2025年江西省吉安市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年江西省吉安市高考数学模拟试卷

一、单选题

1.（5分）设全集为集合4={%仲41},则CR4=（）

A.{x|0^x<l}B.{x|0VxWl}C.{x|0<x<l}D.或x<0}

2.（5分）已知a为实数，复数z=（Q-2力（1+z）+z•为纯虚数，贝!JQ=（)

A.-1B.1C.-2D.2

3.（5分）下列函数图象的对称轴方程为汽=^+/CTT,kcz的是（）

A./(%)=sin(x—^)B./(%)=cos[x+-3~)

rr

C./(%)=sin(2x—卷)D.f(x)—cos(2.x+@)

4.（5分）设a,0为两个平面，下列条件中，不是“a与B平行”的充要条件的是（）

A.a内有无数条直线与0平行

B.a,0垂直于同一条直线

C.a,B平行于同一个平面

D.a内有两条相交直线都与0平行

111

5.（5分）已知数列{斯}为等比数列，+。6=8,-F-F~~=2,则04=（）

A.2V2B.±2V2C.2D.±2

6.（5分）已知抛物线C：，=2px5>0）的焦点为凡其准线与x轴交于点M,N为C上一点，且tan

/NFM=-2V2,贝!!tan/NMF=（）

2V2V2V2

A.-----B.—C.—D.V2

332

7.（5分）已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的

排法共有（）

A.336种B.284种C.264种D.186种

8.（5分）若a=^,6=7。，，c=e02,贝（］（）

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

二、多选题

（多选）9.（6分）某厂近几年陆续购买了几台N型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与

当年所需要支出的维修费用歹（单位：万元）有如下统计资料：

第1页（共17页）

X23456

y2.23.85.56.57

根据表中的数据可得到经验回归方程为y=1.23x+a,则（）

A.a=0.08

B.y与x的样本相关系数r>0

C.表中维修费用的第60百分位数为6

D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元

2

（多选）10.（6分）已知函数/（x）=X3+/+QX-4有3个不同的零点XI，%2，%3，且％1%2=学，则（）

A.a=-4

B./（x）<0的解集为（-1,2）

C.y=x-7是曲线（%）的切线

D.点（-1,0）是曲线y=/G）的对称中心

（多选）11.（6分）已知a,b,cE（0,+8）,关于1的不等式加+/>0的解集为（-8,2）,贝I（）

A.b>\

B.a+c>b

1111

C.———+—V--------

abca—b+c

111

D.（a-b+c）（---^+-）>5-3V2

三、填空题

12.（5分）已知圆。为圆锥尸。的底面圆，等边三角形4BC内接于圆O,若圆锥尸O的体积为11,则三棱

锥P-ABC的体积为.

13.（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统

文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大

衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,记大衍数列｛所｝的通项公式为

（写Ln为奇数

n

斯=〈2，若-1）an,则数列｛为｝的前30项和为__________.

号，"为偶数

22

14.（5分）已知M是椭圆而+y?=1上一点，线段是圆C：x+^y-6）=4的一条动弦，且|/用=2a,

则易•痛B的最大值为.

第2页（共17页）

四、解答题

15.(13分)在△/BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c.已知ccos/+acosC=3.

(1)求6；

⑵。为边NC上一点，AD=2DC,4DBC=看,AB1BD,求AD的长度和N4DB的大小.

16.(15分)如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面48CD为梯形，AB//CD,CD±BC,4B=2CD=4,BD

=BP,△PCO为等边三角形.

(1)证明：BC_L平面PCD.

(2)若为等边三角形，求平面P5D与平面山。夹角的余弦值.

17.(15分)某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次

抽奖机会.每次中奖的概率为p(0VpW称)，每次中奖与否相互不影响.中奖1次可获得100元奖金，

中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.

(1)已知p=〈，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就获奖的概率.

(2)已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算？请说明理由.

18.(17分)已知双曲线与一｛1=l(a>0,6>0)与双曲线N；三一£=1的渐近线相同，且M经

过点(,，V3),N的焦距为4.

(1)求M和N的方程；

(2)如图，过点7(0,1)的直线/(斜率大于0)与双曲线M和N的左、右两支依次相交于HB,

第3页(共17页)

2Q—2

(2)证明：当时，/(x)+x-lnx>,j-.

1

(3)证明：eT>/n(n+1)+n.

第4页（共17页）

2025年江西省吉安市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1

1.(5分)设全集为凡集合/={用牌1},贝IJCR/=()

A.{x|0^x<l}B.{x|0<x^l}C.{x|0<x<l}D.{x|x2l或x<0}

【解答】解：集合力=凶三1}={小<0或x》l},

;全集为五,

.,.CR/={X|0«1}

故选：A.

2.(5分)已知a为实数，复数z=(a-2z)(1+z)+z•为纯虚数，贝Ua=()

A.-1B.1C.-2D.2

【解答】解：复数z=(a-2z)(1+z)+i=a+2+(a-1)，为纯虚数，

则a+2=0,且a-IWO,解得a=-2.

故选：C.

3.(5分)下列函数图象的对称轴方程为x=?+tor,keZ的是()

A./(x)=sin(x—B./(久)=cos(x+冬)

C./(x)=sin(2x-D./(%)=cos(2x+1-)

【解答】解：A:X—y=-^+kTl,解得X=%~+/CTT,kCZ为对称轴方程；

B：x+等=k/it,解得久=—苧+k%,左£Z为对称轴方程，

即％=号+々兀，4ez为对称轴方程，符合题意；

C：2x—亲=£+/ot,解得x=号+左ez为对称轴方程；

D：2久+[=/ot,解得x=-着+竽>左ez为对称轴方程.

综上所述，3符合题意.

故选：B.

4.(5分)设a,0为两个平面，下列条件中，不是“a与0平行”的充要条件的是()

A.a内有无数条直线与0平行

第5页(共17页)

B.a,0垂直于同一条直线

C.a,B平行于同一个平面

D.a内有两条相交直线都与0平行

【解答】解：对于4a内有无数条直线与0平行，则a,0可能相交，即这无数条直线都与两平面的交

线平行，故a内有无数条直线与0平行得不出a与0平行，所以/不正确；

对于3,a,0垂直于同一条直线时，可得a与0平行，反之也成立，即a,0垂直于同一条直线是a与0平

行的充要条件；所以8正确；

对于C,a,0平行于同一个平面，贝！la与B平行，反之也成立，故a,0平行于同一个平面是a与0平行的

充要条件，所以C正确；

对于。，a内有两条相交直线都与0平行，根据面面平行的判定定理可知a与0平行，反之也成立，即a内

有两条相交直线都与B平行为a与0平行的充要条件，所以D正确.

故选：A.

111

5.(5分)已知数列｛斯｝为等比数列，d2+。4+。6=8,——F——F—=2,则。4=()

“2a6

A.2V2B.±2V2C.2D.±2

【解答】解：:数列｛劭｝为等比数列，。2+。4+。6=8,；+；+4=2，

0<2^4^6

。2+%1。2+%+。48

-----+-=------；---=-7=2，

a2a6@44口4乙

可得忌=4，

•<74=02/，。6=。4[一,且*。2+。4+。6=8>0,

故。4>0,可得。4=2.

故选：C.

6.(5分)已知抛物线C：y2=2px(0>0)的焦点为凡其准线与x轴交于点M,N为C上一点，且tan

ZNFM=-2V2,贝■]tan/?WF=()

2V2V2V2

A.---B.—C.—D.V2

332

【解答】解：抛物线C：y2=2/x(0>0)的焦点为尸，其准线与x轴交于点M,N为C上一点，且tan

ZNFM=-2V2,

不妨设N在第一象限，可得tan/N&=2近，

设M=s,\NB\=t,I=2V2,t=2y/2s,则N(s+务2&s),代入抛物线方程可得8s2=20(s+引，解

得s=

第6页(共17页)

所以N(p,y/2p),

tan/NMF鼻缘.

7.(5分)已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的

排法共有()

A.336种B.284种C.264种D.186种

【解答】解：当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间，

共有得用=2x4x3x2x1=48种排法；

当有1名女生排在一端，另一端排男生时，

共有2&国心房=2x2x3x3x3x2x1=216种排法；

当男生排在两端时，共有C弘弘弘,=3x2x2x3x2=72种排法；

故不同的排法共有48+216+72=336种.

故选：A.

8.(5分)若。=叔，b-701,c=e02,贝！J()

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

【解答】解：因为〃>2.72>7,

所以c=e02=(.)0.1>7。1=6；

令g(x)=，-x-1,则g(x)="-1,

当x>0时，g*(x)>0,则g(x)在(0,+8)上单调递增，当xVO时，g*(x)<0,则g(x)在(-

8,0)上单调递减，

所以g(x)2g(0)=0,

故

第7页(共17页)

则e'x^-x+l,

即221—x,当且仅当x=0时等号成立，

ex

1

当OV-x+l<l,即OVxVL有--->ex,

1-x

0,2

从而有c=e<1\7=I=a；

1-u.zq

综上，a>c>b.

故选：D.

二、多选题

（多选）9.（6分）某厂近几年陆续购买了几台/型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与

当年所需要支出的维修费用了（单位：万元）有如下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57

根据表中的数据可得到经验回归方程为y=1.23x+a,则（）

A.a=0.08

B.y与x的样本相关系数r>0

C.表中维修费用的第60百分位数为6

D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元

【解答】解：根据题意可得，元=4,1=2.2+3.8+*6.5+7=5,

所以样本中心点为（4,5）,

对于将样本中心点（4,5）代入回归方程y=1.23x+a,解得a=0.08,故/正确；

对于8,由表中数据可得y随着x增大而增大，x与y正相关，所以相关系数，>0,故8正确；

对于C,维修费用从小到大依次为2.2,3.8,5.5,6.5,7,第60百分位数为段詈=6,故C正确；

对于D根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38

万元，故。错误.

故选：ABC.

（多选）10.（6分）已知函数/（x）=x3+x2+ax-4有3个不同的零点xi，X2，X3，且勺町=号，则（）

A.a=-4

第8页（共17页）

B.f(x)<0的解集为(-1,2)

C.y=x-7是曲线(%)的切线

D.点(-1,0)是曲线y=/(x)的对称中心

【解答】解：对于/,因为/(x)=%3+X2+QX-4有3个不同的零点XI，X2，X3，

所以不妨设/(X)=(X-XI)(X-X2)(X-X3)f

易知/(X)展开式中的常数项为-X1X2X3，故-XlX2X3=-4,

23

又%62=容所以一等=—4,解得X3=2,

所以f(%3)=f(2)=23+22+2a-4=0,解得。=-4,故/正确；

对于5,因为/(x)=x3+x2-4x-4=(x-2)(x+2)(x+1),

令/(x)<0,即(x-2)(x+2)(x+1)<0,

利用数轴穿根法，解得％<-2或-1«2,故5错误；

对于C,易得，(x)=3X2+2X-4,

当切线斜率为1时，令，(x)=3X2+2X-4=1,解得％=-晟或x=l,

当％=1时，/(1)=(1-2)(1+2)(1+1)=-6,

止匕时切线为y+6=x-1,即y=x-7,故C正确；

对于。，因为/(-3)=(-3-2)(-3+2)(-3+1)=-10,又/(I)=-6,

所以/(-3)差/(I),所以点(-1,0)是曲线y=/(x)的对称中心，故。错误.

故选：AC.

(多选)11.(6分)已知Q,b,cE(0,+°°),关于x的不等式-〃+(^>0的解集为(-8,2),则(

A.b>\

B.a+c>b

111

c--+-1

-b<-------

aca-b-\-c

D.(a-b+c)(--^+-)>5-3V2

【解答】解：对于/,由题意知a,b,cE(0,+8),关于x的不等式a*-方+/>。的解集为(-8,

2),

不妨取a=c=孝，b=1,则/+/>0,即2(字尸>1,；.(孝尸〉最

其解集为(-8,2),即a=c=孝，6=1满足题意，故/错误；

第9页(共17页)

对于5,即弓尸+弓)%>1,

dc

令7=m,-=n,由于不等式ax-加+/>0的解集为(-8,2),

bb

故需满足0<机<1,0<«<1,且冽2+层=1,

令m=cos。,n=sinO,8€(0,£),则m+几=cos。+sin。=&s讥(8+*),96(0,^),

由于e+则讥(。+与)-(1,V2],即得机+〃>1,

又a+c=b(m+n),故q+c>6,5正确；

1111111111

++

---------氤

abcbmnoIsea-p+c>0.

co

故(a—b+c)(工—5+")=(m+n—1)(而+五一1)=(爪+九一1)(需一1),

人，,八，,八八一,八兀、，一〜2

令力=zn+ri=cos。+sin。，8E(0,彳)，t6(1/VE2],则nm=—t-—l，

filll/1、/111、X,d、/t八z,V、2t—留+l2t一笛+1

则(a—b+c)(工一万+工)=(t—1)(三—1)=(t_1)•留_1=t+i'

人l,2t—t2+l2(r—1)—(r—1)2+1—r2+4r—2

令t+1=r,rG(2/V2+1],贝！J------------=--------------------------=----------------

t+lrr

2

=4一(r+-),

由于函数旷=厂+1在(2,或+1]上单调递增，

故3=2+亍vyH—4V2+1H—：=~—=3V2—1,

2rV2+1

则5—3金工4一(厂+2)VI,即5-3V2<(a-h+c)(--1+-)<l,

111

艮n--+-1111

p-bV■，(a—b+c)(-r+—)25—3A/2,C,D正确，

aCa-b+c'八abJ

故选：BCD.

三、填空题

12.（5分）已知圆。为圆锥尸。的底面圆，等边三角形45。内接于圆。，若圆锥尸。的体积为冗，则三棱

3V3

锥尸-45。的体积为—.

-4―

【解答】解：设圆锥尸。的底面圆的半径为八圆锥尸。的高为〃，

设底面圆。的内接等边三角形ABC的边长为a,

]

则圆锥尸。的体积为石兀产/；=n,.,.为=3,

a

在等边三角形/5C中，根据正弦定理可得=2r,

si九600

第10页（共17页）

，Q=V3r,

11,-V3V33V3

工三棱锥P-ABC的体积为丁x—xy/3rxySrx—xh=—r92h=---.

32244

故答案为：~~-

4

13.（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统

文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大

衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列｛斯｝的通项公式为

色匚，n为奇数

2，若方=（-1）"an,则数列｛仇｝的前30项和为240.

《，n为偶数

作异，口为奇数

n

【解答】解：由an-2，bn=（-1）an,

R为偶数

—

—I*zgAUffTr,i（1）MyccT否1rU12232—142292—1302

可倚数歹U｛瓦｝的刖30项和为---2---1~-2-----2---^彳+…----2----2~

22—12+142—32+1।।302—292+1

=-----5-------1-------5-------F..H---------5-------

11sli

=J(1+2+3+4+…+29+30)+号=//30乂31+号=240.

故答案为：240.

%2

14.（5分）已知M是椭圆元+y2=1上一点，线段是圆C：x2+（y-6）2=4的一条动弦，且|48|=2vL

则易•麻的最大值为70.

【解答】解：如图，设中点为N,

由=2V2今|4N|=V2,\CN\=J\AC\2-\AN\2=V2,

故点N的轨迹为以（0,6）为圆心，r=&为半径的圆，

MA-MB=(MN+NA)•(MN+NB)=(MN+NA)•(MN-NA)=\MN\2-\NA\2=\MN\2-2,

\MN\max=\MC\max+r,设讥8,COS0),

第11页（共17页）

则|MC|=J(VlOstne)2+(cosd-6)2=J(VlOsm0)2+(cosd-6)2

=V37+9sin29—12cos9—J37+9(1-cos2。)—12cos8=V46—9cos20—12cos9,

当且仅当cos。=—令寸，IMG.=J46-9-(|)2+12-|=V50,

所以|MN|max=\MC\max+r=5&+&=6a,

—>—>—>

(MA•MB)max=1MN|总x—2=72—2=70.

故答案为：70.

四、解答题

15.(13分)在△/BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c.已知ccos/+acosC=3.

(1)求6；

⑵。为边NC上一点，AD=2DC,4DBC=莹,AB1BD,求8。的长度和乙的大小.

【解答】解：(1)因为ccos/+acosC=3,

R2_I_C2_Q2a2_|_^2_c2

由余弦定理可得c•--——=6=3；

2bc

(2)根据题意可得，4D=2,CD=1,41BC=竽,

则cosA=5=~~—>即2c2+/=9,

2be

可得cosNABC=122=—9即/+C2-9--ac,

解得a=V3,c—V3,

贝UBD=V4-3=1,

故cosZTlDB=彳^=2,

故N4DB=1.

16.(15分)如图，在四棱锥尸-N5C。中，底面48CD为梯形，AB//CD,CDLBC,4B=2CD=4,BD

=BP,△PCD为等边三角形.

(1)证明：BC_L平面PCD.

(2)若为等边三角形，求平面P3O与平面夹角的余弦值.

第12页(共17页)

【解答】（1）证明：如图，以。为原点，C。方向为X轴正方向，C3方向为歹轴正方向,

垂直于平面ABCD向上为z轴正方向，建立空间直角坐标系C-xyz,

设4(4,y\,0),B(0,y\,0),

・・•△尸CZ)为等边三角形，：.DP=CP,设尸(1,”，Z2),

,：BD=BP,.••[(—2)2+走+0=小2+02-y1+z3

即比+4=1+优-yi)i+z2>①

：△PCD为等边三角形，：.CD=CP,

222

2=yjl+y2+Z22,4=1+y2+z2)②

由①:比+3=%+兑—2为乃+z；,即羽+zK2yly2+3,

代入②有：4=l+2»U2+3,化简得w=0,

,；yiW0(否则3,C重合与题设矛盾)，

•..»=0,代入②解得：Z2=V3,

，CP=(1,0,V3),又CB=(0,月，0),

：.CB-CP^O,J.BCLCP,

又BCLCD,CDDCP=C,CD,CPu平面尸C£),

.•.3C_L平面PCD；

(2)为等边三角形，：.AB=BD,

即4=J(-2)2+%+。2,解得yi=V3,

第13页（共17页）

.,.5(0,2V3,0),4(4,2V3,0),

由(1)知，BD=(2,-2V3,0),AB={-2,-2V3,0),PD=(1,0,-V3)

—>—>-*—>~>

设平面尸2。的一个法向量为(久3,y3,z3),由BD=nrPD=0,

可得取f可得就=(b，L1),

->_>T_>T

设平面E4D的一个法向量为71=04,%，Z4),由公4D=PD=0,

可得［的)何4=0,取可得H=(后一L1),

I久4—V3Z=0：4

4kz4-1

./r二m-n3-1+13

故cos(m,n)=1—=/~/=F，

|m||n|J3+1+Ixj3+1+15

3

即平面PBD与平面PAD夹角的余弦值为g.

17.(15分)某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次

抽奖机会.每次中奖的概率为p(0<pW±)，每次中奖与否相互不影响.中奖1次可获得100元奖金,

中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.

(1)已知p=5求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就获奖的概率.

(2)已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算？请说明理由.

【解答】解：(1)设顾客甲获得了300元奖金的事件为/,甲第一次抽奖就中奖的事件为3,

则…P(4B)="101x去1x(1―1倒=若4，P(2)=鬣nX(1)o2x(l-A1)=|2,

4

故P(B|A)=写翳=宠=余

(2)设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0,100,300,500,

贝l」P(X=0)=(l-p)3,p(x=100)=心xpx(1-p)2,p(x=300)=C,Xp2x(1-p),P(X=500)=

最xp3,

E(X)=0+100xC\xp(1-p)2+300XCjXp1(1-p)+500/?3=100(-p3+3p2+3p),0e(0,引，

令/(P)=-/+3夕2+32，pe(0,a〕，

则，(p)=-3p2+6p+3=-3(p1-2p-1)>0,

所以/⑺)在(0,J］上单调递增，

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1QQ47c

所以E（X）＜100（-g+4+讶）=2~,

425

所以预计此活动的最高费用为〒x200=42500元＜45000元.

综上，该活动不会超过预算.

18.（17分）已知双曲线M；*直=l（a＞0,6＞0）与双曲线N：圣一篇=1的渐近线相同，且M经

过点（遮，V3）,N的焦距为4.

（1）求M和N的方程；

（2）如图，过点T（0,1）的直线/（斜率大于0）与双曲线M和N的左、右两支依次相交于4,B,

C,D,若3|N刊871=2|CD||TC|,求直线/的方程.

22

【解答】解：（1）因为N：马—力=1，N的焦距为4,

所以N：m2+3m2=4,m2=l,

所以N：/_号=1,

M,N渐近线相同，M可设为久2一1=4（440）,

将（旧，声）代入方程可得3-|=4,即入=2,

所以M：,_若=1；

（2）设直线/的方程为〉=履+1（左＞0）,A（xi,ji）,D（%2,y2）fB（冷，»3）,C（必，＞4）,

y=k%+1

联立方程7y2,化简可得：（3-F）f-2h+1-3入=0,则A=4乒-4（3-F）（1-3入）＞0,

产一M二4

、1H2k—2

入=1时，第3+%4=打形，、3.=卒铲

入=2时，久1+久2=丹P%I•町=言^，

2

所以|4B|=J（向一与）2+仇-丫3）2=，（久1一去）2+卜2&-冷）2=Vl+k\xr-X3\,

2

同理|CD|=Vl+fc|x2-x4|

因为X1+X2=X3+X4,所以X2-X4=X3-XI,所以|48|=|C0,

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又因为3\AB\\B7]=2\CD\\TC\,所以黑=

“31D

~\BT\x22

所以而3则恐一

%43f

—22k

由%3-X4=3_女2,%3+%4=3一々2,

解得：幺=/，由左＞