)证明：-++2n+1<ln(n+l),nGN*.

【变式8-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=(X2—x+l)ex-1—^(2%3+3x2+1).

(1)当a=2时，求曲线y=/(%)在点(1/(1))处的切线方程.

(2)设函数g(%)=/(%)-%2眇-1+，%3,若g(%)有两个零点，求实数a的取值范围.

【变式8-2](2024•河北邯郸•三模)已知函数/(%)=%(眇一以2),aER.

(1)求曲线y=/(%)在点(0/(0))处的切线方程.

(2)已知关于%的方程/(%)=a%2一砂恰有4个不同的实数根汽其中％1>0，X2>0.

(i)求。的取值范围；

(ii)求证：%i+%2>4.

【变式8-3](2024・浙江•二模)已知函数/(%)=%2一。%出I-1,aER.

(1)求证：/(x)+=0；

(2)若函数/(%)有三个不同的零点％1，%2，%3(%1V%2<%3).

(i)求a的取值范围；

(ii)求证：%i+%3>2a-2.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•山东青岛•二模)函数/(%)=谟-a(a>0,a。1)的零点为()

A.0B.1C.（1,0）D.a

2.（2024・陕西安康•模拟预测）函数f（%）=ln%+久2-2的零点所在区间是（）

A.（0,学B.（唱,1）C.（1,V2）D.（V2,2）

3.（2024•甘肃张掖•模拟预测）函数f（久）=/（>；-l）—x-1的所有零点之和为（）

A.0B.-1C.V3D.2

4.（2024・浙江绍兴•三模）已知函数f（2%+1）为偶函数，若函数9（久）=/（久）+21官+2，-1-5的零点个数

为奇数个，则-1）=（）

A.1B.2C.3D.0

5.（2024•陕西西安•模拟预测）若函数/（X）=/-3x+a在区间（0,2）内有两个零点，则实数a的取值范围是

（）

A.(0,2)B.(2,+oo)C.(0,1)D.(1,+oo)

6.(2024•广东湛江•二模)已知函数f(久)=|2'—l|—a,g(x)=x2-4\x\+2-a,则()

A.当g（x）有2个零点时，/（X）只有1个零点

B.当以久）有3个零点时，/（久）有2个零点

C.当f（x）有2个零点时，以久）有2个零点

D.当/（%）有2个零点时，g（x）有4个零点

7.（2024•四川绵阳•模拟预测）已知函数/（切=｛篇;梵，9（%）=尤一3,方程f（gQ））=-3-g@）有两个不

同的根，分别是则+%2=（）

A.0B.3C.6D.9

8.（2024•安徽合肥•三模）设a6R,函数/（无）=]?：；匕好竦，若函数y="⑼恰有5个零点，则实

数a的取值范围为（）

A.（—2,2）B.（0,2）C.[—1,0）D.（—8,—2）

二、多选题

9.（2024•辽宁・一模）已知函数f（x）=2cos（3x+g+2（3>0）在区间[―上单调递减，且在区间[0,记

上有且仅有一个零点，则3的值可以为（）

51113

-C---

A.612D.12

10.（2024•河北•模拟预测）已知函数/（%）=e%+2%-2,g（%）=21n%+%-2的零点分别为％i,%2，贝I（）

A.2巧+冷=2B.巧％2=e^i+ln%2

4

C.%1+%2>3D.2xrx2<Ve

11.(2024•江西宜春•模拟预测)已知函数/(久)=2-log/，°<"W2,g(x)=f(x)—a,贝。()

—/+8x—ll,x>2,

A.若g(%)有2个不同的零点，贝！J2<a<5

B.当@=2时，有5个不同的零点

C.若9(%)有4个不同的零点久1，%2，、3，%4(%1V%2<%3<%4)，则％1%2%3%4的取值范围是(12,13)

D.若9(%)有4个不同的零点％1，久2，%3，%4(%1<%2V%3<%4)，贝久2+可上的取值范围是(6,9)

三、填空题

12.(2023•辽宁葫芦岛•一模)请估计函数/(久)=9-Iog2%零点所在的一个区间.

13.(2024・天津北辰•三模)若函数/(吗=可2%-3|-3(1-/(久—3)2有四个零点，则实数a的取值范围为

14.(2024•河北秦皇岛•三模)已知奇函数/(久)的定义域为R,7(%+3)=-/(-%),且f(2)=0,则f(x)在[0,6]

上的零点个数的最小值为.

四、解答题

15.(2024•四川泸州•三模)已知函数/(%)=a%e"-1(a>0),

(1)讨论函数/(%)的零点个数；

(2)若|/(%)|+恒成立，求函数/(%)的零点%o的取值范围.

16.(2024•全国•模拟预测)已知函数f(%)=(%-l)2e久一a%,且曲线y=/(%)在点(0/(%))处的切线方程为

y=—2%+b.

(1)求实数a,力的值；

(2)证明：函数/(%)有两个零点.

17.(2024•河南信阳•模拟预测)设函数/(%)=(%-1声-1+|7.

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)若aN-e,讨论函数/(%)的零点的个数.

18.(2024•湖北黄石•三模)已知函数/(%)=%-ln%+?n有两个零点％1，%2.

(1)求实数血的取值范围；

(2)如果为1V%242X1，求此时771的取值范围.

19.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=%展-a(%>0),且/(%)有两个相异零点%i,%2.

⑴求实数Q的取值范围.

(2)证明：+%2>

专题2.7函数与方程【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1函数零点所在区间的判断】...............................................................2

【题型2求函数的零点或零点个数1................................................................4

【题型3根据函数零点个数求参数】................................................................6

【题型4根据函数零点的范围求参数】.............................................................9

【题型5由函数零点分布求值(范围)】..........................................................12

【题型6复合函数的零点个数判定】...............................................................14

【题型7根据复合函数零点求参数】...............................................................18

【题型8函数零点的大小与范围问题1............................................................21

►考情分析

1、函数与方程

考点要求真题统计考情分析

函数的零点问题是高考常考的热点

(1)理解函数的零点与方2022年天津卷：第15题，5内容，从近几年的高考形势来看，一般

程的解的联系分以选择题与填空题的形式出现；函数与

⑵理解函数零点存在定2023年新课标I卷：第15题，方程的综合应用也是历年高考的一个热

理，并能简单应用5分点内容，经常以客观题出现，通过分析

⑶了解用二分法求方程2024年新课标H卷：第6题，函数的性质，结合函数图象研究函数的

的近似解5分零点或方程的根的分布、个数等，题目

难度较大，一般出现在压轴题位置.

►知识梳理

【知识点1确定函数零点所在区间的方法】

1.确定函数收)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数夕比尤)在区间口力］上的图象是否连续，再看是否有人a)«^)<0.

若有，则函数y=/(x)在区间(。,6)内必有零点.

(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如人x尸

g(x)-/?(x),作出y=g(x)和尸〃(x)的图象，其交点的横坐标即为函数段)的零点.

【知识点2函数的零点个数和求参问题】

1.函数零点个数的判断方法

函数零点个数的判定有下列几种方法：

(1)直接法：直接求零点，令｛x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[应句上是连续不断的曲线，且八0)负6)<0,还必须结合函

数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.

(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个

不同的零点.

(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期

函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.

2.已知函数零点求参数的方法

(1)已知函数的零点求参数的一般方法

①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；

②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两

个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；

③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.

(2)已知函数零点个数求参数范围的方法

已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确

画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

【知识点3嵌套函数的零点问题】

1.嵌套函数的零点问题的解题策略

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解

套”，设中间函数为普通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

►举一反三

【题型1函数零点所在区间的判断】

【例1】(2024•河北•模拟预测)已知函数/(x)=3，+x-6有一个零点x=祀，则均属于下列哪个区间()

A.31)B.(1,|)C.(|,2)D,(2,|)

【解题思路】利用零点存在性定理计算即可.

【解答过程】由题知/在R上单调递增，

=73-5.5<0,/⑴=-2<0,/(|)-31-4.5,

又33—4.52>0,.•./(1)>0,即在(1,|)上存在xo使得/(比)=。.

故选：B.

【变式1-1](2024•海南•模拟预测)函数f(X)=2xT+x—3的零点所在的区间是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【解题思路】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可.

【解答过程】易知函数/CO=2>1+x-3在R上单调递增，

又f(l)=1+1-3<0,f(2)=2+2-3>0,

由函数的零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在的一个区间是(1,2).

故选：C.

【变式1-2](2024•吉林长春•一模)方程log3x+x=2的根所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【解题思路】将问题转化为/(x)=10g3X+久-2零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求解即可.

【解答过程】设f(X)=10g3X+X-2,则方程10g3X+X=2根所在区间即为f(x)零点所在区间，

y=Iog3X与y=x-2在(0,+8)上均为增函数，:/■(%)在(0,+8)上单调递增；

对于A,/(I)=loggl+1—2=-1,二当x€(0,l)时，f(x)<—1,A错误；

对于B,•••/(1)=-1<0,/(2)=10g32+2-2=log32>0,即/⑴f(2)<0,

•••3%oe(1,2),使得7(孙)=0,B正确；

对于CD,当久>2时，f(x)>f(2)>0,.,./(>)在区间(2,3)和(3,4)上无零点，C错误，D错误.

故选：B.

【变式1-3](2024•全国•模拟预测)设函数/(久)=eX-|%-a|,aeR,则(

A.若/(x)在区间(-2,-1)和(-1,0)都有零点，则在区间(0,1)也有零点

B.若/(%)在区间(-2,-1)和(-1,0)都有零点，则在区间(0,1)没有零点

C.若/'(x)在区间(-2,-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间(0,I)有零点

D.若/(X)在区间(-2,-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间(0,1)也没有零点

【解题思路】函数分段去绝对值，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理判断零点所在区间.

【解答过程】去绝对值可得f(x)=傕匕二黑f.

xWa时,f'(x)=ex+1>0,因此函数在(-8,a]单调递增;

%>a时，/z(x)=ex-l.

(i)ae[0,+8)时，/0)>0,因此尸(x)在(a,+8)单调递增.

当1<a<e+1时,/(0)=1-a<0,/(l)=e+l-a>0,因此在区间(0,1)有零点，且在区间(一2,-1)和(—1,0)

都没有零点；

当a>e+l时，/(1)<0,故在区间(—2,—1),(—1,0)和(0,1)都没有零点，故C选项和D选项均错误.

(ii)ae(-8,0)时，令尸(%)=0得与=0,因此函数在区间(a,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.

f(0)=1+d,f(a)=e。>0,f(—1)=—|a+1(—2)=e——|a+21

当aG[—1,0)时，/(0)>0/(-1)=eT-(a+1)/(—2)=e-2-(a+2).

(1)ae(eT-l,O)时,f(x)在区间(-1口)存在唯一零点,而在区间(一2,-1)没有零点.

(2)ae［―l,eT-l)时，f(x)在区间(-1,0)没有零点.

当aG［―2,—1)时，/(0)<0/(-1)=e-1+(a+1),/(-2)=e-2-(a+2)/(1)=e-1+a.

①ae(-l—e-L-l)时，/(-2)/(-l)<0,/(-l)/(0)<0,因此在区间(一2,-1)和(-1,0)都有零点，此时f(0)

/(1)>0,故在区间(0,1)也有零点.

②ae(-8,-1-e-i］时，f(x)在区间(—1,0)没有零点.

综上所述，本题正确答案是A.

故选：A.

【题型2求函数的零点或零点个数】

【例2】(2024・江苏•一模)函数/(%)=sin(2%+］在区间(0,2①内的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】利用三角函数的性质求解即可.

【解答过程】令/(%)=sin(2%+勺=0,得2久+方=而，则久=一方+冬kEZ；

故k=l,x=gk=2,x=fn,k=3,x==4,x=

所以f(x)在(0,2ir)共有4个零点，

故选：C.

【变式2-1］(2024・湖南岳阳•模拟预测)函数y=(x—2)(2，+1)的零点是()

A.2B.(2,0)C.-2D.2或-1

【解题思路】由题意令y=0可得关于％的方程，进而求解.

【解答过程】由题意令y=(x—2)(2、+1)=0,因为2，+1>1>0,所以x—2=0,即x=2.

故选：A.

【变式2-2］(2024•内蒙古・三模)已知奇函数久久)的定义域为R,f(x+3)=-/(-吗，且/(2)=0,则/(久)

在［0,6］上的零点个数的最小值为()

A.7B.9C.10D.12

【解题思路】由已知可得f(x)的图象关于点(|,0)对称，周期为3,据此计算可得了(%)在［0,6］上的零点个数的

最小值为9.

【解答过程】由f(x+3)=-f(-x),可得f(x)的图象关于点(|,0)对称，

又f(x)是奇函数，所以/'(%+3)=-f(-x)=f(x),则f(x)的周期为3,

所以f(0)=f⑶=f(6)=0/(2)=f(5)=f(一2)=f⑴=f(4)=0/(1.5)=-f(1.5),

则f(1.5)=/(4.5)=。.故/(x)在［0,6］上的零点个数的最小值为9.

W(x)=sin^(l+2cos^),显然满足题意，且恰好在［0,6］上有9个零点.

故选：B.

【变式2-3］(2024•四川自贡•一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(l+x)=f(lr),且当时,/(%)

=|sin^x,则函数g(x)=/(x)-去在［-2,10］上所有零点的和为()

A.16B.32C.36D.48

【解题思路】

先判断外吗的对称性、周期性，然后由g(x)=o进行转化，结合图象以及对称性求得正确答案.

【解答过程】依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，图象关于原点对称，

由于/'(1+%)=f(l-x),所以f(x)的图象关于X=1对称，

/(x+4)=/(I+%+3)=/(I—(x+3))=/(—2—x)

=-f(x+2)=-/(I+1+X)=-y(l-(l+X))=-/(-x)=/(x)>

所以/(w是周期为4的周期函数.

令g(x)=f(久)一2=o,得/'0)=3，

函数y=2的图象关于(%。)对称，y=/(x)的图象也关于点(4,0)对称，

画出函数y=f(x)和丫=上的图象如下图所示，

由图可知，两个函数图象有4个交点，且交点关于(4,0)对称，

所以g(W所有零点和为8X2=16.

【题型3根据函数零点个数求参数】

【例3】(2024•四川内江•三模)若函数/(*)=野—5有两个零点，则实数小的取值范围为()

A.(0,e)B.(e,+8)C.(0,2e)D.(2e,+8)

【解题思路】将函数/(%)=等有两个零点，转化为函数y=野,y=5的图象有两个不同交点问题；由此设

初乃=竽久>0,利用导数判断其单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案.

【解答过程】由题意知函数/(%)=等-有两个零点，即9-5=0有两个不等实数根，

即函数y=笥,y=5的图象有两个不同交点；

设h(x)=竽，尤>0,则"(X)=弓5(%>0)，

当0<%<e时,"(%)>0,九(%)在(0,e)上单调递增；

当久>e时，"(%)<0,九(%)在(e,+8)上单调递减;

当OVxVl时，ft(x)<0,当汽>1时，/i(x)>0,

作出九(%)的图象如图：

一

刃7ex

口(x)

当直线y=5与八0)图象相切时，设切点为(阳),詈)，

此时工=1：；久°=五_2,贝ijln久°=J阳)=正，

mxz

oxo-o

故此时在个日，

结合图象可知，要使函数y==2的图象有两个不同交点，

需满足o4<%m>2e,

故mG(2e,+oo),

故选：D.

【变式3-1](2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(%)=-2sin2(3x+》(3>0)在(0?)上有且仅有两个

零点，则3的取值范围是()

A・。同B.6同C.。用D.良制

【解题思路】利用降暴公式降幕，结合余弦函数的图象特征，可得关于3的不等式，即可求得实数3得取值

范围.

【解答过程】函数/'(%)=l-2sin2(3x+务=cos(23x+5(3>0),

由得23X+-CG，TT3+m),

要使函数f(x)=l-2sin2(wx+^)((o>0)在(04)上有且仅有两个零点，

则兀3+1偿涔)，得注3<寸,

故选：C.

xlnx%>0

-1A=0/若关于久的方程/(%)=ax-lW

{xln(—%)—2,x<0.

5个不同的实数根，贝心的取值范围是()

A.(1,+8)B.(2,+8)C.(l,e)D.(2,2e)

(X\YIX+L%>0,

【解题思路】直线y=a%与函数叔%)=/(%)+1=10,%=0,的图象有5个交点，可得力(%)是奇函数,

lxln(—%)—1,%<0

可得只需直线y=ax与曲线丫=汨11%+10>0)有2个交点即可，即方程a=lnx+§有2个实数根，利用导

数即可求解.

X\Y\X+1,%>0,

0,%=0,'的图象有5

{%ln(—%)—l,x<0

个交点.

显然，直线y=a%与h(%)的图象交于点(0,0).

又当%>0时，一%<0,/i(—x)=—xlnx-1=—/i(x)；

当％<0时，—%>%)=—xln(—%)+1=—/i(x)；

当％=0时,/i(x)=0,所以九(%)是奇函数，

则必须且只需直线y=ax与曲线y=xlnx+l(x>0)有2个交点即可，

所以方程a=Inx+§有2个实数根.令t(x)=Inx+1,则〃(%)=

当0<x<l时，t，(x)<O,t(x)单调递减；

当x>1时，r(x)>O,t(x)单调递增，

所以t(x)>t(l)=1.

11-1-1

又当久趋近于0时，t(x)=Inx+-=~^nx==+8,所以+oo；

当%趋近于+8时，In久-»+8,(70=>力(％)=Inx+1->+oo,

所以必须且只需a>1.

故选：A.

【变式3-3](2024•陕西汉中•二模)已知函数/(%)=，若函数0(%)=/(%)-6%有4个零点,

I41n2%,%>0

则m的取值范围为()

A.^m|m]B.{m\m>eln22)

C.^m|eln22<jD.{加租=el/Z或m=!|}

【解题思路】由题意可知：函数g(%)的零点个数即为y=/(%)与y=mx的交点个数，利用导数求过原点的切

线，结合图象分析求解.

【解答过程】作出/(久)的图象，如图所示

令19(%)=f(x)-mx=0,可得/(久)=mx,

由题意可知：函数g(%)的零点个数即为y=f(%)与y=瓶%的交点个数,

若%>0,则/(%)=41n2x,可得>(%)=等，

设切点坐标为01,41112打),打>1,切线斜率为的=等，

则切线方程为y-41n2久1二臂^刀一打)，

代入点。(0,0),可得-41n2Xi=-81n%i，解得*i=e2,

此时切线斜率为七=|1；

若％<0,则/'(尤)=G)lng=-ln2♦(J,可得尸(x)=iMZ•g),

设切点坐标为(%2，Tn2-(9、)K2<0,切线斜率为©=ln22­(1)%\

则切线方程为y+in2-Gy，=ln22.qy、久_孙)，

2

代入点0(0,0),可得ln2-G)=In2'Q)(-x2),解得功=一白=-log2e,

此时切线斜率为七=e-ln22；

结合图象可知?n的取值范围为｛m|ni=eln22或m=

故选：D.

【题型4根据函数零点的范围求参数】

【例4】(2024・四川成都•三模)若函数/(久)=9-质2大于0的零点有且只有一个，则实数k的值为_亨_.

【解题思路】首先判断k>0,令f(x)=O,%6(0,+oo),参变分离可得k=',依题意可得y=k与y='在

(0,+8)上有且只有一个交点，令9(%)=捻，xe(0,+8),利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最

小值，从而求出k的值.

【解答过程】若k<0时f(x)>。恒成立，所以/(x)=e，-丘2没有零点，

所以k>0,

令/'(尤)=0,x£(0,+oo),即e“一kN=0,所以卜=,

依题意y=k与y=?在(0,+8)上有且只有一个交点，

令0(x)=%X€(0,+8),则“(x)=e烹),

所以当0V%V2时，当久>2时，

即9(%)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

„2

所以3(%)的取小值是9(2)=了，

而当％-0时，/(%)-+8,当%7+8时，/(%)7+8,所以左二?.

2

故答案为：Y,

【变式4-1](2024•全国•模拟预测)函数〃>)=(%+2)皿%+1)—4只有3个零点血,电%3

【解题思路】由题意对函数求导，为判断导数与零的大小关系，对导数再次求导求其最值，利用分类讨论

思想，结合零点存在性定理，建立不等式组，可得答案.

【解答过程】函数/'(%)=(x+2)ln(久+l)-ax的定义域为(-1,+oo),则((%)=ln(x+1)+詈一原

设g(x)=r(x)，则g'(x)==GK，

所以当xe(-i,0)时，夕(X)<o,广(X)单调递减，当％e(o,+8)时，70)>0,广(%)单调递增，

所以广(x)2尸(0)=2—a.

当2—a20,即aW2时，f1(x)>0,f(x)单调递增，且f(0)=0,此时f(x)只有1个零点，不满足题意；

当2—a<0,即a>2时，由/©—1)=In©—1+1)+=e。+1—2a>0,

Ga—1+21

r(ea-l)=ln(ea-l+1)+---a=l+->0

存在me(-1,0),n6(0,+00),使得尸(m)=o,f⑺=0,

当xe(—l,m)U(n,+8)时,f'(x)>0；当时，f'(x)<0,

所以/(%)在(-1即)上单调递增，在(加,n)上单调递减，在(%+