高考数学二轮复习讲义：等差数列与等比数列（学生版+解析）

第1讲等差数列与等比数列

【要点提炼】

考点一等差数列、等比数列的基本运算

等差数列、等比数列的基本公式(neN*)

⑴等差数列的通项公式：an=ai+(n-l)d；

(2)等比数列的通项公式：an=a「qi.

nnnX

(3)等差数列的求和公式：S„^=nai+-d;

ai1—qnai-aq

n，

⑷等比数列的求和公式：s_=jii—q="ii—qqW],

、nai,q=l.

【热点突破】

【典例】1(1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、

春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立

春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为()

A.15.5尺B.12.5尺C.10.5尺D.9.5尺

⑵已知点(n,a。在函数f(x)=2-的图象上(ndN*).数列｛aj的前n项和为S„,设b„=

log支±数列限｝的前n项和为T..则T,的最小值为

点64

【拓展训练】1⑴(2020•全国II)数列｛aj中,ai=2,am+n=aman,若@k+i+ak+2T---Fak+io

=215-25,则k等于()

A.2B.3C.4D.5

(2)(多选)(2020•威海模拟)等差数列｛aj的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则()

A.d<0

B.ai6<0

C.SnWS15

D.当且仅当n232时，Sn<0

【要点提炼】

考点二等差数列、等比数列的性质

1.通项性质：若m+n=p+q=2k(ni,n,p,q,k^N*),则对于等差数列，有am+an=ap+

aq=2ak,对于等比数列有aman=aPaq=ak.

2.前n项和的性质：

⑴对于等差数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列；对于等比数列有Sm,S2m-Sm,S3m

—S.…成等比数列(q=—1且HI为偶数情况除外).

⑵对于等差数列，有S2n_=(2n—1)须.

【热点突破】

【典例】2⑴已知正项等差数列｛aj的前n项和为SKnWN*和若期+a7一鼠=0,则S”的值

为()

A.11B.12C.20D.22

2

⑵已知函数f(x)=2(X£R)，若等比数列｛aj满足a®020=1,则f(ai)+f(a)+f(a)~\—

1+x23

+f(a2O2o)等于()

1

A.2020B.1010C.2D.-

【拓展训练】2⑴(2020•全国I)设｛aj是等比数列,且ai+a2+as=1,a2+as+a4=2,

则ae+a7+as等于()

A.12B.24C.30D.32

(2)已知正项等比数列｛④｝的前n项和为Sn,且Sio=lO,S30=130,则S©等于()

A.-510B.400

C.400或一510D.30或40

【要点提炼】

考点三等差数列、等比数列的探索与证明

等差数列等比数列

a°+i_q(qwo)

定义法SLn+1—an=d

Hn

n—1

通项法an=ai+(n—1)dan=ai,q

2a,nSn—113-n+lHna-n—1Hn+1

中项法

(n12)(n》2,anWO)

2n

Sn=an+bnSn=kq—k

前n项和法

(a,b为常数)(kWO,qWO,1)

证明数列为等差（比）数列一般使用定义法.

【热点突破】

【典例】3（2019•全国H）已知数列｛aj和｛bj满足ai=l,bi=0,4a„+i=3a„—b„+4,4b„+i

=3b“一an-4.

⑴证明：｛a0+bj是等比数列，｛a0—bj是等差数列；

⑵求瓜｝和｛bj的通项公式.

【拓展训练】3已知数列｛aj满足ai=l,nan+i=2(n+l)an.设出=包.

n

(1)求bi,b2,b3；

⑵判断数列｛bj是不是等比数列，并说明理由；

⑶求｛为｝的通项公式.

专题训练

一、单项选择题

1.在等比数列｛aj中，若a3=2,a7=8,则as等于()

A.4B.-4C.±4D.5

s

2.（2020金国H）记Sn为等比数列｛a—的前n项和.若a5—a3=12,a6—a4=24,则」等于（）

Hn

A.2"-lB.2-21-n

C.2-2n-1D.21-n-l

3.己知等差数列｛aj和等比数列｛bj的各项都是正数，且a1=bi,an=bn.那么一定有（）

A.aeWbeB.a62b6C.aizWbizD.ai22blz

4.在数列｛aj中，ai=2,-^7=-+lnfl+^|,则a”等于（）

n+1n卜n/

A.2+nlnnB.2n+（n—1）Inn

C.2n+nlnnD.1+n+nlnn

5.已知数列｛aj的前n项和为Sn,ai=l,a2=2,且对于任意n>l,n£N*,满足Sn+i+Sn-1

=2（Sn+l）,则（）

A.a9=17B.眦=19C.S9=81D.Sio=91

6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个

正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正

方形的边长是m,侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为Sn,贝IJ（）

A.Sn无限大B.S„<3(3+V5)m

C.S„=3(3+V5)mD.Sn可以取100m

二、多项选择题

7.（2020•厦门模拟）记S为等差数列a｝的前n项和,若ai+3aH=S，,则以下结论一定正确

的是（）

A.a&=0B.S”的最大值为S3

C.Si=SeD.|&31<|3,51

8.已知等比数列｛aj的各项均为正数，公比为q,且ai>l,a6+a7>a6a7+l>2,记｛aj的前n

项积为则下列选项中正确的是（）

A.0<q<lB.比>1

C.T12>1D.T13>1

三、填空题

9.（2020•江苏）设｛③｝是公差为d的等差数列，｛bj是公比为q的等比数列.已知数歹心小

2n

+bn｝的前n项和Sn=n—n+2—1（n^N*）,则d+q的值是.

10.（2020•北京市顺义区质检）设Sn为公比qWl的等比数列a｝的前n项和，且3a1，2a2,

a3成等差数列，则q=，|1=.

11.（2020•潍坊模拟）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用

须表示解下n（nW9,n£N*）个圆环所需移动的最少次数，｛须｝满足a1=l,且an=

2an-i—1n为偶数

则解下5个圆环需最少移动次.

2须-1+2n为奇数

31

12.已知等比数列｛aj的首项为亍公比为一万,前n项和为S“，且对任意的nGN*,都有AW

2S„-^-<B恒成立，则B-A的最小值为.

On

四、解答题

13.（2020•聊城模拟）在①a5=bs+b5,②Ss=87,③ag—ai0=bi+b2这三个条件中任选一个,

补充在下面问题中，并给出解答.

设等差数列｛aj的前n项和为S”，数列瓜｝的前n项和为L,,ai=b6,若对于任意

nGN*都有L=2bn—1,且SnWSKk为常数），求正整数k的值.

14.已知等比数列｛aj的公比q>l,ai=2,且甑,出，as—8成等差数列,数列｛a.bj的前n

「、，2n-l•3"+1

项和为-------2-----------

(1)分别求出数列｛aj和｛b„｝的通项公式;

(2)设数列的前n项和为Sn,任意nGN*,SnWm恒成立，求实数m的最小值.

3.n

第1讲等差数列与等比数列

【要点提炼】

考点一等差数列、等比数列的基本运算

等差数列、等比数列的基本公式(neN*)

⑴等差数列的通项公式：a“=ai+(n—l)d；

(2)等比数列的通项公式:须=a・/丁

naiann

⑶等差数列的求和公式：s„=+=nai+

ai1-qnai—aq

i=-in，qW1,

(4)等比数列的求和公式：s0=ji—qi—q

、nai,q=l.

【热点突破】

【典例】1(1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、

春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立

春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为()

A.15.5尺B.12.5尺C.10.5尺D.9.5尺

【答案】A

【解析】从冬至起，十二个节气的日影长依次记为ai,a2,a3,a12,由题意”有ai+

a&+a7=37.5,根据等差数列的性质，得a&=12.5,而a12=4.5,设公差为d,则

ai+3d=12.5,fai=15.5,

解得所以冬至的日影长为15.5尺.

ai+lld=4.5,

(2)已知点(n,须)在函数f(x)=21的图象上(ndN*).数列｛知的前n项和为S",设b„=

log行止L数列限｝的前n项和为九则T0的最小值为

⑤64

【答案】-30

【解析】•••点(n,aj在函数f(x)=2-的图象上,

:.a„=2"-1(nGN*),

{aj是首项为ai=l,公比q=2的等比数歹!J,

IX1-2°

；.Sn=—=2n-1,

2n

则bn=log^—=2n—12(n£N*),

・・・{bn}是首项为一10,公差为2的等差数列,

,nn-12(121

/.Tn=-10n+-------------X2=n—lln=ln——I-.

又n£N*,

；.Tn的最小值为丁5=丁6=@)一号=一30.

规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略

(1)抓住基本量，首项a,、公差d或公比q.

(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn=a/+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列，

通项公式为a„=p-q"T(p,qWO)的形式的数列为等比数列.

(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比

值的方式)进行相关计算.

【拓展训练】1⑴(2020•全国H)数列{aj中，ai=2,an,+n=a111a„,若ak+i+ak+2H------Fak+io

=2共一2‘，则k等于()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】・3-12，3-ni+n

令m=l,贝Uan+i=aian=2an,

・•・｛③｝是以a】=2为首项，2为公比的等比数歹u，

n-1n

/.an=2X2=2.

又••・凯+1+a+2+…+ak+io=2"-25,

k+10

211-2155

1-2-2一2

即2k+1(210-l)=25(210-l),

2k+i=2。/.k+l=5,.*.k=4.

⑵（多选）（2020•威海模拟）等差数列｛aj的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则（）

A.d<0

B.ai6<0

C.SWS15

D.当且仅当n》32时，Sn<0

【答案】ABC

【解析】设等差数列｛③｝的公差为d,由SK）=S2。，得10&+”/d=20ai+生/d,化简

29291

—

得ai=—d.因为ai>0,所以d<0,故A正确；因为ai6=ai+15d=——d+15d="d,又d<0,

291

所以ai6<0,故B正确；因为ai5=ai+14d=—"万（1+14d=—/（1>0,ai6<0,所以S15最大，即Sn

）,nn—1nn—30#「…,t>

WS15,故C正确；Sn=nai+---------d=---------d,右Sn<0,又d<0,则n>30,故当且

仅当n231时，Sn<0,故D错误.

【要点提炼】

考点二等差数列、等比数列的性质

1.通项性质：若m+n=p+q=2k（ni,n,p,q,keN*）,则对于等差数列，有am+an=ap+

aq=2ak,对于等比数列有aman=apaq=ak.

2.前n项和的性质:

⑴对于等差数列有S',s2m-s„,S3M—Sz”，…成等差数列；对于等比数列有So,S2m-Sm,S3m

—S^,…成等比数列(q=-1且m为偶数情况除外).

(2)对于等差数列，有S2I=(2n—l)a”.

【热点突破】

【典例】2(1)已知正项等差数列{aj的前n项和为SKndN*),若as+a?—鼠=0,则Su的值

为()

A.11B.12C.20D.22

【答案】D

【解析】结合等差数列的性质，可得as+a7=2a6=次，

又该数列为正项数列，可得a$=2,

所以由Szn+i=(2n+1)an+i,

可得Sn=S2X5+i=lla6=22.

2

(2)已知函数f(x)=,(xeR)，若等比数列｛aj满足a®020=1,则f(ai)+f(a)+f(a)4■…

1+x223

+f(a2020)等于()

1

A.2020B.1010C.2D.-

【答案】A

【解析】Vaia2020=1,

4+2

•**f(a)+f(④020)1+a?1+a2020

222.2a?

1+ai1l+a?-^l+a?2,

1+―

ai

・・・{aj为等比数歹！J,

则313-2020=a2a2019ai010Q.1011=1，

.'.f(a2)+f(a2oi9)=2,•••,f(ai010)+f(aion)=2,

BPf(ai)+f(a2)+f(a3)d------l-f(a2O2o)=2Xl010=2020.

规律方法等差、等比数列的性质问题的求解策略

(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性

质进行求解.

(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函

数的性质解题.

【拓展训练】2(1)(2020♦全国I)设瓜｝是等比数列，且ai+az+a3=l,a2+a3+a4=2,

则a6+a：+a8等于()

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【解析】设等比数列｛aj的公比为q,

„,az+as+ad2-

则q=,,=7=2,

ai十a?十as1

所以@6+27+38=(21+22+@3)・45=1*25=32.

⑵己知正项等比数列｛aj的前n项和为Sn,MSip=10,S30=130,则右。等于()

A.-510B.400

C.400或一510D.30或40

【答案】B

【解析】：正项等比数列｛aj的前n项和为出，

-

ASio,SaoSio,Sao—S2o,S40—S30也成等比数列,

2

AlOX(13O-S2O)=(S2O-1O),

解得S20=40或520=—30(舍)，

故S4LS3O=27O,.0=400.

【要点提炼】

考点三等差数列、等比数列的探索与证明

等差数列等比数列

定义法@n+l-Hn=d—=q(q^0)

Hn

n—1

通项法an=ai+(n-1)dan=ai•q

2an=an—l+an+l

Hna-n—lQ-n+1

中项法

(n12)(n》2,anWO)

2n

Sn=an+bnSn=kq-k

前n项和法

(a,b为常数)(k#0,q#0,1)

证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.

【热点突破】

【典例】3(2019•全国n)已知数列｛aj和｛bj满足ai=Lb)=0,4an+i=3an—bn+4,4b„+i

=3bn_an_4.

⑴证明：｛a0+bj是等比数列，®一bn｝是等差数列；

(2)求瓜｝和瓜｝的通项公式.

(1)证明由题设得4(Hn+1+bn+l)=2Sn+bn),

即an+l+bn+l=](an+bn).

因为ai+bi=l,

所以面+bJ是首项为1,公比为;的等比数列.

—

由题设得4(an+ibn+i)=4(an—b)+8,

-

即an+ibn+r=an-bn+2.

又ai-bi=1,

所以瓜一bj是首项为1,公差为2的等差数列.

⑵解由(1)知，Hn+bn=R二I,an—bn—2n—1.

所以an='1[(an+bn)+(an—bn)]=/+n—■|(n£N*),

bn=g[(an+bn)—⑸-bn)]=^-fl(M£N*).

易错提醒a>an-ian+1(n^2,n£N*)是｛劣｝为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个

数列是等比数列时，要注意各项不为0.

【拓展训练】3已知数列｛aj满足2=1,nan+i=2(n+l)an.设正=包.

n

⑴求bi,b2,b3；

⑵判断数列｛bn｝是不是等比数列，并说明理由；

⑶求｛劣｝的通项公式.

解(1)由条件可得am=2n+1=

n

将n=l代入得，a2=4ai,而ai=l,所以a.2=4.

将n=2代入得，a_3=3a2,所以@3=12.

从而bi=Lb2=2,b3=4.

(2)®｝是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下：

由条件可得T=组，即bn+l=2bn,

n十1n

又b=l,所以｛bj是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由(2)可得西=2,T,所以a°=n・2"T(neN*).

n

专题训练

一、单项选择题

1.在等比数列｛aj中，若as=2,a7=8,则as等于（）

A.4B.-4C.±4D.5

【答案】A

【解析】•••数列｛aj为等比数列，且as=2,a7=8,

/.a5=a3,@7=2X8=16,则a5=±4,

・・•等比数列奇数项的符号相同，.・・比=4.

S

2.（2020金国II）记Sn为等比数列凡｝的前n项和.若@5—的=12,@6—@4=24,则」等于（）

Hn

A.2n-lB.2—2「n

C.2-2"-1D.21-n-l

【答案】B

【解析】方法一设等比数列｛%｝的公比为q,

由as-3iQ-HiQ12al=12ai=1.

qn

所以an=aiqnr=2"T,Sn--'/--2-l,

1—q

朋T以一9n-l—2—2.

3-n乙

方法二设等比数列｛aj的公比为q,

faq2—a=12,①

则〈33

[3.4Q—3,4=24,②

q=2.

将q=2代入①，解得a3=4.

所以ai=F=l,下同方法一.

q

3.已知等差数列｛aj和等比数列｛bj的各项都是正数，且a1=b1，au=bu.那么一定有（）

A.36^beB.a62b6C.ai2Wbi2D.ai2》bi2

【答案】B

【解析】因为等差数列｛须｝和等比数列｛bn｝的各项都是正数，且ai=bi,au=bu,所以ai

+aii=bi+bn-2&6»

所以a6=",au=81bu》yb]bu=b6.

当且仅当bi=bu时，取等号，此时数列｛bj的公比为1.

4.在数列｛aj中，ai=2,笔=电+1/1+3,则a”等于()

n十1n〈n/

A.2+nlnnB.2n+(n—1)Inn

C.2n+nlnnD.1+n+nlnn

【答案】C

【解析】由题意得且言一亘=ln(n+l)—Inn,

n+1n

n分别用1,2,3,…，n—l(n22)取代，

累加得5—?=lnn—In1,即包=2+lnn,

n1n

即an=2n+nlnn(n22),

又&=2符合上式，故an=2n+nlnn.

5.已知数列｛aj的前n项和为Sn,。=己a2=2,且对于任意n>l,neN*,满足Sn+i+S1

=2(Sn+l),则()

A.@9=17B.aio=19C.Sg=81D.Sio=91

【答案】D

【解析】•••对于任意n>l,n£N*,满足S++“i=2(Sn+1),

Sn+1-Sn=Sn-Sn-l+2,

••3n+i-an—2.

数列｛aj在n>l,nWN*时是等差数列,公差为2,

又ai=l,a?=2,

a„=2+(n-2)X2=2n-2(n>l,n£N*),

8X79X8

a9=2X9—2=16,aw=2X10—2=18,S9=1+8X2+---X2=73,Sio=l+9X2+~~X

2=91.故选D.

6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个

正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正

方形的边长是m,侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为S”贝版)

A.S“无限大B.S„<3(3+V5)m

C.Sn=3(3+4)mD.Sn可以取100m

【答案】B

【解析】由题意可得，外围第2个正方形的边长为

外围第3个正方形的边长为

1-1

外围第n个正方形的边长为H1.

所以蜘蛛网的长度

=3(3+/)m.故选B.

二、多项选择题

7.（2020•厦门模拟）记院为等差数列凡｝的前n项和,若■+3a5=ST,则以下结论一定正确

的是（)

A.8.40B.Sn的最大值为S3

Ia1<|a1

C.S1=S6D.35

【答案】AC

【解析】设等差数列｛an｝的公差为d,则ai+3(ai+4d)=7ai+21d,解得ai=-3d,则an

ai+(n—l)d=(n—4)d,所以:=(),故A正确；因为Se—Si—5a4—0,所以Si—Se»故C

正确；由于d的取值情况不清楚，故S3可能为最大值也可能为最小值，故B不正确；因为为

+a5=2a4=0,所以@3=—as,即息|=3|,故D错误.

8.已知等比数列｛aj的各项均为正数，公比为q,且ai〉l,ae+口7>a6a7+数2,记｛aj的前n

项积为「，则下列选项中正确的是（)

A.0<q<lB.86>1

C.Ti2>lD.Ti3>l

【答案】ABC

【解析】由于等比数列凡｝的各项均为正数，公比为q,且ai>l,a6+a7>a6a7+l>2,所以

(a6—1)(a7—1)<0,由题意得a6>l,a7<L所以0<q<l,A,B正确；因为a6a7+l>2,所以a6a7>L

Ti2=ai-a2....an•ai2=(a6a7)6>1,Ti3=aF〈l,所以满足Tn>l的最大正整数n的值为12,C

正确，D错误.

三、填空题

9.(2020•江苏)设｛③｝是公差为d的等差数列，｛bj是公比为q的等比数列.已知数歹！］｛须

2n

+bn｝的前n项和Sn=n—n+2—1(neN*),则d+q的值是.

【答案】4

【解析】由题意知q—1,

所以Sn=(ai+az+…+an)+(bi+bz+…+bn)

=n2—n+2n-1,

rd_

2=1,

d

ai—]=-1，

所以＜,解得d=2,q=2,

10,

所以d+q=4.

10.(2020•北京市顺义区质检)设Sn为公比qWl的等比数列｛aj的前n项和，且3a1，2a2,

as成等差数列，则4=,£=.

【答案】310

【解析】设等比数列的通项公式an=ad'T，又因为3aL2a2,成等差数列,所以2X2a2

ai1-34

S]_3]

=3ai+a3,即4aiq=3ai+a】q,解得q=3或q=1(舍)，„—'不10.

S2ai1—31—3

--

11.（2020•潍坊模拟）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用

a”表示解下n（n《9,nGN*）个圆环所需移动的最少次数，｛aj满足a1=1,且a„=

2a„-i—1n为偶数

则解下5个圆环需最少移动次.

2a„-i+2n为奇数

【答案】16

【解析】因为a5=2a&+2=2(2as—1)+2=4as,

所以a5=4a3=4(2a2+2)=8a：i+8=8(2ai—1)+8=16ai=16,

所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.

31

12.已知等比数列｛aj的首项为公比为一万，前n项和为出，且对任意的ndN*,都有AW

2S“一恒成立，则B—A的最小值为.

On

【答案】詈13

6

31

【解析】•・,等比数歹！J｛an｝的首项为右公比为一万，

令t=（一扑则一呆t4，Sn=l—t,

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