2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：正弦定理和余弦定理的应用（含新定义解答题）（学生版+解析）

第05讲正弦定理和余弦定理的应用（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1.（23-24高二上•辽宁葫芦岛•期末）我国辽代著名的前卫斜塔（又名瑞州古塔）位于葫芦

岛市绥中县.现存塔身已经倾斜且与地面夹角60。，若将塔身看做直线，从塔的第三层地面到

第三层顶可看做线段，且在地面的射影为1m,则该塔第三层地面到第三层顶的距离是（）

A.-^-mB.C.6mD.2m

2.（23-24高三上,山东聊城,阶段练习）泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有

366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物A3,高

约为50m,在它们之间的地面上的点。（8,Q,。三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处

的仰角分别是45。和60。，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15。，则估算泰姬陵的高度CD

为（）

A.75mB.500mC.25访nD.80m

3.（21-22高一•全国•课后作业）某人在山外一点测得山顶的仰角为42。，沿水平面退后30

米，又测得山顶的仰角为39°,则山高为C）（sin42°=0.6691,sin39°=0.6293,sin3°=0.0523）

A.180米B.214米C.242米D.266米

4.（22-23高一下•河北邯郸•期末）武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建

筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度A8,在地面上共线的三点C,D,

E处分别测得点A的仰角为30。，45°,60°,且CD=DE=22m,则武灵丛台的高度A3约

为（）

（参考数据：A/6»2,449）

A

A.22mB.27mC.30mD.33m

5.（22-23高一下•河南信阳•阶段练习）青岛五四广场主题钢雕塑（如图1）以单纯简练的

造型元素排列组合成旋转腾空的"风"，通体火红，害意五四运动是点燃新民主主义革命的“火

种”及青岛与五四运动的渊源.某中学数学兴趣小组为了估算该钢雕塑的高度，选取了与钢

雕塑底部。在同一水平面上的A8两点（如图2）,在A点和8点测得钢雕塑顶端C点的仰

角分别为60。和45。，测得AB=10万'米，=150°,则钢雕塑的高度为（）

图1

6.（23-24高一下•重庆•阶段练习）碧津塔是著名景点•某同学为了浏量碧津塔ED的高，他

在山下A处测得塔尖。的仰角为45。，再沿AC方向前进24.4米到达山脚点8,测得塔尖点

。的仰角为60。，塔底点E的仰角为30。，那么碧津塔高约为（6“7,5/2«1,4）（）

A.37.54B.38.23C.39.53D.40.52

7.（23-24高一下•山东•阶段练习）某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆

朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然

后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰

角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC

10.（20-21高一下•湖北荆州•阶段练习）某货轮在A处看灯塔5在货轮北偏东75。，距离为

12\/6nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30。，距离8j9nmile.货轮由A处向正北航

行到。处时，再看灯塔5在南偏东60。，则下列说法正确的是（）

A.A处与。处之间的距离是24nmile；B.灯塔C与D处之间的距离是16nmile；

C.灯塔C在。处的西偏南60。；D.。在灯塔8的北偏西30。.

三、填空题

11.（23-24高一下•河南•阶段练习）石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.

电视塔以“宝石”为创造母体，上、下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文

明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底。在同一平面内的三个测量基

点A,良C,且在4民C处测得该塔顶点p的仰角分别为9；，二,AB=BC=型^米，则

6433

石家庄电视塔的塔高OP为米.

12.（23-24高一下•山西大同•阶段练习）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高

处的古塔的塔高，无人机的航线与塔A3在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为

500m,在C处测得塔底A（即小山的最高处）的俯角为45。，塔顶8的俯角为30。，向山顶

方向沿水平线CE飞行50m到达。处时，测得塔底A的俯角为75。，则该座小山的海拔为—

m;古塔AB的塔iW］为m.

E

四、解答题

13.（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45。方向，距离A处

（坞-的8处有一艘走私船，在A处北偏西75。的方向，距离A处2nmile的C处的缉

私船奉命以106nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从8处向北

偏东30。方向逃窜.

D

⑴求线段5c的长度；

⑵求/ACS的大小；

⑶问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多长时间?参考数值:

.巫-母[qo^6+V2

sin15°=----------，cos15°=------------

44

14.（23-24高二下•云南•开学考试）如图，为了测量某塔的高度，无人机在与塔底3位于

同一水平面的。点测得塔顶A的仰角为45°,无人机沿着仰角<a<g）的方向靠近塔,

42

飞行了卫述m后到达。点，在。点测得塔顶A的仰角为26。,塔底B的俯角为45。，且A,

3

B,C,。四点在同一平面上，求该塔的高度.（参考数据:取tan26。=：,cos56。=1）

乙9

B能力提升

1.（20-21高二下•四川成者B•期中）在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S

为A/RC的面积，且2s=片一S-c）2,则一12-+17g的取值范围为（）.

''4/一12反+13,2

2寸

A.4'37)

2.（多选）（23-24高一下•江苏南通•阶段练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度

d=lkm.一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度匕的大

小为IVj|=20km/h,水流速度v2的大小为Iv21=4km/h.设匕和匕的夹角为0°＜。＜180。），

则（）.

A.当船的航行时间最短时，。=90。B.当船的航行距离最短时，cos6=

C.当6=30。时，船的航行时间为12分钟D.当6=120?时，船的航行距离为五km

2

3.（23-24高三上•山东青岛•开学考试）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为"地球

给人类保留宇宙秘密的遗产"，若要测量如图所示某蓝洞口边缘A,8两点间的距离，现在

珊瑚群岛上取两点C,D,测得CO=8海里，ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=15°,

ZACB=120°,则A,8两点的距离为海里.

C综合素养（新定义解答题）

1.（22-23高一下•广东韶关•期末）"费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一

个问题.该问题是："在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小

意大利数学家托里拆利给出了解答，当AABC的三个内角均小于茎时，使得

2冗27r

ZAOB=NBOC=ZCOA=可的点。即为费马点；当AABC有一个内角大于或等于工■时，

最大内角的顶点为费马点.已知AABC中内角A氏C所对的边分别为。，瓦c,且

cos2B+cos2C—cos2A=1.

（1）求角A的值；

⑵若点P为AABC的费马点，|尸国+|尸。=4以］,求实数f的最小值.

第05讲正弦定理和余弦定理的应用（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1.（23-24高二上•辽宁葫芦岛•期末）我国辽代著名的前卫斜塔（又名瑞州古塔）位于葫芦

岛市绥中县.现存塔身已经倾斜且与地面夹角60。，若将塔身看做直线，从塔的第三层地面到

第三层顶可看做线段，且在地面的射影为1m,则该塔第三层地面到第三层顶的距离是（）

A.^-mB.亚mC.6mD.2m

【答案】D

【分析】

应用特殊三角函数值及已知、线段间的关系求该塔第三层地面到第三层顶的距离.

【详解】由题设，如下图中该塔第三层地面到第三层顶的距离/=AB=」^=2m.

cos60

2.（23-24高三上•山东聊城,阶段练习）泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有

366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物A3,高

约为50m,在它们之间的地面上的点。（8,Q,。三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处

的仰角分别是45。和60。，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15。，则估算泰姬陵的高度CD

为（）

A.75mD.80m

【答案】A

【分析】作出辅助线,得到各角度及AQ=50正，在A4CQ中利用正弦定理得到CQ=5073，

进而得到8.

【详解】由题设4。8=45。,4。。=60。且他=50,

过点A作4/平行于3D,则NC4H=15。，ZHAQ=45°,

故ZAQC=180。-ZAQB-NCQD=75。，

所以ZCAQ=ZCAH+ZHAQ=60°,ZACQ=180。—ZAQC-ZCAQ=45°,

在△口、中，由勾股定理可得AQ=50底，

CQAQ即CQ=50五

在△AC。中，由正弦定理得,=

ZCAQ~ZACQsin60o-sin45o

所以二，故CD=CQsin600=75m.

~T

故选：A

3.(21-22高一•全国•课后作业)某人在山外一点测得山顶的仰角为42。，沿水平面退后30

米，又测得山顶的仰角为39°,则山高为()(sin42°=0.6691,sin39°=0.6293,sin3°=0.0523)

A.180米B.214米C.242米D.266米

【答案】C

【分析】利用正弦定理求得8C,进而求得也即是求得山高.

【详解】依题意，如图所示，ZBCA=42°,ZBDA=39°,则ND3C=3。，

在三角形3OC中，DC=30,

BC30sin39°

由正弦定理得两所以3C=

-sin39°sin3°

30-sin390-sin42°

在RtZkABC中，A3=BCsin42o=°usm”电必-242米.

sin3°

故选：c

4.(22-23高一下•河北邯郸・期末)武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建

筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度AB,在地面上共线的三点C,D,

E处分别测得点A的仰角为30。，45°,60°,且CD=OE=22m,则武灵丛台的高度A3约

为（）

（参考数据：#*2.449）

A.22mB.27mC.30mD.33m

【答案】B

【分析】设=求出利用余弦定理在ABEC和△3DE中，表示出cosZBEC

和cos/BED,两者相等即可解出答案.

【详解】由题知，设=

则2C=——=V3x,BD=——=

tan30°tan45°tan6003

又CD=DE=22m,

-X23+442-3X2

BE?+EC?-BC?3____________

所以在△5EC中,cos/BEC==①

2BEEC2X^XX44

3

-X2+222-X2

BE?+ED?-BD?3___________

在△3DE中,cos/BEC==②

2BEED2x——xx22

3

联立①②，解得X=11#Q26.939B27.

故选：B

5.（22-23高一下•河南信阳•阶段练习）青岛五四广场主题钢雕塑（如图1）以单纯简练的

造型元素排列组合成旋转腾空的"风"，通体火红，害意五四运动是点燃新民主主义革命的“火

种”及青岛与五四运动的渊源.某中学数学兴趣小组为了估算该钢雕塑的高度，选取了与钢

雕塑底部。在同一水平面上的A3两点（如图2）,在A点和B点测得钢雕塑顶端C点的仰

角分别为60°和451测得=米，ZADB=150。，则钢雕塑的高度8为（）

c

A.25米28米C.30米D.32米

【答案】C

【分析】利用余弦定理即可解三角形.

【详解】由题意得/C4D=60。，NCBD=45°,

所以AO=以CO,BD=CD,

3

设CD=x,则AO=也x,BD=x,

3

在△钿£）中，由余弦定理得,

AB2=AD2+BD2-2AD-BDcos/ADB，

即（10后了=；/+x2-2x^-xxxx

解得x=30,即CD=30米.

故选：C

6.（23-24高一下•重庆•阶段练习）碧津塔是著名景点•某同学为了浏量碧津塔ED的高，他

在山下A处测得塔尖。的仰角为45。，再沿AC方向前进24.4米到达山脚点8,测得塔尖点

。的仰角为60。，塔底点E的仰角为30。，那么碧津塔高约为（百，1.7,后。1.4）（）

A.37.54B.38.23C.39.53D.40.52

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出AD,再结合直角三角形边角关系求解即得.

【详解】在△ARD中，^BAD=45°,ZABD=120°,则ZADB=15。，AB=24.4,

是ABAB

ADAB24372+76

由正弦定理得贝IjAD=--AD

sin120。一sin15。sin(45°-30°)V2V3V21

-----x--------------x—

2222

在Rt^ACD中，DCVAC,则z>c=AC=^AB=^^A8,

22

在RtABCD中，ZCBE>=60°,则BC=*=避土IAB,又NCBE=30°,

tan6002

因此CE=8Ctan30°="近AB,DE=DC-CE=1±且AB~2±12x24.4»38.23,

633

所以碧津塔高约为38.23米.

7.（23-24高一下•山东•阶段练习）某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆

朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然

后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰

角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC

（C在水平面）垂直于水平面，水平面上两点A8的距离为万m,测得

ZMBA=3,ZMAB=^-3,其中sind=：,在A点处测得旗杆顶点的仰角为°,cos。=［，

635

则该旗杆的高度为（单位：m）（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】B

【分析】作出示意图，在AABM中解出在RtAACW中解出眩1.

M

45兀1

在AARM中，AB=—,NAAfB=—,sinNMBA=—,

263

因为———=———，

sinZAMBsinZMBA

所以M4=15,

4

在RtAACM中，MC-MAsinZMAC=15xsin^?=15x—=12.

故选：B.

8.（2024,湖南•模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因

鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.

为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物。E的楼顶E为测量观

测点，已知点A为塔底，4CD在水平地面上，来雁塔和建筑物DE均垂直于地面（如

图所示）.测得CD=18m,/⑦=15m,在C点处测得E点的仰角为30。，在E点处测得B点的

仰角为60。，则来雁塔A8的高度约为（）（6旬.732,精确到0.1m）

C.38.4mD.39.6m

【答案】B

【分析】现从四棱锥C-ABED中提取两个直角三角形AECD和防的边角关系，进而分

别解出两个三角形边DE，8厂的长，求出来雁塔的高度即可.

【详解】过点石作砂,9，交A3于点

在直角三角形AECD中，因为NECD=30。，

所以DE=CD•tan/OCE=18xtan30°=64，

在直角三角形△BE尸中，因为/3EF=60。，

所以8尸=EF•tan/FEB=15xtan60°=1573,

贝AB=族+AF=5尸+ED=156+6g=21g它36.4（m）.

故选：B.

B

二、多选题

9.（23-24高一下•河南•阶段练习）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编

队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在尸处发现在北偏东50。

方向，相距30公里的水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里

的速度沿南偏东70。方向前进，这个雷达兵立马协调在尸处的8舰艇以每小时70公里的速度,

沿北偏东50。+6方向与A舰艇对接并进行横向液货补给.若8舰艇要在最短的时间内实现横

向液货补给，贝U（）

北

A.3舰艇所需的时间为1小时B.8舰艇所需的时间为2小时

「•.〃一5君

C.sin（7—-----D.sin8—-----

1414

【答案】AD

【分析】设出所需时间x,分别表示在APQM中利用余弦定理求出x,再利用正弦

定理求得sin。的值，即可判断结果.

【详解】

北

如图，设8舰艇经过了小时后在M处与A舰艇汇合，贝l）MQ=50x,MP=70x,/PQW=120。.

3

根据余弦定理得（70》）2=302+（50彳）2-3000.*8$120',解得x=l或二（舍去）,

故MQ=50,=70.由正弦定理得器=,解得sin0=5°$吊120。=巫

sin。sin1207014

故选：AD.

10.（20-21高一下•湖北荆州•阶段练习）某货轮在A处看灯塔5在货轮北偏东75。，距离为

12A/6IImile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30。，距离8A/5nmile.货轮由A处向正北航

行到。处时，再看灯塔8在南偏东60。，则下列说法正确的是（）

A.A处与。处之间的距离是24nmile；B.灯塔C与。处之间的距离是16nmile；

C.灯塔C在。处的西偏南60。；D.。在灯塔8的北偏西30。.

【答案】AC

【分析】根据题意作出图形，然后在△ABO中，结合正弦定理得求出AD,在AACD中，由

余弦定理得CD,然后求出相关角度，进而逐项分析即可.

由题意可知NADB=60°,ZBAD=15°,ZCAD=30°,所以=180°-60°-75°=45°,

AB=12瓜AC=84,

12限也

在△川£＞中，由正弦定理得招先=所以-彳［=24（”?浓），故A正

SillZ—DSillZ_r\LJD

了

确；

在AACD中,由余弦定理得CD=\IAC2+AD2-2ACADCOSZCAD，

即CD=/（84y+242-2+86x24x*=8A（nmile），故B错误；

因为CD=AC,所以NCD4=NG4D=30。，所以灯塔C在。处的西偏南60。，故C正确；

由/AD5=60°,。在灯塔3的北偏西60。处，故D错误.

故选：AC

三、填空题

11.（23-24高一下•河南•阶段练习）石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.

电视塔以"宝石"为创造母体，上、下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文

明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底。在同一平面内的三个测量基

点A“，且在A“处测得该塔顶点P的仰角分别为若==¥米，则

石家庄电视塔的塔高0P为米.

【答案】280

【分析】设出塔高。P=h,分别在Rt△上40,RaPBO,Rt^PCO中表示出OA,。氏OC,在AABO

和ABCO中就NO3ANOBC运用余弦定理建立方程，计算即得.

_OP=^3h,OB=-^-=h,OC=-^-=—h

【详解】设0P=9>。，则°A=—71713

tan—tan—tan—

643

由Z.OBC+AOBA=7t,得cosZOBC=-cosZOBA,

2

/+［_［包］胪j280邛一网2

33

由余弦定理得—<><>=_____I3J,解得力=280米，即0P

0280#,0280«,

2x---------x〃2x--------xn

33

为280米.

故答案为：280.

12.（23-24高一下•山西大同•阶段练习）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高

处的古塔A3的塔高，无人机的航线与塔A3在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为

500m,在C处测得塔底A（即小山的最高处）的俯角为45。，塔顶8的俯角为30。，向山顶

方向沿水平线CE飞行50m到达。处时，测得塔底A的俯角为75。，则该座小山的海拔为—

m；古塔AB的塔高为™.

【答案】475-25.乎/三百

【分析】在“8，根据条件，利用正弦定理得到AC=25(痴+0),延长A8交CE于H,

则AH=25(石+1),即可求出小山的海拔；在URC,根据条件，利用正弦定理，即可求出

塔高.

【详解】如图，在AACD,CD=50,AACD=45°,AADC=105°,ACAD=30°,

上十ACCDAD

由正弦定理--------=---------=---------，

sinZADCsinZCADsinZACD

T7•1八:O-•//ICO.QnOA6661n+3

乂sinl05°=sin75°=sin(45°+30°)=——x——+——x—=-----------------------，

22224

“_50V6+V2__

所以丁义一4—，即AC=25(遍+8)m,

2

延长AB交CE于H,则AH=ACsinZACD=25(76+V2)x—=25(g+l)m,

2

又无人机飞行的海拔高度为500m,所以该座小山的海拔为500-25(73+1)=475-25名,

在A/WC中，ZAC5=45。—30o=15o,ZABC=120。，

V•/,//icoqco、_亚G61_痛一血

sin/ACB=sin(45—30)=----x------------------------x—=-----------------------，

22224

.“4R_25(#+0)A/6-V2_50V3

由正弦定理有一7募=.I)。，得到A/343111，

sin15sin120—

2

故答案为：475-25A，笠8.

四、解答题

13.（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45。方向，距离A处

（若-l）nmile的8处有一艘走私船，在A处北偏西75。的方向，距离A处2nmile的C处的缉

私船奉命以10指nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从8处向北

偏东30。方向逃窜.

D

⑴求线段5c的长度；

⑵求/ACS的大小；

⑶问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多长时间?参考数值：

sin15°=-----------，cos15°=------------

44

【答案】⑴#

(2)15°

⑶缉私船沿北偏东60。方向能最快追上走私船，最快需要逅h.

10

【分析】(1)在AA8C中，NCA8=120。由余弦定理可求得线段8c的长度；

(2)在△ABC中，由正弦定理，可求得sin/ACB；

(3)设缉私船用他在。处追上走私船，CD=105,BD=10t,在AABC中，可求得NCBD

=120°,再在ABC。中，由正弦定理可求得sinNBCQ,从而可求得答案.

【详解】(1)在△ABC中，N042=45。+75。=120。，

由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZCAB

=(5/3-1)2+22-2(A/3-1)X2X^-1^=6,

所以，BC=y/6.

，口ABBC

(2)在△ABC中，由正弦定理,得--------=-------

sinZACBsinl20°

g"./“nAB-sinl20°73-1#-0

所以，smZACB=---------------=——==-------------.

BC204

又0°<ZACB<60°,

ZACB=15°.

(3)设缉私船用〃7在。处追上走私船，如图,

则有CD=10后,BD=Wt.

在△ABC中，

又NCBD=90°+30°=120°,

在ABC。中，由正弦定理，得

sinZBCD=BDsmNCBD

CD

_10/-sinl2001

10后一了

/.ZBCD=30°,

所以角度为北偏东90。-30。=60。，即缉私船沿北偏东60。方向能最快追上走私船.

又/。=180°-120。—30°=30°=Z8CD,故=BC=#=10f,解得r=逅，

10

14.（23-24高二下•云南•开学考试）如图，为了测量某塔的高度，无人机在与塔底8位于

同一水平面的C点测得塔顶A的仰角为45。,无人机沿着仰角a^<a<与）的方向靠近塔，

飞行了必述m后到达。点，在。点测得塔顶A的仰角为26。,塔底B的俯角为45。,且A,

3

B,C,。四点在同一平面上，求该塔的高度.（参考数据:取tan26o=J,COS56、1）

/9

【答案】326m

【分析】设AB=xm,根据条件得到AABC是等腰直角三角形,所以AB=3C=x,同理ABDE

是等腰直角三角形，得BE=DE,进而得B£>=逑x,然后根据余弦定理列方程求解可得

3

【详解】因为A、B、C、。四点在一个平面上

如图，过点。作DEIAB,垂足为E.

由题意得ZADE=26°,ZBDE=ZACB=ZCBD=45°.

在AABC中，又塔底3与C位于同一水平面，所以BC7DE,所以NABC=90。，

又ZACB=45。，所以AABC是等腰直角三角形，所以AB=3C,

在△3DE中，DEJ.AB,又NBDE=45。,所以是等腰直角三角形，

所以=

设AB=xm,则BC=xm,DE=BE,AE=DEtan26°=gDE,

1?

又AE+BE=ABn5BE+BE=x,所以3石=§xm,

所以BD=^—=应BE=4ixZx=^^xm.

sin45033

在△BCD中，由余弦定理得CD?=302+302—23。.B/ZCOSNCBD，

得x=326,即该塔的高度为326m.

B能力提升

1.（20-21高二下•四川成者B•期中）在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S

为AABC的面积，且2S=/一伍一）2,则4户―126c+17c：的取值范围为（）.

''4/-126c+13c2

2到（2819

A.4'37）B-liii'sC.

【答案】D

°4

【分析】利用2S=/—9—。2,三角形面积公式和余弦定理可得sinA=y,故可得到

34043

2=+tanA="然后利用正弦定理可得不由+丁利用换元法即可求解

【详解】AABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2Z?ccosA,

12

且AABC的面积为S=50csinA,由2s="—（。一0）,得仇^皿人二必^-必以侬人，

化简得sinA+2cosA=2；又AE［。,,1,sin2A+cos2A=l,所以sinA+241-sin2A=21

4

化简得5sin2A-4sinA=0,解得sinA=（或sinA=0（不合题意，舍去）；

因为As（。,乌］,所以cosA=J1-sin2A=」,tanA=--

<2J5cosA3

.bsinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC43

所CC以H_=---------------+-,

sinCsinCsinC5tanC5

由B+C=TT—A,JLBef0,—j,兀

7i—AE.2，n

14所以235

e0,G

tanC3c5,3r

4Z72-12Z>C+17C2

所以y=

4/一126c+13/

=4"⑵+17=]+4=]+4

22

4Z-12/+134/-12?+13"(3丫+4，

又|<9<|，所以旧时，y取得最大值为9=2,

3.28173口28173

/=一时，y=—'时，

518137'18137•

即破m+W281.

所以"的取值范围是

4/一⑵c+13,21815'

故选：D

【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题,

与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，

或其他的限制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值

2.（多选）（23-24高一下•江苏南通•阶段练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度

d=lkm.一艘游船从南岸码头4点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度匕的大

小为I匕卜=20km/h,水流速度v2的大小为Iv21=4km/h.设匕和v2的夹角为*0°＜。＜180。）,

则（）.

给人类保留宇宙秘密的遗产"，若要测量如图所示某蓝洞口边缘A,8两点间的距离，现在

珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里，ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=15°,

ZACB=120°,则A,5两点的距离为海里.

【答案】86

【分析】先求的AD,利用余弦定理求得AC,利用正弦定理求得BC,再由余弦定理求得A3.

【详解】在三角形ACD中，

ZDCA=15°,ZADC=135。+15。=150°,ZCAD=180°-150°-15°=15°,

所以AD=CD=8,所以AC=〈64+6