数学课后训练：第一章§不等式的证明第3课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精几何法、反证法练习1实数a,b，c不全为零的条件为（)．A．a，b，c全不为零B．a,b，c中至多只有一个为零C．a，b，c只有一个为零D．a，b，c中至少有一个不为零2已知a，b，c都是小于1的正数，则（1－a）b，(1－b）c，(1－c)a中至少有一个不大于（）．A．B．C．D．3若｜a｜＜1,｜b|＜1，则（)．A．B．C．D．4设a，b，c∈R＋,P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b,则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的__________条件．5设x，y为正数，且x＋y＝1，则与9的大小关系是__________．6用反证法证明：如果a，b，c，d为实数,a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1,则a,b，c,d中至少有一个负数．7已知，a≠b,且ab＞0．求证:｜f(a)－f（b)|＜|a－b|．8已知函数f（x)是（－∞，＋∞）上的增函数，a,b∈R．(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b）≥f(－a）＋f(－b）；(2)判断（1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．

参考答案1答案：Da，b，c不全为零，即为a，b，c不能同时为零，也就是a，b,c中至少有一个不为零．2答案:A假设，，．因为a,b，c都是小于1的正数，所以，，，从而有．但是，这与上式中大于相矛盾,所以假设不成立，即(1－a）b,（1－b）c，(1－c)a中至少有一个不大于．3答案:B假设，则|a＋b|≥｜1＋ab｜，∴a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2，∴a2＋b2－a2b2－1≥0，∴a2－1－b2(a2－1）≥0，∴(a2－1)(1－b2)≥0，∴或即或与已知矛盾．∴．4答案:充要利用反证法．充分性：由PQR＞0，知P，Q，R同时大于零或P，Q，R有一正两负．不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，即a＋b－c＞0，b＋c－a＜0，c＋a－b＜0．上式相加，得c＜0，与已知矛盾，即P，Q，R同时大于零，必要性显然成立．5答案:假设，则,故1－（x2＋y2)＜8x2y2．∵x＋y＝1，∴1＝（x＋y）2．代入上式，得（x＋y)2－(x2＋y2）＜8x2y2，∴2xy＜8x2y2，即xy(1－4xy）＜0．①又由x＋y＝1，得,∴，∴1－4xy≥0，从而xy（1－4xy）≥0成立．②由①②矛盾知,假设不成立．∴．6答案：证明:假设a,b，c，d中至少有一个负数不成立，即a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0．因为a＋b＝1，c＋d＝1，所以(a＋b）（c＋d)＝1，即（ac＋bd)＋（bc＋ad）＝1．因为a，b，c,d均为非负数，于是有bc＋ad≥0，故由上式可以知道ac＋bd≤1，这与已知条件中的ac＋bd＞1矛盾，所以假设不成立,故a，b,c,d中至少有一个负数．7答案：分析:利用的结构特点构造几何中的两点间的距离来证明．证明：可视为平面上点A（1，a）到点O（0，0)的距离，表示点B(1，b)到点O（0,0)的距离．而｜a－b|表示A（1,a）及B(1，b)两点的距离，如图．∵a≠b，∴A,O，B三点组成一个三角形，由三角形两边之差的绝对值小于第三边可得|f（a)－f(b)｜＜|a－b|．8答案：证明：（1)a＋b≥0⇒a≥－b．由已知f（x）的单调性，得f（a)≥f（－b）．又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b）≥f(－a)．两式相加，即得f（a)＋f（b)≥f(－a）＋f（－b）．(2)逆命题:如果f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），那