2025年中考数学复习之概率

2025年中考数学复习新题速递之概率

选择题（共10小题）

1.（2023秋•交城县期末）在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同.通

过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4附近.则估计袋子中的白球有（）

A.6个B.8个C.10个D.12个

2.（2024春•济宁期中）下列事件是必然事件的是（）

A.车辆随机到达一个路口遇到红灯

B.早上的太阳从西方升起

C.400人中至少有两人的生日在同一天

D.投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

3.（2024春•芮城县期末）下列事件中，必然事件是（）

A.明年“雨水”时节会下雨

B.任意买一张电影票，座位号是奇数

C.从地面向上踢出的足球会落下

D.任意掷一枚图钉，钉帽朝下

4.（2024•陆丰市模拟）将分别标有“善”、“行”、“日”、“照”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，

这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两

次摸出的球上的汉字组成“日照”的概率是（）

1115

A.—B.-C.-D.—

68416

5.（2023秋•固原期末）从数学的观点看，以下成语描述的事件属于必然事件的是（）

A.水中捞月B.瓮中捉鳖C.守株待兔D.拔苗助长

6.（2023秋•西山区校级期末）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，

他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放

的最适当的位置是在△ABC的（）

A.三边中线的交点

B.三边垂直平分线的交点

C.三条角平分线的交点

D.三边上高的交点

7.（2023秋•武昌区期末）不透明的袋子里装有8个小球，其中5个红色，3个蓝色，则下列说法不正确

的是（）

A.从中随机抽取1个球，抽到红色的可能性更大

B.从中随机抽取1个球，抽到红色和蓝色的可能性一样大

C.从中随机抽取6个球，一定有蓝色的

D.从中随机抽取5个球，可能都是红色的

8.（2024•广陵区二模）一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随

机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.3个球都是黑球B.3个球都是白球

C.3个球中有黑球D.3个球中有白球

9.（2024•江岸区模拟）下列事件中是必然事件的是（）

A.床前明月光B.大漠孤烟直

C.手可摘星辰D.黄河入海流

10.（2024•港南区四模）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中捞月C.水滴石穿D.百发百中

二.填空题（共5小题）

11.（2024春•句容市期中）一影院正在放映《热辣滚烫》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇

数属于事件.

12.（2024春•句容市期中）为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛

掷点的实验，实验数据如下：

在正方1002003004006008009001000

形内投

掷的点

数n

落入小915273450667685

正方形

区域的

频数m

落入小0.0900.0750.0900.0850.0830.08250.0840.085

正方形

区域的

频率一

n

试估计“点落入圆形区域内”的概率（精确到0.01）.

13.（2024•沙坪坝区自主招生）为弘扬红岩精神，廉续红色血脉，沙坪坝区开展“小小红岩讲解员”风采

展示活动.两同学从宋振中、陈然和江竹筠三位烈士中随机选择一位烈士的故事进行讲解，则他们恰好

选择同一位烈士的概率是.

14.（2023秋•嘉兴期末）一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他

都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同

的概率为.

15.（2024•潍坊）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色

分别一致.完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配

的概率是.

三.解答题（共5小题）

16.（2024•吉州区模拟）吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打

算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A,B,C,D,尸）.假设系统已

将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的.

（1）“系统分给这两个人A,G座位”是（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件；

（2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C,。不算相邻）的

概率.

取消选择一个座位确认

ABC过道DF

17.（2023秋•交城县期末）某校为了提高课后延时服务的质量，自主研发了书法（A）,阅读（B）,足球

（C）,器乐（D）四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等.

(1)学生小李计划选修两门课程，他所有可能的选法共有种；

(2)若学生小李和小杜各计划选修一门课程，求他们两人恰好选到同一门课程的概率.

18.(2024春•芮城县期末)为迎接2024年“五•一”国际劳动节，某市总工会组织了以“中国梦，劳动美”

为主题的演讲比赛.某校两位语文老师小张和小李都想参加比赛，但每校只有一个参赛名额.该校工会

主席准备了如图所示的写有“社会主义核心价值观”的12张卡片，这些卡片的背面完全相同，将这些

卡片背面朝上洗匀，随机从中摸出一张卡片，若摸到的卡片属于国家层面，则小张去；若摸到的卡片属

盘停止转运后记下指针所指扇形区域内的数字(如果指针恰好指在分割线上，那么重新转一次，直到指

针指向一个区域为止).

(1)指针指向扇形区域内的数字小于3是事件；(填“必然”“随机”或“不可能”)

(2)请利用画树状图或列表的方法求两次记录数字之和小于5的概率.

20.(2024•郸都区模拟)2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词.为了解学生对“碳中和、碳达峰”

知识的知晓情况，某校团委随机对该校部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从

未听说过”，8表示“不太了解”，C表示“比较了解”，。表示“非常了解”.根据调查统计结果，绘制

成两种不完整的统计图.请结合统计图，回答下列问题.

(1)参加这次调查的学生总人数为人；

(2)扇形统计图中，8部分扇形所对应的圆心角度数是；

(3)将条形统计图补充完整；

(4)现需从。类的4名学生中随机抽取2名作为“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，这四人中，

1名来自七年级，1名来自八年级,2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生

来自不同年级的概率.

2025年中考数学复习新题速递之概率（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2023秋•交城县期末）在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同.通

过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4附近.则估计袋子中的白球有（）

A.6个B.8个C.10个D.12个

【考点】利用频率估计概率.

【专题】概率及其应用；运算能力.

【答案】A

【分析】根据概率公式计算数量即可.

【解答】解：•••摸到红球的频率稳定在0.4附近，

，摸到红球的概率为0.4,

:袋子中装有4个红球，

.•.球的总个数为：44-0.4=10（个），

白球的个数为：10-4=6（个），

故选：A.

【点评】本题主要考查了频率估计概率，解题的关键是根据题意得出摸到红球的概率为04.

2.（2024春•济宁期中）下列事件是必然事件的是（）

A.车辆随机到达一个路口遇到红灯

B.早上的太阳从西方升起

C.400人中至少有两人的生日在同一天

D.投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

【考点】随机事件.

【专题】概率及其应用.

【答案】C

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

【解答】解：选项A,是随机事件，不是必然事件，不符合题意；

选项2,是不可能事件，不是必然事件，不符合题意；

选项C,是必然事件，符合题意；

选项D是随机事件，不是必然事件，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生

的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，

可能发生也可能不发生的事件.

3.（2024春•芮城县期末）下列事件中，必然事件是（）

A.明年“雨水”时节会下雨

B.任意买一张电影票，座位号是奇数

C.从地面向上踢出的足球会落下

D.任意掷一枚图钉，钉帽朝下

【考点】随机事件.

【专题】概率及其应用.

【答案】C

【分析】根据事件发生情况大小进行解题即可.

【解答】解：A、明年“雨水”时节会下雨，是随机事件，故A不符合题意；

8、任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故8不符合题意；

C、从地面向上踢出的足球会落下，是必然事件；故C符合题意；

。、任意掷一枚图钉，钉帽朝下，是随机事件，故。不符合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念.用到的知识点为：确定事件包括必然

事件和不可能事件.必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不

发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

4.（2024•陆丰市模拟）将分别标有“善”、“行”、“日”、“照”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，

这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两

次摸出的球上的汉字组成“日照”的概率是（）

1115

A.-B.-C.-D.—

68416

【考点】概率公式.

【专题】概率及其应用；推理能力.

【答案】A

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“日照”的结果有2种,

再由概率公式求解即可.

【解答】解：画树状图如下：

行日照善日照善行照善行日

共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“日照”的结果有2种，

两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率为三=

126

故选：A.

【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步

或两步以上完成的事件.解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比.

5.（2023秋•固原期末）从数学的观点看，以下成语描述的事件属于必然事件的是（）

A.水中捞月B.瓮中捉鳖C.守株待兔D.拔苗助长

【考点】随机事件.

【专题】数据的收集与整理；数据分析观念.

【答案】B

【分析】根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、水中捞月是不可能事件，故本选项错误；

8、翁中捉鳖是必然事件，故本选项正确

C、守株待兔是随机事件，故本选项错误；

。、拔苗助长是不可能事件，故本选项错误；

故选：B.

【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；必

然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

6.（2023秋•西山区校级期末）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上,

他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放

的最适当的位置是在△ABC的（）

A.三边中线的交点

B.三边垂直平分线的交点

C.三条角平分线的交点

D.三边上高的交点

【考点】游戏公平性.

【专题】数据分析观念.

【答案】B

【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的

距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上.

【解答】解：,••三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，

凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当.

故选：B.

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力,

要注意培养.想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键.

7.（2023秋•武昌区期末）不透明的袋子里装有8个小球，其中5个红色，3个蓝色，则下列说法不正确

的是（）

A.从中随机抽取1个球，抽到红色的可能性更大

B.从中随机抽取1个球，抽到红色和蓝色的可能性一样大

C.从中随机抽取6个球，一定有蓝色的

D.从中随机抽取5个球，可能都是红色的

【考点】概率的意义.

【专题】概率及其应用；数据分析观念.

【答案】B

【分析】根据概率的意义，逐一判断即可解答.

【解答】解：A、从中随机抽取1个球，抽到红色的可能性更大，故A不符合题意；

8、从中随机抽取1个球，抽到红色和蓝色的可能性不一样，故8符合题意；

C、从中随机抽取6个球，一定有蓝色的，故C不符合题意；

。、从中随机抽取5个球，可能都是红色的，故。不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键.

8.（2024•广陵区二模）一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随

机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.3个球都是黑球B.3个球都是白球

C.3个球中有黑球D.3个球中有白球

【考点】随机事件.

【专题】概率及其应用；数据分析观念.

【答案】C

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

【解答】解：一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子

中一次摸出3个球,

A、3个球都是黑球,是随机事件，故本选项不符合题意;

B、3个球都是白球,是不可能事件，故本选项不符合题意;

3个球中有黑球,是必然事件，故本选项符合题意;

D、3个球中有白球,是随机事件，故本选项不符合题意;

故选：C.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生

的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,

可能发生也可能不发生的事件.

9.（2024•江岸区模拟）下列事件中是必然事件的是（）

A.床前明月光B.大漠孤烟直

C.手可摘星辰D.黄河入海流

【考点】随机事件.

【专题】概率及其应用；数据分析观念.

【答案】D

【分析】根据事件发生的可能性大小判断.

【解答】解：A、床前明月光，是随机事件,不符合题意;

B、大漠孤烟直,是随机事件，不符合题意;

C、手可摘星辰,是不可能事件，不符合题意;

D、黄河入海流,是必然事件，符合题意;

故选：D.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生

的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下，

可能发生也可能不发生的事件.

10.（2024•港南区四模）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中捞月C.水滴石穿D.百发百中

【考点】随机事件.

【专题】概率及其应用；应用意识.

【答案】B

【分析】根据事件发生的可能性大小判断.

【解答】解：A、守株待兔，是随机事件，故本选项不符合题意；

2、水中捞月，是不可能事件，故本选项符合题意；

C、水滴石穿是必然事件，故本选项不符合题意；

。、百发百中，是随机事件，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生

的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下，

可能发生也可能不发生的事件.

二.填空题（共5小题）

11.（2024春•句容市期中）一影院正在放映《热辣滚烫》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇

数属于随机事件.

【考点】随机事件；有理数.

【专题】概率及其应用；推理能力.

【答案】随机.

【分析】根据随机事件的定义解答即可.

【解答】解：根据题意，座位号码是奇数属于随机事件，

故答案为：随机.

【点评】本题考查了随机事件，有理数，熟知随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；

必然事件是在一定条件下，不可能发生的事件；不可能事件是在一定条件下一定不发生的事件是解题的

关键.

12.（2024春•句容市期中）为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛

掷点的实验，实验数据如下:

在正方1002003004006008009001000

形内投

掷的点

数n

落入小915273450667685

正方形

区域的

频数m

落入小0.0900.0750.0900.0850.0830.08250.0840.085

正方形

区域的

频率一

n

试估计“点落入圆形区域内”的概率0.08（精确到0.01）.

【考点】利用频率估计概率；正方形的性质.

【专题】概率及其应用；推理能力.

【答案】0.08.

【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据

这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

【解答】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，”点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到0.08附近，

所以估计“点落入圆形区域内”的概率为0.08,

故答案为:0.08.

【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟知当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各

种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率是解题的关键.

13.（2024•沙坪坝区自主招生）为弘扬红岩精神，麋续红色血脉，沙坪坝区开展“小小红岩讲解员”风采

展示活动.两同学从宋振中、陈然和江竹筠三位烈士中随机选择一位烈士的故事进行讲解，则他们恰好

选择同一位烈士的概率是~.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】概率及其应用；运算能力.

【答案

【分析】由题意画树状图，然后求概率即可.

【解答】解：记宋振中、陈然和江竹筠分别为A、B、C,

由题意画树状图如下；

共有9种等可能的结果，其中他们恰好选择同一位烈士共有3种等可能的结果，

，他们恰好选择同一位烈士的概率为2=

93

1

故答案为：--

【点评】本题考查了列举法求概率.正确的画树状图是解题的关键.

14.（2023秋•嘉兴期末）一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他

都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同

4

的概率为-.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】概率及其应用；运算能力；推理能力；应用意识.

4

【答案】--

【分析】根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案.

【解答】解：画树状图如下:

共有9种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不相同的为4种,

所以摸出的两个球恰好颜色不同的概率=*

4

故答案为：--

【点评】本题考查了列表法与树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题

是放回实验还是不放回实验.解题的关键是掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比.

15.（2024•潍坊）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色

分别一致.完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配

1

的概率是一-

-3~

【考点】列表法与树状图法.

【专题】统计的应用；数据分析观念.

1

【答案】--

【分析】列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算

即可求解.

【解答】解：由题意可得，共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；

黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；

其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，

，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是2=

63

,,心—,1

故答案为：

【点评】本题考查了列举法与树状图法，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2024•吉州区模拟）吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打

算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A,B,C,D,尸）.假设系统已

将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的.

（1）“系统分给这两个人A,G座位”是不可能（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件；

（2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C,。不算相邻）的

概率.

取消选择一个座位确认

ABC过道D

【考点】列表法与树状图法；随机事件；概率公式.

【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念.

【答案】(1)不可能；

3

(2)系统分配给王某和李某相邻座位(过道两侧座位C,。不算相邻)的概率是一.

10

【分析】(1)一排中的座位编号为A,B,C,D,F,不存在编号为G的座位，即可得到“系统分给这

两个人A,G座位”是不可能事件；

(2)列出表格，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有6

种等可能情况，根据概率公式计算即可得到答案.

【解答】解：(1).••一排中的座位编号为A,B,C,D,F,不存在编号为G的座位，

”系统分给这两个人A,G座位”是不可能事件，

故答案为：不可能；

z/V

BCDFACDFABDFABCFABCD

由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种，

则系统分配给王某和李某相邻座位(过道两侧座位C,。不算相邻)的概率是9=三.

2010

【点评】此题考查了列表法与树状图法，随机事件，概率公式，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题

的关键.

17.(2023秋•交城县期末)某校为了提高课后延时服务的质量，自主研发了书法(A),阅读(B),足球

(C),器乐(D)四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等.

(1)学生小李计划选修两门课程，他所有可能的选法共有6种;

(2)若学生小李和小杜各计划选修一门课程，求他们两人恰好选到同一门课程的概率.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】概率及其应用；运算能力.

【答案】⑴6；

【分析】（1）利用直接列举得到所有的情况即可得出答案；

（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）学生小李计划选修两门课程，他所有可能的选法有：AB.AC、AD,BC、BD、CD,

共6种，

故答案为：6；

（2）根据题意列表如下：

小杜ABcD

小李

A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)CD,C)

D(A,D)(3,O)(C,D)(Q,D)

由列表可知：共有16种情况，并且它们出现的机会均等，其中恰好选到同一门课程的情况有4种：（A,

A）,（B,B）,（C,C）,（。，£））,

：.P（恰好选到同一门课程）=条=/.

【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率,列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果,

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情

况数与总情况数之比.

18.（2024春•芮城县期末）为迎接2024年“五•一”国际劳动节，某市总工会组织了以“中国梦，劳动美”

为主题的演讲比赛.某校两位语文老师小张和小李都想参加比赛，但每校只有一个参赛名额.该校工会

主席准备了如图所示的写有“社会主义核心价值观”的12张卡片，这些卡片的背面完全相同，将这些

卡片背面朝上洗匀，随机从中摸出一张卡片，若摸到的卡片属于国家层面，则小张去；若摸到的卡片属

于社会层面，则小李去.请你判断该校工会主席的做法对小张和小李是否公平，并说明理由.

，,一，民文和自平

强主明谐由等

公法爱敬诚友

正治国业信善

【考点】概率公式.

【专题】概率及其应用；数据分析观念.

【答案】该校工会主席的做法对小张和小李公平，见解析.

【分析】根据题意分别求出摸到的卡片属于国家层面的概率和摸到的卡片属于社会层面的概率，然后比

较求解即可.

【解答】解：该校工会主席的做法对小张和小李公平.

理由：从写有“社会主义核心价值观”的12张卡片中随机摸出一张卡片，共有12种结果，每种结果出

现的可能性相同，

其中出现国家层面的结果有4种，分别是“富强”、“民主”、“文明”、“和谐”，

出现社会层面的结果有4种，分别是“自由”、“平等”、“公正”、“法治”，

.p_1p_1

'•r（小张君-12-3*1y小李玲-12-3,

••P＜小张去）=P（小李去），

该校工会主席的做法对小张和小李公平.

【点评】此题主要考查了概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法.

19.（2024•东海县一模）如图是一个可以自由转动的转盘，被等分成3个扇形，每个扇形上分别标有相应

的数字1,2,3.小华转动转盘，当转盘停止转动后记下所指扇形区域内的数字，再次转动转盘，当转

盘停止转运后记下指针所指扇形区域内的数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重新转一次，直到指

针指向一个区域为止）.

（1）指针指向扇形区域内的数字小于3是随机事件;（填“必然”“随机”或“不可能”）

（2）请利用画树状图或列表的方法求两次记录数字之和小于5的概率.

【考点】列表法与树状图法；随机事件.

【专题】概率及其应用；运算能力.

【答案】(1)随机.

2

(2)

3

【分析】(1)根据随机事件的定义可得答案.

(2)列表可得出所有等可能的结果数以及两次记录数字之和小于5的结果数，再利用概率公式可得出

答案.

【解答】解：(1)由题意得，指针指向扇形区域内的数字小于3是随机事件.

故答案为：随机.

(2)列表如下:

123

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

3(3,1)(3,2)(3,3)

共有9种等可能的结果，其中两次记录数字之和小于5的结果有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),

(2,2),(3,1),共6种，

62

两次记录数字之和小于5的概率为-=

93

【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，熟练掌握列表法与树状图法、随机事件的定义是解答

本题的关键.

20.(2024•郸都区模拟)2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词.为了解学生对“碳中和、碳达峰”

知识的知晓情况，某校团委随机对该校部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从

未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，。表示“非常了解”.根据调查统计结果，绘制

成两种不完整的统计图.请结合统计图，回答下列问题.

(1)参加这次调查的学生总人数为40人;

(2)扇形统计图中，8部分扇形所对应的圆心角度数是108。；

(3)将条形统计图补充完整；

(4)现需从。类的4名学生中随机抽取2名作为“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，这四人中，

1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生

来自不同年级的概率.

【专题】数据的收集与整理;概率及其应用；运算能力.

【答案】(1)40.

(2)108°.

(3)见解答.

5

(4)

6

【分析】(1)用A类别的人数除以其所占的百分比可得参加这次调查的学生总人数.

(2)用360。乘以本次调查中B类别的人数所占的百分比，即可得出答案.

(3)求出C类别的人数，补全条形统计图即可.

(4)画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的2名学生来自不同年级的结果数，再利用概率公式

可得出答案.

【解答】解：(1)参加这次调查的学生总人数为6・15%=40(人).

故答案为：40.

(2)扇形统计图中，8部分扇形所对应的圆心角度数是360°X含=108°.

故答案为：108°.

(3)C类别的人数为40-6-12-4=18(人).

补全条形统计图如图所示.

(4)将1名来自七年级的学生记为A,1名来自八年级的学生记为3,2名来自九年级的学生分别记为

C,D,

画树状图如下:

开始

共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生来自不同年级的结果有：AB,AC,AD,BA,BC,BD,

CA,CB,DA,DB,共10种，

105

抽到的2名学生来自不同年级的概率为一=

126

【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图,

熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键.

考点卡片

1.有理数

有理数的概念：整数和分数统称为有理数.

有理数的分类:

(正整数

①按整数、分数的关系分类：有理数《

②按正数、负数与0的关系分类：有理数V

注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循

环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有

理数.

2.正方形的性质

(1)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

(2)正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平