2023年中考数学一轮复习：实数（原卷版）

专题02实数

区命理趋势

实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，

主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法.

1.实数的相关概念和运算.如对平方根、立方根与n次方根，实数的表示与运算，分数指数幕等知识点直

接考查.

2.出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解，结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小，但对运

算理解的考一查力度较.

3.主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等.

、知识导图

平方根颈

平方根与算术平方根的联系与区别

实数嚣

-匿

在重点考向

一、平方根

算术平方根概念：一般的如果一个正数X的平方等于a,即x2=①那么这个正数x叫做a的算术平方根。

算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作“，读作根号a,其中a是被开方数。

平方根概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即？?*=〃，那么x叫做a

的平方根。

平方根的性质与表示：

表示：正数a的平方根用土板表示，«叫做正平方根，也称为算术平方根，叫做a的负平方根。

性质：一个正数有两个平方根：(根指数2省略)且他们互为相反数。

-a(aNO)

(Va)2=a(a>0),=-

.-a(a<0)

0有一个平方根，为0,记作g

负数没有平方根

平方根与算术平方根的区别与联系：

算术平方根平方根

区别概念如果一个正数X的平方等于a,即如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫

x2-a,那么这个正数x叫做a的算做a的平方根或二次方根，即如果/=a,

术平方根。那么x叫做a的平方根。

表示方法近±y[ci

性质1）正数只有一个算术平方根，且1）正数有两个平方根，且互为相反数；

恒为正；2）0的平方根为0

2）0的算术平方根为03）负数没有平方根

3）负数没有算术平方根

求法开平方后取非负的平方根开平方

联系1）a的取值范围相同，均为aNO

2）平方根包含了算术平方根，即算术平方根是平方根中的一个（非负的）。

典例引顺

II

一、单选题

1.下列说发正确的的是（）

A.（-2『的平方根是-2B.4是J语的算术平方根

C.4平方根是土后D.2的平方根是-2

2.若加+4与加-2是同一个正数的两个平方根，则加的值为（)

A.3B.-3C.1D.-1

3.后的算术平方根是（）

A.5B.5C.V5D.-V5

4.估计国的大小应在（）

A.7.1〜7.3之间B.7.3〜7.5之间C.7.5〜7.7之间D.7.7〜7.9之间

5.下列各式正确的有（）个

®V04=0,2；②值=土+;③-2?的平方根是±2；上7是的13平方根.

V93o36

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.下列各数中一定有平方根的是（）

A.a2-5B.-aC.a+\D.a2+1

7.若J（X-2）2+|3-W=0，则尤-y的正确结果是（)

A.1B.1C.5D.5

8.而5=4.147,VL72=1.311.则J1720的值为()

A.13.11B.±13.11C.41.47D.±41.47

9.示意图，小宇利用两个面积为1dM的正方形拼成了一个面积为2d/的大正方形，并通过测量大正方形

的边长感受了拒办?的大小.为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试,

下列做法不能实现的是（）.

A.利用两个边长为2dm的正方形感知瓜力《的大小

B.利用四个直角边为5曲?的等腰直角三角形感知回力〃的大小

C.利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知的大小

D.利用一个边长为右而z的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知痛加的大小

11

10.已知：%=5（199日-1991二）（〃是自然数）.那么的值是（）

A.1991TB.-19912c.（-if1991D.（一1）"199尸

二、填空题

11.若机<0,则|2加|=；瓦的平方根是.

12.如下图5x5网格是由25个边长为1的小正方形组成，则这个阴影正方形的边长为.

13.±716=_；回的算术平方根是

14.一个自然数的算术平方根是°,则和这个自然数相邻的下一个自然数是.

15.如图是一个计算程序，当输出值>=9时，输入值x为.

输入x―>-1—>（）2—>输入y

16.已知x、y是实数，且》+>=3后，且孙=1则

三、解答题

17.已知一个正数的两个平方根是机+3和2加-15.

（1）求这个正数是多少？

（2）加+5的算术平方根是多少？

18.某新建学校计划在一块面积为256m②的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的

边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍.请你通过计算说明该学校能否实现这个计划.

19.（1）若。是最大的负整数,6是绝对值最小的数,c是倒数等于它本身的正数，♦是9的负平方根.则—；

b=；c=；d=.

（2）若q与b互为相反数，c与d互为倒数，求3（。+6）-（-cd）?-2的值.

二、立方根和n次方根

1、立方根概念：如果一个数的立方等于a,即1二分那么x叫做a的立方根或三次方根，

表示方法：数a的立方根记作孤，读作三次根号a

立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。

0的立方根是0.

开立方概念：求一个数的立方根的运算。

开平方的表示：（眄（a取任何数）

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

注意：0的平方根和立方根都是0本身。

2、A次方根

概念：如果一个数的〃次方（〃是大于1的整数）等于a,这个数就叫做a的〃次方根。

当〃为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。

当〃为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。

性质：正数的偶次方根有两个：土驱0的偶次方根为0：屹二。负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。

典例引微

J__________L._________________I

一、单选题

1.下列结论正确的是（）

A.216的立方根是±6B.立方根是等于其本身的数为0

C.-:没有立方根D.64的立方根是4

O

2.已知a,6满足j2a+6+0-2|=O,则a+6的立方根是（）

A.1B.±1C.-1D.0

3.已知数。的平方根与其立方根相同，数6和其相反数相等，则a+b=（）

A.-1B.0C.ID.2

4.（-8『的6次方根是（）

A.2B.2C.±2D.±4

5.在实数范围内，下列运算不是总能进行的是（）

A.立方B.〃次方C.开奇次方D.开偶次方

6.折表示的含义是（）

A.a的正的n次方根B.。的〃次方根

C.当。20时，表示a的正的W次方根D.当a«0时，且几为奇数时，表示。的〃次方根

7.下列运算中，正确的是（）

A.^(a-b)6=a-b22

B.+/)8=a+b

C.叱-加=a-bD.M(a+b)i°=a+b

8.将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（）

8

A.2cmB.3cmC.-cmD.20cm

二、填空题

9.计算血=;。225=;216=

10.闻的算术平方根是,病的立方根是.

11.已知（尤-I），=27,则x的值是.

12.。+3的算术平方根是3,6-2的立方根是2,则a+36的算术平方根为

13.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是.

是有理额

14.如果如5.62=3.9522，则J156200=;4=39.522,贝!!》=；如果疡7=2.872,

痔7=1.3333,则40.0237=;近=一1333.3,贝！!％=.

15.我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性.若20）不是某个有理数的平方，则方

程/=“有理数范围内无解；若6不是某个有理数的立方，则方程/=6在有理数范围无解.而在实数范围

内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处.现给出以下结论：①一=3在实数范围内有解；

②/022—10=0在实数范围内的解不止一个；③f+/=5在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于

任意的。（aNO）,恒有〃^3人.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

16.计算：后了=.

三、解答题

17.计算:

⑴（何一次+人；

18.己知6a+34的立方根是4,50+6-2的算术平方根是5,c是9的算术平方根,

（1）求a,b,c的值

（2）求3a—6+c的平方根.

19.已知c<6<0<a,且⑸<团，求而二17+/7-也+4-|-4一/I二p的值.

20.已知了=@三±2二三，求与的"次方根（〃为大于1的整数）

7x-22

在重烬考向

三、实数与分数指数基

无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

实数概念：有理数和无理数统称为实数

实数的分类：

1.按属性分类：2.按符号分类

整数J正整数

更有理弟正分数

整数内实蛆正无理数

分

数

分

数实效快整数

.10

比理数/正无理数供有理数｛负分数

I负无理数I负实数｛负无理数

实数和数轴上的点的对应关系（重点）：

实数和数轴上的点•一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示

一个实数.

的画法：画边长为1的正方形的对角线

在数轴上表示无理数通常有两种情况：

1.尺规可作的无理数，如血

2.尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如“，1.010010001

实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法

实数的三个非负性及性质：

1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2.非负数有三种形式

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|20；

②任何一个实数a的平方是非负数，即a2》。；

③任何非负数的算术平方根是非负数，即置20

3.非负数具有以下性质

①非负数有最小值零；

②非负数之和仍是非负数；

③几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0

分数指数累

把指数的取值范围扩大到分数，我们规定

___m

狂=疝（aNO）

（其中加、〃为整数，77>1）.

]m

,——Ci"（a>0）

NCT

说明：在说明a"=」一同样适用后，导出后一个负分数指数幕.

ap

mm

上面规定中的。"和叫做分数指数塞，。是底数.

一、单选题

1.下列四个数中，大于1而又小于2的无理数是（）

2.在实数生9，亚,0.5,3.010010001...（每2个1之间依次多一"个0）中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.下列说法中错误的是（）

A.有理数和无理数统称为实数

B.实数和数轴上的点是一一对应的

C.平方根是其本身的数只有0

D.负数没有立方根

4.纳米是一种长度单位，1纳米=0.000000001米，已知某种花粉的直径为5300纳米，这种花粉的直径用

科学记数法表示为（）

A.5.3x10-B.5.3x10-C.5.3x10"D.5.3xlO7

5.下列说法正确的是（）

A.飒是无理数

B.我大于2

C.面积为8的正方形边长是正

D.数轴上表示正的点不存在

1

6.根式痂（a>0,m、〃为正整数，〃>1）用分数指数基可表示为（）

nmnm

A.amB.anCq加D.an

二、填空题

7.比较大小：3-V51；亚士!■-

-----------44

22

8.把下列各数填在相应的横线上，-8,兀，-I-2|,y,V16>-0,9,5.4,-衿,0,-3,6,1.2020020002...

（每两个2之间多一个0）；整数；负分数；无理数.

9.如图，面积为5的正方形/BCD的顶点4在数轴上，且表示数为1,若AD=AE,则数轴上点E所表示

的数为.

4

io.把疗写成幕的形式是

11.如果=3",那么〃=

12.已知正，〃是两个连续整数，且加则加+〃=

13.已知根，〃分别是g的整数部分和小数部分，那么2加-“+VH的值是.

14.如图，在纸面上有一数轴，点/表示的数为-1,点3表示的数为3,点C表示的数为百.若子轩同学

先将纸面以点8为中心折叠，然后再次折叠纸面使点/和点8重合，则此时数轴上与点。重合的点所表示

的数是.

ACB

।।।।i.i।।1A

-3-2-1012345

三、解答题

-1

15.计算：5,2-2.（一3）。+I

_11

16.利用累的性质计算：我x2、(屈"J.

211

17.(1)计算：53x5^+(35x25广(结果表示为含幕的形式).

3711J

(2)计算：2石-3■+52x«+(6)2-(2：%

18.如图1,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.

C,-----.3

,，D,______.4，，，

-2-101234

图2

(1)图中阴影部分是一个正方形/BCD,求出阴影部分的面积及其边长.

(2)把正方形放到数轴上.如图2.使得N与1重合，那么。在数轴上表示的数为.

(3)在(2)的条件下，把正方形/BCD沿数轴逆时针方向滚动.当点3第一次落在数轴上时，求点8在数

轴上表示的数.

19.在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近亚的近似值，请

回答如下问题：

⑴我们通过“逐步逼近”的方法来估算出1.4〈后＜1.5,请用“逐步逼近”的方法估算vn在哪两个近似数之间

(精确到0.1)；

(2)大家知道也是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此后的小数部分我们不可能全部地写出来，可

以用血-1来表示亚的小数部分.

又例如：；"＜正＜&,即2＜近＜3,

.••近的整数部分为2,小数部分为田-2).

请解答：①M的整数部分是，小数部分是;

②如果指的小数部分为。，旧的整数部分为6,求0+痛的值；

③若x是④+VH的整数部分，y是也+而的小数部分，求卜-亚-而『的平方根.

一、单选题

1.(2018・上海•模拟预测)下列说法正确的是()

A.-81平方根是-9B.的平方根是±9

c.平方根等于它本身的数是i和o