2023-2024学年吉林省长春市某中学高一年级下册7月期末考试数学试题+答案解析

2023-2024学年吉林省长春市长春吉大附中实验学校高一下学期7月期

末考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位数为（）

A.7B.9C.9.5D.10

2.已知向量匚不，其中同=核，囱=2,且则向量为与日的夹角是（）

7T7T7T7T

A-6K4C-2D-3

3.从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件4=”三件产品全不是次品”，事件

B="三件产品全是次品"，事件。="三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不亚旗的是（）

A./与C互斥B.B与。互斥C./、3、C两两互斥D./与2对立

4.已知a,b是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若叱/a,a_Lb,则b_La

B.若a_La,a±6，则b//a

C.若aUa,6Ua,a〃仇b//0,贝a〃0

D.若aCb=A,a//a,b//a,a///3,b//（3,则a〃/3

5.已知正四棱台43。。—的上、下底面边长分别为1和2,且则该棱台的体积为（）

AMB”C/c7

D，2

266

6.在△48。中，角46。的对边分别为Q,b,c,已知三个向量市=（a,cos］）,

历=（acos；）尸=C

c,cos2共线，则△48。的形状为（）

A.等边三角形B.钝角三角形

7T

C.有一个角是髀直角三角形D.等腰直角三角形

第1页，共18页

7.一个电路如图所示，/、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮

A.—B.-C.—D.—

6486416

8.尻殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，尻殿

的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”.图2是根据虎殿

顶构造的多面体模型，底面/BCD是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，贝M）.

图1

A.AB=BC+EFB.AB^—+EF

EF

C.AB=BC+—D.AB=2BC-EF

2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设Z1,Z2,23为复数，下列命题正确的是（）

B.|^i|2=z：

A.\zi-z2\=区卜\z2\

C.若+?2e则z\—3为纯虚数D.若为=为，且21#0，则

第2页，共18页

10.某企业对目前销售的4,B,C,。四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统

计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：

产品升级前营收占比产品升级后营收占比

下列说法正确的是()

A.产品升级后，产品/的营收是升级前的4倍

B.产品升级后，产品8的营收是升级前的2倍

C.产品升级后，产品C的营收减少

D.产品升级后，产品B、。营收的总和占总营收的比例不变

11.如图，在社会实践活动中，李明同学设计了一款很“萌”的圆台形台灯，台灯内装有两个相切且球心均

在圆台的轴上的球形灯泡，上、下两灯泡的球面分别与圆台的上、下底面相切，且都与圆台的侧面相切，

若上、下两球形灯泡的半径分别为1和9,贝1()

7T

A.圆台形台灯的母线所在直线与下底面所成角的大小为可

B.圆台形台灯的母线长为竽

C.圆台形的上、下底面半径之积为9

D.圆台形台灯的侧面积大于2800

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若一组数据4的，4X2,•••,4的2的中位数为16,方差为64,则另一组数据2i—1,x2-l,■■■,x12-l

的中位数为,方差为.

13.在矩形48CD中，AB=1,4D=，点M在对角线/C上，点N在边CD上，且布？=；就，

丽=:虎,则M.前=_________.

O

第3页，共18页

14.非直角△40。的内角A,B,。的对边分别为Q,6,C,若sin2A+sin2B=3sin2C，则

tanAtanC+tanBtanC

tanAtanB

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图，边长为4的正方形/BCD中，点E,9分别为43,6。的中点.将△/ERABERZSOCF分别沿

折起，使4,R,。三点重合于点P.

OE。

(1)求证：PDLEF；

(2)求三棱锥P-EF。的体积;

(3)求二面角P-EF-D的余弦值.

16.(本小题15分)

如图，在平面四边形中，48=40=4,BC=6.

-----------------------'C

(I)若4=^,C=3,求sinNB。。的值；

(11)若。。=2,cos4=3cos。，求四边形48CD的面积.

17.(本小题15分)

第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功

的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现

随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.

第4页，共18页

八频率

组距

0.045------------------------------

0.025---------------------

0.020---------------------------------------

a|

0^45556575859‘5分叙/分

(1)求。的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值了，中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表，中位数精确到0.1)

(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽

签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候

选人，求中签者中男生比女生多的概率.

18.(本小题17分)

如图，四棱锥C—/OP兄与三棱锥Q—48。构成了一个组合体，其中。在线段RC上，且P、。、B三点

共线.四边形/BCD是边长为2的正方形，PR〃4D且PR=2,PB=2遍.O为棱C。中点，且。Q，平

面PBC

⑴证明：OQ〃平面40尸及；

⑵证明：◊。，平面/3。。；

(3)求平面ADPR与平面ADQ所成角的大小.

19.(本小题17分)

为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各

玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如

下表：

第5页，共18页

游戏一游戏二游戏三

箱子中球的大小质地完全相同的红球3个，白球2个

颜色和数量(红球编号为“1,2,3”，白球编号为“4,5”)

取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球

获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为m获胜

(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；

(2)一名同学先玩了游戏一，试问〃7为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大.

第6页，共18页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查百分位数计算，属于容易题.

【解答】

解：•「8x70%=5.6，数据4,5,6,7,9,10,11,12的第70百分位数为10,

故选D

2.【答案】B

【解析】【分析】由垂直关系结合数量积公式计算即可.

【详解】因为（有一而，万，所以（日一办1=潦—万.不=0，即2—20COS（年弓=0,

侬（其曰=彳，因为向量为与3的夹角范围为［0,司，所以向量］与用勺夹角是孑

故选：B

3.【答案】D

【解析】【分析】随机抽取三件产品，得出总事件，再分别得出事件/,事件3,事件。包含的事件，再由

互斥事件及对立事件的定义即可判断出结果.

【详解】随机抽取三件产品，总事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”，“2件次品,

1件正品”，“3件次品，0件正品”

事件4="三件产品全不是次品”即“0件次品，3件正品”，

事件3=”三件产品全是次品”即“3件次品，0件正品”，

事件。=”三件产品有次品，但不全是次品”即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”

由互斥事件的定义知：/、B、C两两互斥，故正确；

由互斥事件的定义知：/与8互斥，但是/与2的和事件不是总事件，故/与2对立不是对立事件，故。

错误.

故选：D.

4.【答案】D

【解析】【分析】根据空间中线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理分析判断，即可得出结果.

【详解】由a,b是两条不同的直线，a,口是两个不同的平面，

则b与a可能相交、平行或beQ,/错；

第7页，共18页

若a_La,a_Lb,则〃/a或bUa，B错;

若aUa,bUa,a〃0,〃/0,则a〃。或a,0相交，C错;

若anb=A,则a,b确定一个平面，设为），

又a//a,6//a,a〃0,b//0,所以7〃叫）〃。，

则由面面平行的判定定理得a〃/3,。正确.

故选：D

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查棱台的体积，属于基础题.

利用棱台的体积公式即可求解.

【解答】

解：连接DB,

分别取》81、中点。，H,连接。〃、DiH,如下图所示:

因为ABCD-44。山1为正四棱台，

则四边形43。山1均为正方形，且。〃垂直于上下底面，DDi=BBi，

易知场〃BH,DB=BH=&,

故四边形01田"为平行四边形，

则BBJ/D1H,且

因为

则。0」0诅，

又DDi=BBi=D^H,且DH=5DB=A/2,

由DiD2+01H2=DH2,即2DW=2,

解得。出=1,

由08_1_面A^B^CiDi,D\0C面A\B\C\D\,

则OHS。，

第8页，共18页

2

则OH=—=

2

则四棱台的高为配.

2

又正方形AxBiCiDi的面积为1,正方形ABCD的面积为4,

故正四棱台ABCO-4耳6。1的体积

V=|(l+4+"1x4)x彳=等

故选：B.

6.【答案】A

RA

【解析】【分析】由向量共线的坐标运算可得acos,=bcosq,利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公

AR

式整理可得sin?=s呜，结合角的范围求得幺=小同理可得3=。，则答案可求.

AR.•.acosf^cos^,

【详解】,.响量1=(Q,cos—),n=(6,COS7)共线,

BA

由正弦定理得：sinAcos—=sinBcos—,

-44B°.BBAA「B

2sm—cos—cos--=2sm—cos—cos—,叫sm—sm

乙乙乙乙乙乙乙—y

A7TBTVABRn._

NN//

同理可得8=C.

△ABC形状为等边三角形.

故选：A.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于

基础题.

先由条件求得灯不亮的概率，再用1减去此概率，即得所求.

【解答】

解：开关C断开的概率为:，开关。断开的概率为上，开关/、2至少一个断开的概率为l—="

22224

113

开关£、尸至少一个断开的概率为1—彳*力=：,

224

1133Q

故灯不亮的概率为

224464

第9页，共18页

Q55

故灯亮的概率为1-与=3

6464

故选：C.

8.【答案】A

【解析】【分析】设点£在底面/BCD上的射影为G,作GM_LBC，GNLAB，垂足分别为M,N,设四

个侧面与底面的夹角为仇即可得到NEMG=NENG=。，根据三角形全等得到方程，整理即可.

【详解】如图所示，设点£在底面45CD上的射影为G,作GWLBC,GN1AB,垂足分别为M,N.

则/EMG为侧面EBC与底面ABCD的夹角，NENG为侧面EBAF与底面ABCD的夹角,

设四个侧面与底面的夹角为仇则在和中，AEMG=AENG=Q,

AD_尸尸

又GE为公共边，所以GN=GM,即一=—=寸，整理得AB=BC+EF.

故选：A

9【答案】AD

【解析】【分析】根据复数模的性质判断N，取特殊值判断8C，根据复数模的性质、共辗复数模的性质判

断。.

【详解】由复数模的性质知区•？2|=阂・区|，故/正确;

取Z=K则阂2=屏/=—1,故3错误；

取力=1,3=0，则21+06H,々-22=1为实数，故。错误；

因为㈤=1药|=肉|,㈤舛，所以刍=抖=%=附，故。正确.

Z1⑶㈤Z1

故选：AD

10.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查扇形图，属于基础题.

根据扇形统计图由产品升级前的营收为a,升级后的营收为2a,结合图中数据即可结合选项逐一求解.

【解答】

第10页，共18页

解：设产品升级前的营收为。，升级后的营收为2a.

对于产品/,产品升级前的营收为0.1a,升级后的营收为2ax0.2=0.4a,故升级后的产品/的营收是

升级前的4倍，/正确；

对于产品2,产品升级前的营收为0.2a,升级后的营收为2ax0.2=0.4a,故升级后的产品3的营收是

升级前的2倍，8正确；

对于产品C,产品升级前的营收为0.5a，升级后的营收为2ax0.4=0.8a,故升级后的产品C的营收增

加，C错误；

产品升级后，产品用。营收的总和占总营收的比例不变，。正确.

故选：ABD

11.【答案】BCD

【解析】【分析】对小作辅助线，求出。28，5。2,结合边角关系得出圆台形台灯的母线所在直线与下

底面所成角；对2,由sinNNaE=sin(7r-NNO2F)=sin/Oi。2H结合边角关系得出母线长；对C,求

出tan/OzAR，进而由边角关系得出从£。后；对。，由侧面积计算得出圆台形台灯的侧面积.

解决本题关键在于将三维图形转化为二维平面图形，从而利用平面几何知识处理问题.

【详解】对于/：如下图所示，点刊,为球面与圆台的切点，

过点Oi作O1HLNO2,垂足为〃，设小球半径为入大球半径为五，

易知圆台形台灯的母线所在直线与下底面所成角为/NAF,

NH=OiM=r=1,02H=R-NH=8,

HO>84

cosNNAF=COS(7T—Z.NO2F)=cos/O1O2H==—=-,

7F

故NNAFra，幺错误;

o

3

对于B：因为sinANAF=sin(7r-ANO2F)=sinNOQ2H=一,

5

sin-ANAF1—cosANAF

对于C：tanZ.O2AF=tan-ZTVAF2

1+cosANAF

cos-Z.NAF

2

AF-——____---27801

"tanZO2AF一1一"，DE=AF-DA­cosANAF=27--=-,

—66

第n页，共18页

则圆台形的上、下底面半径之积为27x：=9,故C正确；

O

对于Z)：S=TT(AF+DE)AD=万义(27+()x='，。万>2800,故D正确;

13/39

故选：BCD

12.【答案】3；4

【解析】【分析】

本题考查统计中的中位数与方差，考查数据处理能力，属于基础题.

利用中位数与方差的定义计算即可.

【解答】

解：因为数据4为，4x2,•••,4的2的中位数为16,方差为64,所以数据①1,①2,•一，的2的中位数为

4,方差为豫=4,所以数据3—1,x2-l,■■■,叫2—1的中位数为4—1=3,方差为4.

故答案分别为：3；4

7

13.【答案】-

o

【解析】【分析】

本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，考查了平面向量数量积的计算，属于中档题.

以｛幅,加｝为基底向量表示言，而，再根据垂直关系结合数量积的运算求解.

【解答】

解：以｛溷，:W｝为基底向量，则前=加+而,

第12页，共18页

=就+C^=|前-|方=|（加+砌-+

因为43=1，AD=V3'且ABJ.AD，

则瓦标=0，

所以示.前二（\15+：口卜（血+前）=,幅2+|前2=]

故答案为：（7

o

14.【答案】1

【解析】【分析】由正弦定理角化边得Q2+M=3C2,再由三角恒等变换结合边角互化得出答案.

【详解】因为6加24+s加2石=3,加2。，所以解+匕2=3。2,

tanAtanC+tanBtanC(cosBcosA

------------------------==tanC•^-―-+-------

tanAtanB-----------------\smBsinA

sinC(cosBsinA+sinBcosA

cosC\sinBsinA

sinCsin(A+B)sinCsinC

cosCsinAsinBcosCsinAsinB

_c2_2c2_2c2_

a2+62—c2a2+62—c22c2

-----------ab

2ab

故答案为：1

15.【答案】解：（1）证明：因为在正方形45CQ中4D，/E,CD，CF,

折叠后即有PD1PE.PDLPF,

又PECPF=P,PE,PFC平面尸£凡

所以PDL平面?跖，而EFC平面尸跖，

故PD1EF；

（2）由题意知PE=PF=2,PE1PF,故SAPEF=\xPExPF=2,

118

故Vp—EFD=W义S丛PEFXPD=-x2x4=-；

ooo

（3）取线段M的中点G,连接PG,0G,

第13页，共18页

因为PE=PF,DE=DF,

所以有PG_LEF,0G_LEF,PGc¥ffiP£F,DGCnDEF,

所以NPGD即为二面角P-EF-D的平面角,

又由(1)得PD1平面PEF,PGc平面PEF,

故PDLPG,而后尸=2四,。3=；七P=四,DG=VPD2+PG2=J42+(a)2=3\/2，

PG_\/2_1

故cos/PGO丽=初=3

即二面角P-EF-。的余弦值为。.

O

【解析】(1)先证明平面尸跖，根据线面垂直的性质定理即可证明结论;

(2)根据棱锥的体积公式即可求得答案；

(3)作出二面角P—ER—。的平面角，解直角三角形即可求得答案.

27r

16.【答案】解：(I)在△48。中，•.•AB=4D=4,4=—,

BD=y/AB2+AD2-2AB-AD-cosA=

BCBD

在△BCO中，由正弦定理得

sinABDCsin。'

6xsin-

BCsinC3.

sin/BDC=______3=一,

BD4

(n)在△AB。、△06。中，由余弦定理得,

BD2=AB2+AD2-2ABxADcosA=42+42-2x4x4xcosA=32-32cosA，

BD2=CB2+CD2-2CBxCDcosC=62+22-2x6x2xcosC=40-24cosC，

则4cosA—3cosC=—1,

又因为cos4=3cosC,所以cosA——cos。=一1

39

第14页，共18页

所以皿4="，sin°=^

1,.2421「八4,58^5+16A/2

故四边形ABCD的面积为S^ABD+S^BCD=-x4x4x-------P-x6x2x------=

23293

【解析】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，三角形的面积公式，以及由一个三角函数值求其他三

角函数值，属于中档题.

(I)根据已知及正、余弦定理，求出sin/BO。的值；

(H)根据已知及余弦定理，求得sin4=a2,sin。=生狗，即可利用三角形的面积求解.

39

17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知10(2Q+0.025+0.045+0.020)=1,

解得a=0.005,

«=50x10x0.005+60x10x0.025+70x10x0.045

+80x10x0.020+90x10x0.005

=69.5,

众数为70,

因为前2组的频率和为10x0.005+10x0.025=0.3<0.5,

前3组的频率和为10x0.005+10x0.025+10x0.045=0.75>0,5,

所以中位数在第3组，设中位数为如

则0.3+0.045(rzi-65)=0.5,解得mQ69.4,

所以中位数为69.4.

(2)记3名男生分别为N,B,C,记2名女生分别为a,b,

则所有抽签的情况有：

未中签N5,中签Cab；未中签/C,中签及仍；未中签/a,中签8c6；

未中签/b,中签BCa；未中签BC,中签Na6；未中签及z,中签/Cb；

未中签8"中签NCa；未中签Ca,中签/劭；未中签C6,中签/&；

未中签中签4BC,共有10种情况，

其中中签者中男生比女生多的有：未中签/a,中签3c6；未中签中签8Ca；

未中签Ba,中签NCb；未中签26,中签/Ca；未中签Ca,中签48b；

未中签C6,中签/&；未中签中签/8C,共7种，

所以中签者中男生比女生多的概率为，.

第15页，共18页

【解析】本题主要考查频率分布直方图，古典概型概率的计算公式，考查运算求解能力，属于中档题.

(1)由频率和为1列方程可求出a的值，根据平均数的定义可求出小由众数的定义可求得众数，先判断中

位数的位置，再列方程求解即可；

(2)利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可.

18.【答案】解：(1)连接RD,■.■PR//AD,PR=AD=2,

AD//BC,AD=BC=2,

：,PR//BC,PR=BC,

即四边形尸RBC为平行四边形，则点0为RC的中点，

又。为DC中点，

Q。，平面ADPR,ROU平面ADPR,

」.0Q〃平面ADPR.

⑵平面P2C,(2。,3。＜2平面尸3。，

：,DQ1BC,DQLQC

又BC1DC，OC,OQU平面RO),DCHDQ=D,

RCD,QOU平面RCD,

BC1QO.

又RCU平面AC。，BCLRC.

在Rt/\QBC中，QC=\/6—4=y/2,

DQ—\/4-2=A/2,DQ=QC,QO-LDC

■：DCCBC=C,DC,BCC平面ABCD,

QOmABCD.

(3)由。QrBC,BC7/a。，可得0QL/0,

又BC_L平面RC，平面RCB,

第16页，共18页

DRLBC,DRLAD,

则平面ADPR与平面ADQ所成角为ARDQ,

又点0为RC中点，DQ±RC,

：,RD=DC=2,

在RtZXQR。中，RQ=QC=V2=DQ，

则tanARDQ=第=1,ARDQ=45°,

则平面ADPR与平面40。所成角为45°.

【解析】(1)由平行传递性证明四边形P73C为平行四边形，得出点。为RC的中点，再由中位线定理证明

Q0//RD,进而由线面平行判定证明0Q〃平面4DPR

(2)由。Q,平面P8C结合证明3。，平面RCA,进而得出BCLQ。，再证明△OQC为等腰三角

形，从而得出Q。，。。，最后由判定证明即可；

(3)由。RL4。，。。，/。结合定义确定平面/。网与平面4。。所成角为/h。<3，再由边角关系求解即

可.

19.【答案】解：(1)设事件4="游戏一获胜”，B="游戏二获胜"，C="游戏三获胜”，

游戏一中取出一