云南省昆明市西山区2024-2025学年高三（普通班）下学期期末考试数学试题（含解析）

云南省昆明市西山区民中2024-2025学年高三（普通班）下学期期末考试数学试题试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

有/（/）—（（xj>0成立,已知a=/0n»）,

1.定义在R上的偶函数/（九），对V%,8，°），且石

x2-x1

C_j_\

b=f,则。，b,c的大小关系为（）

k7

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

2.关于函数/（x）=4sin[gx+g]+4cos[gx+g],有下述三个结论：

IT

①函数/（%）的一个周期为不；

2

jr37r

②函数f（x）在上单调递增；

_24_

③函数/（x）的值域为[4,472].

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②B.②C.②③D.③

22_

3.双曲线C：二一M=1（。〉0,b>0）的离心率是3,焦点到渐近线的距离为e，则双曲线C的焦距为（）

ab

A.3B.372C.6D.672

4.如图所示，矩形A3CD的对角线相交于点。，E为AO的中点，若赤=4也+〃而（4〃€氏），则2+〃等于

（）.

C.1D.-1

5.在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若2(〃cosA+acos3)=c?,b=3,3cosA=l,则。=

6.已知R为抛物线C:V=8x的焦点，点在C上,若直线AE与C的另一个交点为3,则|AB|=()

A.12B.10C.9D.8

7.设等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若S2=3,54=10,则$6=()

A.21B.22C.11D.12

8.函数/(%)=」(二+1)的大致图象是

-二

-X1

TT

9.函数/(%)=Asin(<ur+0)(其中A>0,<y>0,\(p\<-)的图象如图，则此函数表达式为()

2

当匕3”57T

A./(x)=3sin12%+?)B-/(x)=3sinQx+^

C./(x)=3sin^2x-^D./(x)=3sinQx-^

L,J3=b+^,则a+〃的最小值是()

10.已知〃>0,b>0,a+b=1,若a=4Z+-

ib

A.3B.4C.5D.6

11.已知抛物线C:y2=8x的焦点为R,AB是抛物线上两个不同的点，若|A/|+|3月|=8,则线段A5的中点到

y轴的距离为()

3

A.5B.3C.-D.2

2

12.以下关于/(%)=51!12%-852%的命题，正确的是

27r

A.函数〃尤)在区间0,上单调递增

B.直线x=£需是函数y=/(x)图象的一条对称轴

O

C.点0是函数y=/(九)图象的一个对称中心

D.将函数y=/(x)图象向左平移需！个单位，可得到y=JIsin2x的图象

8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若a=log231=log32，贝ijab=,lga+lgb=.

jr

14.已知向量,与5的夹角为1，I菊=151=1，且(万—入5),则实数4=.

15.若sin(ar+?)=——,cre(0,it),贝!1cos(2-a)=________.

6312

16.若函数〃x)=tix+lnx(aeR)的图象与直线y=3x—l相切，则。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，已知椭圆口日+匚；=1,匚为其右焦点，直线匚：匚=匚口+1(：：：］<0)与椭圆交于匚(匚〃匚/),口(口>口D

两点，点二，二在二上，且满足|二二|=|二二二二|=|二二|,|二匚|=|二二〉(点二二二二从上到下依次排歹U)

(/)试用二，表示|二二|：

(卬证明：原点二到直线/的距离为定值.

C2

18.(12分)已知在AABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,AABC的面积为一一.

2cosC

(1)求证：tanC=sinAsinB；

(2)若C=%,求cos(A—5)的值.

19.(12分)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E是边AD上一点,且AE=2ED,点”是跖的中点,

将"BE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且满足SC=S£>.

(1)证明：SH_L平面BCDE；

(2)求二面角C—SB—E的余弦值.

20.(12分)已知函数/(x)=|x+l|-|x+a|.

(1)若a=-l,求不等式/(尤)…—1的解集；

(2)若“VxwH,/(%)«2。+1|"为假命题，求。的取值范围.

X—1H---1

21.(12分)已知曲线C的极坐标方程为Q=4cos8,直线/的参数方程为《2。为参数).

y=-t

I2

(1)求曲线C的直角坐标方程与直线/的普通方程；

(2)已知点”(1,0),直线/与曲线C交于A、B两点,求H〃A|-|M刮.

x=2G+at

22.(10分)在平面直角坐标系x0y中，直线/的的参数方程为「(其中，为参数)，以坐标原点。为极点，

y=4+J3/

X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点4的极坐标为12,看［,直线/经过点4.曲线C的极坐标方程为

P4cos

(1)求直线/的普通方程与曲线。的直角坐标方程；

(2)过点。(百,0)作直线/的垂线交曲线C于RE两点(。在x轴上方)，求击一佥的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.

【详解】

解：对Vx；,X2e,且七Nx,,有""）_>o

马一%

/（%）在工€（-8,0）上递增

因为定义在R上的偶函数/（九）

所以/（九）在Xe（0,+8）上递减

又因为log2，=log26〉2,l<ln〃<2,o<e<1

所以Z>>a>c

故选：A

考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.

2.C

【解析】

n37r1TC77rl7/-，/（x）=4、/5sin（<x+^|[,再利用单调性

①用周期函数的定义验证.②当xe时，-x+-e—-

124」2311224_12）

判断.③根据平移变换，函数/（%）=4sin[gx+g]+4cosf1-x+-

的值域等价于函数

g(x)=4singx+4cosgx的值域，而g(x+〃)=g(x),当xe[0,i]时，g(x)=40sin[gx+g]再求值域.

【详解】

因为小+f]=4sinf+爸+4C«L==4cos||+4sinf-x+—j丰f(x),故①错误;

121j121)

,「％3TU~\1%「7»17万1~、4sin[gx+?J—4cos+=4&sin[；x+^|J,

当工£一,—时，一九—£---,----，所以/(%)=

124」23L1224J

IJTJT1\jTTT37c

e所以/（%）在不，一丁上单调递增，故②正确;

函数/"(%)=4sin[gx+?)+4cos171的值域等价于函数g（x）=4singx+4cos1gx的值域，易知

一X4-一

232

g(x+i)=g(x),故当xe[0,;r]时，g(x)=40sin(gx+q卜[4,4a],故③正确.

故选：C.

本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.

3.A

【解析】

根据焦点到渐近线的距离，可得b,然后根据尸=。2-〃,e=£,可得结果.

a

【详解】

由题可知：双曲线的渐近线方程为法土分=0

取右焦点E（c,0）,一条渐近线=。

则点口到/的距离为5^=血，由〃+储=02

击+一

所以匕=0，则。2一片=2

92

所以焦距为：2c=3

故选：A

本题考查双曲线渐近线方程，以及七"c,e之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为6,属基础题.

4.A

【解析】

——1.3—13

由平面向量基本定理，化简得DE=—AB--AD,所以九=—,n=—-,即可求解，得到答案.

4444

【详解】

由平面向量基本定理，化简正=匈+'豆=而+!/=—及+工（囚豆+配）

1一3——131

=-AB——AD,所以九=—,H=—―,即九+|i=_—,

44442

故选A.

一1一3一

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到DE=—AB-?AD是解答

44

的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题.

5.B

【解析】

由正弦定理及条件可得2（sin5cosA+sinAcos6）=csinC,

即2sin（A+6）=2sinC=csinC.

QsinC>0,

c=2,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2x2x3x-=9

3o

:・a=3.选B。

6.C

【解析】

求得A点坐标，由此求得直线A尸的方程，联立直线A尸的方程和抛物线的方程，求得3点坐标，进而求得却

【详解】

抛物线焦点为尸（2,0）,令％=1,/=8,解得y=±20,不妨设A（l,2虚），则直线AE的方程为

了=普（》_2）=-2应（x—2）,由解得川1,2应）,网4,—4立），所以

\AB\=^（4-1）2+（-472-272）2=9.

故选：C

本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.

7.A

【解析】

由题意知52,54-52，£-54成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出醺的值.

【详解】

解：由｛凡｝为等差数列，可知$2,54-$2,S6-S4也成等差数列，

所以2(邑—S2)=S2+S6—S,，即2x(10—3)=3+S6—10,解得§6=21.

故选:A.

本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和

公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.

8.A

【解析】

利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.

【详解】

由题意可知函数/(可为奇函数，可排除B选项；

当x<0时，/(^)<0,可排除D选项；

当x=l时，f(l)=ln2,当x=3时，/(3)=些，ln2>皿，

即/。)>丁()，可排除C选项，

故选：A

本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题.

9.B

【解析】

由图象的顶点坐标求出A,由周期求出通过图象经过点求出。，从而得出函数解析式.

【详解】

解：由图象知A=3,7=4(当_与］=4»，则0=0=!，

122)4n2

图中的点应对应正弦曲线中的点(肛°)，

137cTC

所以一乂——+夕="，解得"=一,

224

故函数表达式为/（x）=3sin[gx+£].

故选：B.

本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属

于基础题.

10.C

【解析】

根据题意，将服b代入a+/，利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】

/?>O,a+b=\,

C1,1,1,1u

a+/3=〃+—+/?+—=1+——>1+--------^=5

abab1+b],

当且仅当a=b=!时取"=''号.

2

答案：C

本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的

内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最

后一定要验证等号能否成立，属于基础题.

11.D

【解析】

由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知IAEI+18歹|=石+2+%+2=8，继而可求出%+%=4,

从而可求出AB的中点的横坐标，即为中点到V轴的距离.

【详解】

解：由抛物线方程可知，2P=8,即0=4,.•./（2,0）.设4（%,%）,3（为2，%）

贝“AF^=Xj+2,|BF^=x,+2,即|AF\+1BF|=%+2+々+2=8,所以西+4=4.

所以线段的中点到y轴的距离为受土卫=2.

2

故选:D.

本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得AB两点横坐标的和.

12.D

【解析】

利用辅助角公式化简函数得到/(x)=V2sin(2x-^),再逐项判断正误得到答案.

【详解】

f(x)=sin2x-cos2x=yf2sin(2x--)

(OA1Q

A选项，xe0,——2x--G(一■7,二^一)函数先增后减，错误

I3J4412

B选项，x==。不是函数对称轴，错误

84

C选项，x=-^2x--=-,不是对称中心，错误

444

D选项，图象向左平移需(个单位得到y=J^sin(2(x+|0—?)=后sin2x,正确

故答案选D

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三

角函数是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.10

【解析】

①根据换底公式计算即可得解；

②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.

【详解】

①由题：«=log23,Z?=log32,

贝I]ab=log23-log32=log。3-=1；

'log23

②由①可得：lga+lgb=lgab=lgl=O.

故答案为：①1,②0

此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.

14.1

【解析】

根据条件即可得出小B=g，万2=1,由45)即可得出无(a—25)=0,进行数量积的运算即可求出此

【详解】

•••向量苕与B的夹角为三，修|=归|=1,

a•-Xb)=5--A3-b=1——=0；

/.k=l.

故答案为：1.

考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件.

-4-72

15.

6­

【解析】

所以/因为奴①㈤，所以个，又=」＜

因为（。+/+哈”力"3£sin（a+*0所

以。+工€（兀,-^）,所以

66

/兀、1/1、22V271、7l兀、r兀/兀、.71.兀、

cos(a+—)=-J1-(--)=———.cosz(--a)=cos[r——(a+—)]=cos—cos(cif+—)+sin—sinz(cr+—)

=旦（一逑）+名-4-72

2326

16.2

【解析】

f'(xa)=a+—=3

设切点人（％,%）由已知可得＜X。，即可解得所求.

f(x0)=axQ+Inx0=3x0-1

【详解】

设4(%,%),因为/<x)=a+L所以。+—=3,即％=3%-1,又为=/+ln%,%=3%-1.所以In%=0,

xxo

即4=1,a=2.

故答案为：2.

本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较易.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（/）|二二|=2一・二］；（〃）证明见解析

【解析】

⑺直接利用两点间距离公式化简得到答案.

（//）设二（二3，二；），二（匚心二），联立方程得到二7+二；=若，二二；=E，二$+二=三，代入化简得到

二；=二；+A计算得到证明.

【详解I

⑺椭圆口:4+匚;=1，故二（逐,0）,

i-CJ-2、3二/+4=2-

（⑺设二（二;，二）二（1.匚J则将匚=二二+二代入三+口；=1得到:

（疝+7）二;+8H二+4二；-4=。故二7+二;=悲:/二：=索，

*—“二+」

二；

、I-一-匚》।=41

।二二।=।二二，故二==二二『丁二=，得到二•二.二：­'：-；,

口口4-—4口口+/

|口口|=|[1口故万石|二1-口|=2—?二;，同理：山+匚二|二，-二」=2-W二;,

由己知得：二：，:：二.-二.二，或二？；，Z；>Z；>二，，

故4+匚;|（二,+二;）一（匚3+二力|=?|二I;一二」,

即“TF」率+=2v7-'寺二；化简得到二；=二；+上

故原点二到直线I的距离为二=二=/为定值.

"一二-

本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18.（1）证明见解析；（2）

6

【解析】

c1

（1）利用-------=—absinC利用正弦定理，化简即可证明tanC=sinAsin6

2cosC2

（2）利用（1）,得到当C=工时，sinAsin5=走，

63

得出cos（A+3）=-cosC=-cos—=，得出cosAcosB=，

''626

然后可得cos（A—6）

【详解】

C21

证明：（1）据题意，得-------=—absinC

2cosC2

c2=absinCcosC，

sin2C=sinAsinBsinCcosC•

又•••Ce（O,»）,

sinC=sinAsinBcosC，

tanC=sinAsinB.

解：（2）由（1）求解知，tanC=sinAsinJB.

当C=乡时，sinAsinB=•

63

又cos（A+8）=-cosC=一cos.=~~~9

cosAcosB-sinAsinB=------，

2

•••cosAcos3=—且,

6

：.cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

___r+T

一6

本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题

19.（1）见解析；（2）B

3

【解析】

（1）取CD的中点M，连接胸，SM,由SE=Sfi=2,进而由SC=SD,得SMLCD.进而CD,

平面SHM,进而结论可得证（2）（方法一）过〃点作CD的平行线GH交6C于点G,以点H为坐标原点，

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系”-孙z,求得平面SBC,平面S3E的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中点N,上的点尸，使连接HN,PN,PH,得

HNLBS,HP工BE，得二面角C—S3—七的平面角为NPNH,再求解即可

【详解】

（1）证明：取CD的中点M，连接胸，SM,由已知得AE=AB=2,所以SE=S3=2,又点”是班的中点,

所以SHLBE.

因为SC=S。，点M是线段CD的中点，

所以SMLCD.

又因为所以从而CD,平面阳

所以CDLSH,又CD,助不平行，

所以平面6a见.

（2）（方法一）由（1）知，过〃点作CD的平行线GA交于点G,以点H为坐标原点，所在直线

分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系”一孙z,则点3（1,—1,0）,C（l,2,0）,£（-1,1,0）,

S（0,0,72）,

BC

所以配=(0,3,0),BE=(-2,2,0),廓=(-4,1,0).

设平面SBE的法向量为沅=（%,%,zj,

m-BE=0

由＜令％=1,得沆=(1,1,0).

m-BS=0-X]+%+A/^Z]=0

同理，设平面SBC的法向量为力=（%2，%/2）,

n-BC=0%=0

由＜—，得〈

n-BS=Q-%2+%+=0

令Z2=l,得万=(夜,0,1).

m-nA/2_A/3

所以二面角C—S3—E的余弦值为cos〈粗，为〉=

年6—3

（方法二）取BS的中点N,BC上的点P,使连接HN,PN,PH,易知HN_LBS,HP工BE.

由（1）得SHLHP,所以HP,平面BSE,所以HP工SB,

又HNLBS,所以5S,平面PfflV,

所以二面角C—SB—E的平面角为NPNH.

又计算得NW=1,PH=6,，PN=6

1_A/3

所以cos/PNH=

Z/3-T-

本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题

1

20.(1)--,+oo

2

(2)[-2,0]

【解析】

（D）当a=-1时，将函数/（口写成分段函数，即可求得不等式的解集.

(2)根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即7(x).12a+l|"为真命题，只需满足

/(%口.」2。+1］即可.

【详解】

-2,x<-1,

解：(1)当a=—l时，y(x)=|x+l|-|x-l|=<2x,-l<x<l,

2,x>1.

由/(x)..L1,得X…--.

故不等式…—1的解集为—；，+，!•

(2)因为“VxeH,〃x)<|2a+1”为假命题,

所以/(%)..|2a+1”为真命题，

所以“Ha…W+L

因为/(x)=|x+l|-|x+a|„|(x+l)-(x+a)|=|a-l|,

所以/(%)1mx=|a—1|,则|。-1|…|2a+l|,所以(a-Ip..(2a+叶,

即"+2心0,解得一2釉0,即。的取值范围为［—2,0］.

本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.

21.(1)(%-2)+_y2=4.y=且x—且⑵V3

33

【解析】

(1)根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；

(2)设A,3两点对应的参数分别为6,t2,将直线/的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.

【详解】

(1)对于曲线C的极坐标方程为。=4cos。，可得p2=4pcos。，

又由《.八，可得必+丁2=4%，即(X—2)一+/=4,

y=psmO'、/

所以曲线C的普通方程为(％-2)2+)2=4.

%=1+

由直线/的参数方程为｛2（/为参数），消去参数可得上=里，即

1x-13

直线/的方程为＞=#0—1）,即〉=日》一日.

垂）