轴对称中的最值模型问题（将军饮马）重难点题型专训（学生版）-初中数学

轴对称中的最值模型问题（将军饮马等）重难点题型专训

值题型目录

题型一将军伏马殛段和最值

题型二将军饮马之线段差量值

题型三将军饮马之两定一动♦值

题型四三点共线最大值

题型五双对称关系求周长最小值

题型六两定两动型最值

题型七两动一定最值

题型八费马点最值问题

紧知识梳理

将军饮马中最短路径问题四大模型

一两定点在直线的异侧

问题1作法图形原理

'A

.4

L连接AB,与直线，的--------------1------------/两点之间，线段最短，此

B

交点P即为所求。时P4+PB的和最小。

在直线1上找一点R使得PAB

+PB的和最小。

二两定点在直线的同侧

问题2：将军饮马作法图形原理

4.

•B化折为直；

-----------------------------/作B关于直线/的对称点1

XB两点之间，线段最短，止匕

。，连A。,与直线/的交

在直线Z上找一点P,使•-/时Q4+PB的和AC最

点P即为所求。(

得小。

PA+PB的和最小。

三两动点一定点问题

问题3：两个动点作法图形原理

作P关于。力的对称点两点之间，线段最短，

P1,作P关于OB的对称止匕时PC+PO+CD

4

/

/

-------------«

点P2,连接P1P2。的和最小。

点P在锐角乙4OB的内部，

在OA边上找一点C,在OBoD'M

边上找一点。,，使得*p2

PC+PD+CD的和最小。

四造桥选址问题

问题4：造桥选址作法图形原理

A

Mm

A

将点A乡向下平移

nXMm两点之间，线段最短，止匕

NMN的长度得4,连

B时4M+MN+BN的最

交加于点N,过N

口小值为4B+上W。

直线ntHn,在m,n上分别作7W_L小于河。NX

求点Af、N,使MN_Lm,B

MN_L几，且AM+MN+

BN的和最小。

注意:本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练.

勾股定理公式：&2+/=02

箧经典例题

A【经典例题一将军饮马江段和最值】

1.如图，在△ABC中，AB=AC,分别以点4B为圆心，以适当长为半径画弧,两弧分别交于E、尸，画直

线即，。为的中点，河为直线EF上任意一点，若BC=5,△4BC的面积为15,则BM+MD的最小

长度为（）

_____________眇

区变式训练

2.如图，在电△ABC中，乙408=90°,AC=6,BC=8,AB=W,40平分/R4C,若P、Q分别是40

和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

A.1.2B.2.4C.4.8D.9.6

3.如图，在△4BC中，48=/。=10,8。=12,AD=8,AD是NR4c的角平分线，若E,F分别是4D

和AC上的动点,则EC+EF的最小值是.

4.唐朝著名诗人李颁的代表作品《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含

着一个有趣的数学问题.如图1,诗中将士在观望烽火之后从山脚下的4点出发，走到河边饮马后再到

B点宿营.请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题.

⑴如图2,作点B关于直线I的对称点B',连接AB'与直线，交于点。，点。就是所求的位置.

理由：如图3,在直线Z上另取不同于点。的任一点O,连接40,BC,B'C,

因为点B、9关于直线Z对称，点C、。在直线Z上,

所以CB=,C'B=,

所以AC+CB=AC+CB'=,

在AACB，中，依据,

可得

所以

即AC+CB最小.

（2）迁移应用：如图4,ZVIBC是等边三角形，N是AB的中点，4D是边上的中线，40=6,河是

4D上的一个动点，连接BM、MV,则BM+MN的最小值是.

图4

A［经典例题二将军伏马之线段差最值】

5.如图，在△ABC中，AB=CB,ZB=100°.延长线段BC至点。，使CD=BC,过点。作射线DP//

AB,点E为射线OP上的动点，分别过点。作直线EC的垂线⑷11,ON.当\AM-DN\的值最大

时，NACE的度数为.

区变式训练

6.如图，AB〃DP,E为OP上一动点，4B=CB=CD,过/作4VLEC交直线EC于N,过。作

交直线EC于点若NR=114°,当4V—ZW的值最大时，则/ACE=.

_________0

7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点.已知

△ABC的顶点均在格点上.

（1）画出格点三角形48。关于直线DE对称的；

（2）ZWB。的面积是

（3）在直线DE上找出点P,使|1%—最大，并求出最大值为.（保留作图痕迹）

8.如图，已知△4BC的三个顶点在格点上.

（1）画出△4BG，使它与△ABC关于直线对称；

（2）在直线上画出点。，使ABDM=NCDN.

（3）在直线MN上画出点P,使\PA-PC\最大.

A【经典例MH将军饮马之两定一动量值】

9.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区提供牛奶，要使两小区到送奶站的距离之和

最小，则送奶站C的位置应该在（）.

居民区4/

居民区3

口街道

居民区W

X居民区5

街道d

区变式训练

10.（2023春•黑龙江齐齐哈尔•八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位

于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所

走的最短路程是多少？

小河

:匕

牧童个八

----A东

3----------8小屋

11.（2023春・全国•八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2,过点8的直线4B,且△4BC与

/XA'BC关于直线2对称，。为线段BC上一动点，则AD+CD的最小值是

12.（2023•江苏•八年级假期作业）如图，在4ABC中，48=AC,ABAC=120°,4B边的垂直平分线DE交

AB于点。，若AE=3,

（1）求的长；

（2）若点P是直线DE上的动点,直接写出巴4+PC的最小值为.

【经典例题四三点共线最大值】

13.如图，在△48。中，4B=AC,AC的垂直平分线交AC于点N,交4B于点m，48=12cm,的

周长是20cm，若点P在直线MN±.,^\PA-PB的最大值为.

A

14.如图，AC,8。在AB的同侧，AC=2,BD=8,AB=W,M为4B的中点，若/CM。=120°,则CD

A.12B.15C.18D.20

15.如图，△ABC为等腰直角三角形，乙4cB=90°,Af在△ABC的内部，,P为射线CW

上一点，当|R4—PB\最大时，4cBp的度数是.

16.如图,方格图中每个小正方形的边长为1,点4B、C、M、N都在格点上.

⑴画出△4BC关于直线对称的△ABiG.

（2）若以N点为原点建立平面直角坐标系,点B的坐标为（0,5）,则△ABC关于①轴对称△4场。2，写出

点4,G的坐标.

（3）在直线MN上找点P使24|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出Ml的最大值.

【经典例题五双对称关系求周长最小值】

17.如图，在五边形ABCDE中，/历出=120°,/B=NE=90°,AB=BC,=在8C、0E上分别找

到一点双、N,使得△4W的周长最小，则N4W+N4W的度数为（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

区变式训练

18.如图，在四边形4BCD中，ZA=ZC=90°,N8=32°,在边48,上分别找一点E,F使△££尸的周

长最小，此时/EDF=（）

C.114°D.116°

19.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=9cm,AB的垂直平分线交AB于点Af,交AC于点N,在

直线MN上存在一点P,使P、B、。三点构成的△尸的周长最小,则4PBC的周长最小值为.

20.在草原上有两条交叉且笔直的公路OA、,在两条公路之间的点尸处有一个草场，如图，AAOB=

30°,OF=6.5.现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N,若存在Af、N使得

△PMV的周长最小，则周长的最小值是.

_________0

B

N.

O

M

【经典例题六两定两动型最值】

21.几何模型:条件:如图LA、B是直线Z同旁的两个定点.

问题:在直线I上确定一点P,使PA+PB的值最小.

解法:作点A关于直线I的对称点A/，连接48,则A8与直线Z的交点即为P,且上4+PB的最小值为

线段A8的长.

（1）根据上面的描述,在备用图中画出解决问题的图形；

（2）应用：①如图2,已知30°,其内部有一点P,OP=12,在ZAOB的两边分别有C、。两点

（不同于点O）,使APCD的周长最小，请画出草图，并求出APCD周长的最小值；

②如图3,AAOB=20°,点M、N分别在边04上，且OM=ON=2,点P,Q分别在OB、OA上,

则M尸+PQ+QN的最小值是.

区变式训练

22.如图，在四边形4BCD中，N_BAD=NB=NO=90°,AD=AB=^,E是AD中点，Af是边上的一

个动点，N是边CD上的一个动点，则AM+MN+EN的最小值是.

23.如图，在等边△ABC中，AC=12,4D是8C边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5.如果点M、N

分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为

A【经典例题七两动一定量值】

24.如图,在锐角三角形ABC中，AB=6,/\ABC的面积为18,BD平分N4BC,若E、F分别是BD、BC上

的动点，则CE+EF的最小值为.

区变式训练

25.如图所示，在等边△4BC中，点。、后、尸分别在边8C、AB,AC上，则线段+。尸的最小值是

A.8c边上高的长B.线段EF的长度C.8c边的长度D.以上都不对

26.如图，在△4BC中，ZABC=90°,BC=8,AC=10,点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则4P+PQ

的最小值等于（）

24

RC.5

B-T5

27.如图，在等腰△ABC中，AB=47=8,乙4cB=75°,AD，BC于。，点M、N分别是线段AB、AD上

的动点，则MN+BN的最小值是.

【经典例题八费马点最值问题】

28.【问题提出】

⑴如图1,四边形ABCD是正方形，4ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将

r绕点8逆时针旋转60°得到BN,连接EN、4W,CM.若连接MN,则"MN的形状是.

（2）如图2,在RtZVIBC中，/BAC=90°,AB+AC=10,求的最小值.

【问题解决】

⑶如图3,某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD,AB+BC=6千米，乙48。=60°,公园

内有一个儿童游乐场E,分别从人、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE,求三条路的长度和（即AE+

BE+CE）最小时，平行四边形公园ABCD的面积.

区变式训练

29.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点

（Fermatpoint）.已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当乙4P8=/APC=/BPC=120°

时，P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF

A.6B.3(V2+V6)C.6V3D.9

30.定义:若P为△ABC内一点,且满足/APB=ZBPC=ZCPA=120°，则点P叫做4ABC的费马点.

BC

图3

(1)如图1,若点O是等边△ABC的费马点，且。4+OB+OC=18,则这个等边三角形的高的长度为

⑵如图2,已知△ABC,分另U以AB.AC为边向外作等边△ABO与等边△ACE,线段CD、BE交于点

P,连接4P,求证:点P是△ABC的费马点；

(3)应用探究：已知有A、B、。三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q,使

得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的

位置，并证明该位置满足设计要求.

31.定义:若P为/\ABC内一点,且满足ZAPB=ABPC=ACPA=120°，则点P叫做4ABC的费马点.

(1)如图1,若点O是高为3的等边4ABC的费马点，则04+08+0。=；

⑵如图2,已知P是等边AABD外一点，且ZAPB=120°,请探究线段PA,PB,之间的数量关系,

并加以证明；

⑶如图3,已知△ABC,分另U以AB.AC为边向外作等边△ABO与等边△ACE,线段CD、BE交于点

P,连接AP,求证：

①点P是△ABC的费马点；

②PA+PB+PC=CD.

32.若一个三角形的最大内角小于120°,则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°,此时该点叫做

这个三角形的费马点.如图1,当AABC三个内角均小于120°时，费马点P在4ABC内部，此时AAPB

=ZBFC=ACPA=120°,PA+PB+PC的值最小.

___________F

（1）如图2,等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点/,B,C的距离分别为3,4,5,求AAPB的度

数.为了解决本题，小林利用“转化”思想,将AABP绕顶点A旋转到△ACP处,连接PP',此时

△ACP笃A4BP,这样就可以通过旋转变换，将三条线段出，PB,PC转化到一个三角形中，从而求出

AAPB=.

（2）如图3,在图1的基础上延长BP,在射线BP上取点。，及连接AE,AD.使4D=AP,ZDAE=

ZR4。,求证：BE=PA+PB+PC.

（3）如图4,在直角三角形ABC中,AABC=90°,乙4cB=30°,48=1,点P为直角三角形48。的费

马点，连接CP,请直接写出_R4+PB+PC的值.

普提优训练

33.（2024八年级上•浙江・专题练习）如图，△48。中，点。在边上，过。作交于点E,P

为。C上的一个动点，连接B4、尸及若E4+PE最小，则点P应该满足（）

A.PA=PCB.PA=PEC.NAPE=90°D.AAPC=ADPE

34.（24—25八年级上•全国•课后作业）如图，在四边形ABCD中，BC〃4D,CDLAD,P是CD边上的一

动点,要使上4+的值最小，则点P应满足的条件是（）

CB

A.PA=PBB.PC=PDC.ZAPS=90°D.NBPC=NAPD

35.（23—24八年级下.四川巴中.期末）如图，在△ABC中，AB=AC,分别以点A、B为圆心，以适当长为半

径画弧,两弧分别交于E、尸,画直线EF,。为8C的中点，河为直线EF上任意一点，若5,/\ABC

的面积为15,则MD的最小长度为（）

36.（23—24八年级下•河南关B州•阶段练习）如图，四边形ABCD中，ABAD=120°,=90°,在

BC,CD上分别找一点M,N,使△4W周长最小，则N4W+/⑷W的度数为（）

A.60°B.120°C.90°D.45°

37.（23—24八年级上•湖南湘西•期末）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路04、OB,如图，=

30°,在两条公路之间的点P处有一个草场，OP=4.现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别

记为M、N,存在河、N使得△「阿的周长最小.则周长的最小值是（）.

___________F

A.4B.6C.8D.12

38.（22-23八年级下•福建漳州•期中）如图，在/\ABC中，AB=AC,8。=6,SAABC=18,。是中点，

即垂直平分AB,交AB于点E,交47于点尸，在E尸上确定一点P,使PB+PD最小，则这个最小值为

（）

A.3B.6C.9D.12

39.（23-24八年级上•福建福州•期中）在平面直角坐标系xOy中，4（0,4）,动点B在非轴上，连接48,将线

段46绕点A逆时针旋转60°至47,连接OC,则线段OC长度最小为（）

B.1C.2D.3

40.（22—23七年级下•山东济南•阶段练习）如图，在五边形ABCEE中，ABAE=120°,NB=/E=90°,AB

=BC,=在BC、DE上分别找到一点M、N,使得△4W的周长最小，则乙4MN+NA7W的

度数为（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

41.（21—22八年级上.四川广元.期末）如图所示，在四边形4BCD中，40=2,乙4=/。=90°,48=60°,

BC=2CD,在AD上找一点P,使PC+PB的值最小;则PC+P8的最小值为（）

DC

C.5D.6

42.（21-22八年级上•广东广州•期中）在R力△ABC中，ZC=90°,/A=30°,点P是边上一定点，此时

分别在边AB,BC上存在点河，N使得△/射周长最小且为等腰三角形,则此时常的值为（）

43.（2024七年级下•全国・专题练习）如图，ZVIBC中，48=AC,BC=5,S0BC=15,4D，于点O,

EF垂直平分AB,交AC于点斤，在EF上确定一点P,使PB+PD最小，则这个最小值为

44.（23—24七年级下.陕西西安.阶段练习）如图，在四边形48co中，/口=/。=90°,在BC,GD上分别

找一点M,M使AAAW周长最小,此时乙MAN=80°，则ABAD的度数为

45.（23-24七年级下.山东济南.期末）在草原上有两条交叉且笔直的公路04、08,在两条公路之间的点尸

处有一个草场，如图，乙406=30°,OP=6.5.现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为

M、N,若存在M、N使得△尸AW的周长最小,则△PMN周长的最小值是.

46.（22-23七年级下•广东河源・期末）如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC=90°,/8=36°,在边48、8c

上分别找一点E、斤，使△DEF周长最小，此时ZEDF=.

47.（22-23八年级上•广东东莞・期中）如图，点4（—2,1）,8（2,3）,点尸是在c轴上，且使PA+PB最小，写

出点P的坐标

48.（22-23八年级上•湖南岳阳•期中）如图，直线Z垂直平分△4BC的48边,在直线Z上任取一动点O,连

结OA、OB、OC.若04=5,则03=.若AC=9,8。=6,则根。。的最小周长是

49.（22-23八年级上•四川绵阳•期中）在平面直角坐标系xOy中，点人的坐标是（0,2）,点B在工轴的负半

轴上且NABO=30°,点P与点O关于直线AB对称，在“轴上找到一点使PM+的值最小，则

这个最小值为.

50.（22-23八年级上•海南海口•期中）如图，在四边形ABCD中，NA=/C=90°,=36°,在边AB,BC

上分别找一点E,斤使△DEF的周长最小.此时NEER的大小是.

51.（22-23八年级上•湖北黄石・期末）如图，已知乙403=30°,OC平分乙406，在。4上有一点OM

=Kk后cm,现要在OCQA上分别找点Q,N,使QW+QN最小,则其最小值为cm.

52.（21-22八年级上•福建厦门•期末）小河的两条河岸线a〃b,在河岸线a的同侧有A、B两个村庄,考虑

到施工安全,供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ,并经由上4、P8

跨河向两村供水，其中QP，a于点P为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位

置（仅为示意图），能使三条水管长PQ+24+的和最小.已知B4=L6km,=3.2km,PQ=

0.1km,在A村看点P位置是南偏西30°,那么在入村看B村的位置是

53.（22—23八年级上•云南昆明・期末）如图，ZVLBC的三个顶点坐标分别为4（2,3）,8（1,1）,C（5,3）.

yk

（1）作出A4BC关于y轴对称的图形△ABCi.

（2）求△48G的面积；

（3）在刀轴上找一点P,使得PC+PB最小,请直接写出点P的坐标.

54.（24-25八年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知4（—3,4）,B（—1⑵,

0（1,3）.

⑴在平面直角坐标系中画出△ABC,将△4BC平移得到△HB。，已知A（l,—1），则坐标是

（2）求出△ABC的面积；

（3）在x轴上有一点尸，使得PA+PB的值最小，保留作图痕迹.

55.（23-24八年级下•广东深圳•期末）【综合实践活动】

【问题背景】如图1,4B表示两个村庄，要在4B一侧的河岸边建造一个抽水站P,使得它到两个村庄

的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？

村庄3B

村庄^

*

三三三三三三三三二河流

图1

【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：

如图2,48是直线I同侧的两个点，点P在直线I上.P在何处时，上4+P8的值最小.

画图:如图3,作口关于直线Z的对称点8,,连结48,与直线Z交于点P,点P的位置即为所求.

证明：：口和曰关于直线Z对称

/.直线Z垂直平分

：.PB=,

：.PA+PB=PA+PB'

根据“"（填写序号:①两点之间，线段最短;②垂线段最短;③两点确定一列条直线.）可得B4+

PB'最小值为（填线段名称）,此时P点是线段AB'和直线I的交点.

【问题拓展】如图4,村庄口的某物流公司在河的对岸有一个仓库。（河流两侧河岸平行，即GD//EF）,为

了方便渡河,需要在河上修建一座桥AW（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直）,请问

桥修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹,否则不给

图4

【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形4EDC为花海景区，/CDE=/E=90°,AE=80

米，。E=50米,长方形CRS归为人工湖景区,为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折

线AM-MN-BN）,A为起点，终点B在即上，8。=30米，AW为湖边观景台，长度固定不变（MN

=40米）,且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请

直接写出步行观光路线的最短长度.

眇

56.（2023九年级•四川成者B•专题练习）在△ABC中，AC=BC,点E在是AB边上一动点（不与重合）,

连接CE,点P是直线CE上一个动点.

⑴如图1,乙4cB=120°,4B=16,E是AB中点，EM=2,N是射线CB上一个动点,若使得NP+

MP的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点双和点N的位置，并简述画法；直

接写出N尸+M尸的最小值；

⑵如图3,乙4cB=90°,连接BP,NBPC=75°且BC=BP.求证：PC=B4.

57.（23-24七年级下•广东深圳・期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、

器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1.同时,对称在解决生活中的实际问题时,也往往有很大的作

用.

图（2）

【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使

口到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见.

【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.

如图2,作人关于直线m的对称点Ar,连接与直线山交于点。，点。就是所求的位置.

⑴请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：

证明：如图3,在直线山上另取任一点。，连结40,40,80,

•.•直线小是