福建省福州市某中学2023-2024学年高一年级下册期中考试数学试卷

2023-2024学年福建省福州市金山中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知复数Zi=1+3?；,Z2=3+1,则Z1—Z2在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.在△AB。中，4=60°,AB=1,AC=2,则S4ABC的值为()

A.iB.dC.v/3D.2^3

/2

3.已知向量才=(3,2),b=(—1,1),则|22+3b|=()

A.710B.5C.而D.\/i3(j

4.如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2

的正方形。'43'。'，则原四边形0ABe的面积是（）

A.16\/2

B.8\/2

C.16

D.8

5.已知正方体一的棱长为2,E,F,G分别是ASBBX,5G的中点，则过这三点

的截面面积是（）

A.3\/2B.6\/2C.6\/3D.3通

6.已知不共线的向量方、了，若向量m―k了与人才―了共线，则实数上的值为（）

A.1B.±1C.D.y/2

7.如图，在△43。中,==若力=;\施+〃彩，则

A+/x的值为（）

11

A.——B

1214

8.桂林日月塔又称金塔银塔、情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所

以也有金银塔之称.如图1,这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量

该塔的高度，在塔底。的同一水平面上的A,B两点处进行测量，如图2.已知

在A处测得塔顶尸的仰角为60°，在8处测得塔顶P的仰角为45°，43=25

米，乙4OB=30°，则该塔的高度OP=（）

A.25四米B.25g米C.50米D.25迷米

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知复数z的虚部不为零，同时满足2=1，贝1R）

A.0=1B.T为纯虚数

C.z在复平面内对应的点在实轴上D.|z-2-24的最大值为，万

10.已知/、了、7?是任意的非零向量，则下列结论正确的是（）

A.非零向量才、丁，满足|苗〉|用且才与了同向，则m＞了

B.。了（1^1.|T|

C若才・工="?•/，则下一了不与7?垂直

D.|W+了"|+|了|

11.在△AB。中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是（）

A.若sinA<sinB>则4<B

B.若△/口。是锐角三角形，sinA＜cos8恒成立

仁若°=10,6=9，8=60°，则符合条件的△AB。有两个

口.若3=60°,b2=ac-则是等边三角形

12.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台01。2,在轴

截面A8CD中，AB-AD—BC-2cm＞且CD=2AB,下列说法正确的

是（）

A.该圆台轴截ABCD面面积为3乃cn?

B.该圆台的体积为亚呢cm.3

3

C.该圆台的表面积为107TC777?

D.沿着该圆台表面，从点。到AD中点的最短距离为5cm

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若1+2,是实系数方程/++匕=0的一■个根，则a.b=.

14.如图为了测量A,。两点间的距离，选取同一平面上3,。两点，测出四边形ABC。的各边的长度（单

位：km）：AB=5,BC=8,CD=3,PA=5,如图所示，且A、B、。、。四点共圆，则AC的长为

km.

15.已知一个正四棱锥的底面边长为2,高为通，则该正四棱锥的表面积为.

7T

16.已知梯形中ABC。，ADHBC,ZB=AB=AD=2,8。=4,点尸，。在线段3。上移动，

O

且PQ=1,则万F-成的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

已知圆柱高为4,母线与侧面展开图的对角线成60°角，求该圆柱的体积.

18.（本小题12分）

若复数zj.=1+ai（aeR）,复数z?=3-4i.

（1）若Z1+Z2CR,求实数a的值；

,、Z\

⑵若a=2,求一•

力

19.（本小题12分）

已知向量胃=（2,-1），⑻=y2.

⑴若(2才+7).了=4,求/与了夹角的正弦值；

⑵若天，了,求向量了的坐标.

20.(本小题12分)

已知中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若(2a-c)cos_B-bcosC=0.

(1)求角2的大小；

⑵若6=2,求a+c的取值范围.

21.(本小题12分)

已知在圆锥5。中，底面。O的直径48=12,△S4B的面积为48.

(1)求圆锥S。的表面积；

(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间.

22.(本小题12分)

如图，在△ARC中，已知AB=4,AC=10,ABAC=60°,8c边上的中点为M,AC边上的中点为

N,AM,3N相交于点P.

⑴求BC;

⑵求疝与前夹角的余弦值；

(3)过点P作直线交边AB,BC于点E,F,求该直线将△AB。分成的上下两部分图形的面积之比的取值

范围.

AC

N

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由复数句=1+3?：,22=3+?：,则ZI—22=—2+2?：,

则复数Z1-Z2在复平面内对应的点为(-2,2),位于第二象限.

故选：B.

根据题意，求得zi-3=-2+2"结合复数的几何意义，即可求解.

本题考查复数的几何意义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：S/^ABC-—AB-AC-sinA=—xlx2x,

c2222

故选3.

直接用三角形面积公式求得答案.

本题主要考查正弦定理的应用.属基础题.

3.【答案】C

【解析】因为向量过=(3,2),7=(—1,1),

所以27?+37=(6,4)+(-3,3)=(3,7)，

所以则|2才+3了|=,32+72=辰,

故选：C.

计算2才+3了=(3,7)，代入模长公式计算即可.

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：在正方形O'AB'C'中可得B'O'=V2A!O'=2瓜

由斜二测画法可知BO=2B'O'=4通，AO==2，

且OA1OB，OA//BC,AB//CO,

所以四边形OABC为平行四边形，

所以SOABC=B0,AO-4能x2=8\/2.

故选：B.

根据斜二测画法规则求出A。，BO,判断。ABC的形状，确定。4人。3,由此求出原四边形04BC的面

积.

本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：如图所示，分别取。1。1，DDX,AD的中点M,

N,连接GX,HM,MN,NE,

在正方体ABCD-451Goi中，可得GH〃NE,HM//EF,

MN//FG,

所以经过点E,F,G的截面为正六边形EFGHMN,

又因为正方体ABCD-的棱长为2,

在直角中，可得EF=y/BE。BF2=瓜

所以截面正六边形的面积为6x亨x『=3^3.

故选：D.

根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形EFGHMM且边长为，进而求得截面的面积，得

到答案.

本题考查正方体中的截面问题，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解：由题意知，向量7为不共线的向量，

若向量N—k了与k~CL—了共线,则存在实数A使得~a—kl）=X（k'a—了）,

则［lT-X\'解得k=±l.

故选：B.

根据题意，结合向量的共线定理，得到W-k7=》（人工_7），列出方程组，即可求解.

本题考查共线向量定理的应用，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解：；血=河,

~BP=（前

又♦.•！？=冠+办

.•./=福+:初，

4

文:血=血—润=I就-加

A?=A^+:前=池+：（河—硝=萍+力，

>3_1

.•1=],〃=入，

46

3111

则ntl》x+〃=4+1适

故选：A.

根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可.

本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键，属于中

档题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意可知，NO4P=60°，NOBP=45°，

设0P=八米,

cdOPh可来

在RtZVIOP中，°A=UnZOAP=^=3八米,

OB=—=。=八米，

在RtZXROP中，

tanZ-O13P1

由余弦定理可得AB2=0A2+0B2-20A-OBcosAAOB，

即3-=解得h=y/3AB'

因为AB=25米，所以九=25①米・

故选：B.

利用仰角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解.

本题考查了余弦定理的实际应用，属于中档题.

9.【答案】AB

【解析】解:设z="+历（a,be凡厚0）,则2=°_历，

因为z-2=l，所以（a+杭）（a-〃）=1,即（？+匕2=1，得⑶=（_代2=1,

可得⑶=1,故A正确；

z+1a+1+bi(Q+1+bi)(a—1—bi)a2+62—1—2bi—2hi

z—1a-1+bi(a—1+fci)(a—1—bi)(a—l)2+fe2(a—I)2+b2

—2br_j_1

因为b#0,则7逅#°，所以'为纯虚数，故B正确；

z=a,+bi(a,be凡b壬O)在复平面内对应的点为(a,b),因为屏0,

所以z在复平面内对应的点不在实轴上，故C错误；

因为z-2-22=(a-2)+(6-2凡

所以,一2—2川=J(a-2)2+(b—2)2W722+22+1=2松+1，

因为+伏=1，(b#0),所以点(a,b)在以(0,0)为圆心，半径r=l的圆上(除点(一1,0),(1,0)外)，

又西―21+(6—2)2表示点(&b)与⑵2)的距离，

且圆心(0,0)到点⑵2)的距离4=J(2—0)2+(2—川=2y/2，

所以—2—2i\=^(«-2)2+(6-2)2^(1+1=2^2+1即上一2-2"的最大值为26+1，故。错

误.

故选：AB.

设？=。+历(a,6e凡b#0),根据复数代数形式的乘法运算推导出/+廿=1，即可判断A、B、C,根据

复数模的几何意义判断D.

本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查运算求解能力，是中档题.

10.【答案】8。

【解析】解：对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误；

对于2中，由向量的数量积的定义，可得W■1)—|^|•\1)|cos7?,了，

因为胃,Te［0,7r］，可得-1<cosZ,7w1，所以才•了(同H了卜所以B正确；

对于C中，由下.下=了.工，可得(下一了)•工=0，所以(才-了让工，所以C错误；

对于。中，由|才+了『=|^|2+|T|2+2a*-T=|/『+|了『+2］才”了jcosW,了，

又(同+|了|『=|胃『+|了『+2同㈤，

因为-1《cosZ,另<1，所以|才+了I4|团+了I，所以。正确.

故选：BD.

根据向量的概念，可判定A错误；根据向量的数量积的定义，以及-14cos6,7W1，可判定B正确;

根据向量的运算律，得到(下-了).工=0,可判定C错误；根据向量的运算法则，可判定。正确.

本题主要考查平面向量的概念与平面向量的模，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：因为sin4<sinB,所以a<b,所以4<8,故A正确；

7T

若△ABC是锐角三角形，则4+3>万且A,B为锐角，

7T7T

所以]-B〉。，

7T

所以sinA>sing-B)=cosB,故5不正确；

Qsin60°=5通<9<1()，故符合条件的有两个，故C正确；

选项。，由余弦定理知，淤=Q2+,2_2QCCOS3=Q?+/一2QCX；=QC,即(Q—=。，所以

Q=C,

又5=60。，所以△/月。为等边三角形，故。正确.

故选：ACD.

7T7T

结合正弦定理与“大边对大角”，可判断4由5>4>]-5>0,结合正弦函数的单调性可判断3；

asin60°=5\/3<9<10>可判断C;利用余弦函数可判断。.

本题考查解三角形的综合，熟练掌握正弦定理、余弦定理，正弦函数的单调性等是解题的关键，考查逻辑

推理能力和运算能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4由4B=AD=BC=2,且CO=2AB，

可得CO=4,高=^4—(―-^―)2=，

则圆台轴截面A8CZ)的面积为:x(2+4)x通=3，^^2,故A正确；

对于2,圆台的体积为/=17r(1+2+4)=1竺cm：',故2正确；

33

对于C,圆台的表面积为S=7TX12+万X2?+7F(1+2)X2=117T,故。错误；

对于。，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4°相，底面半径为2°m，

侧面展开图的圆心角e="=7T,

4

设的中点为尸，连接CP,

co

D

可得NCOP=90°，OC=4,OP=2+1=3,

则CP=/42+32=5，

所以沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离为5c",故。正确.

故选：ABD.

求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项&由台体的表面积公式

可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取AO的中点为尸，连接CP,可判断选项O.

本题考查命题真假的判断，考查圆台的结构特征、梯形面积公式、圆台表面积和体积公式、圆锥侧面展开

图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

13.【答案】-12

【解析】解：「1+2?：是方程/+ax+b=O的根，则1—2?；也是方程的根，

(l+2i)(l-2i)=6,l+2i+l-2i=-a,

：,a,b的值为a=-2,b—Q.

则a，b=—12.

故答案为：-12.

利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理即可求得。、6的值，推出结果；

本题考查复数代数形式的混合运算，突出考查复数相等的应用，属于基础题.

14.【答案】7

【解析】【分析】

本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于中档题.

利用余弦定理，结合/B+/O=7T,即可求出AC的长.

【解答】

解：:4、B、C、。四点共圆，圆内接四边形的对角和为小

NB+Z.D=7F,

由余弦定理可得4。2=52+32_2.5-3-cosD=34-30cosD，

AC2=52+82-2-5-8-cosB=89—80cosB，

1.,ZB+ZD=7F,即cosB——cosD,

34-AC2_89-AC2

―30~-80-'

.•.可解得4。=7.

故答案为：7.

15.【答案】12

【解析】解：在正四棱锥P-48co中，底面A8CL）的边长为2,如下图所示，

设点尸在底面ABC。的射影点为点。，则四棱锥P—4BC0的高：?。=瓜,

则。为AC的中点，且=|,4C=^-AB=®PB=PA=\/PO2+AO2=娓，

可得PE=\/PA^—AE^-2，S/\p4B—g力B-PE—2,

故正四棱锥P—ABCD的表面积为S=4X2+22=12.

故答案为：12.

计算出正四棱锥的侧棱长以及侧面三角形的高，进而可计算出该正四棱锥的表面积.

本题考查空间几何体的表面积的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，是中档题.

16.【答案】,

4

【解析】解：过A作8C的垂线交BC与点E,

则以E为坐标原点，以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图:

则8(-1,0),。(3,0),4(0,遍)，0(2,g),

设PQ,0),Q(x+1,0),一1W，

.1.Dp=(a;-2,—\/3)，DQ=(7-1,-通),

：.D?D^^(x-2)Q-1)+3=/—3x+5=(x-|猿+

根据题意建立平面直角坐标系，设出P,。的坐标，利用坐标表示向量数量积，由此求出最小值.

本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算，属于中档题.

17.【答案】解：设圆柱的底面半径为r,则侧面展开图是一个长为2仃，宽为4的矩形，

依题意孚=tan60°,即「=空1,

47F

所以该圆柱的体积为：7n>2.4=47TX(巴3)2=竺.

7T7T

【解析】利用母线与侧面展开图的对角线成60°角，求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式可求出

结果.

本题主要考查圆柱的结构特征，圆柱体积的计算等知识，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由已知Zi+，2=4+(a—4)，€R,则a—4=0,解得a=4.

1

⑵当a=2时^_+2Z_(1+2Z)(3+4Q_-5+10Z_12

㈠当2W‘Z23-4i(3-4?)(3+4i)255+5

【解析】(1)利用复数的加法化简复数Z1+Z2,根据复数的概念可得出关于实数。的等式，即可求得实数

a的值；

Z\

⑵当a=2时，利用复数的除法可求得复数一•

22

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

19.【答案】解：⑴因为才=(2,-1),⑻=6，所以@=“2+(—1)2=

又(2下+了)•了=4，所以2才.了+72=4，即27?K+(V^)2=4，所以才•了=1，

设区与了夹角为。，则cos9="「工=厂=上，又Je[0,7r],

同了|西Jx能gj

所以sin6=，1—cos2《=a，即7?与了夹角的正弦值为与引；

⑵设b=(c,n),因为[6|=V2,则，/2+g2-y^2，

Vio

X=~T~

又才_L了，所以才•了=2c—y=。，解得

2A/10

Vio

x=----

5，所以了=（营,丝亚）或了=（—1/IO2v/10

或，__5~^

2VziU555

y^--r

【解析】（1）首先求出|才再根据数量积的运算律求出才.了，设方与了夹角为0,利用夹角公式求出

cos。，即可求出sin求

⑵设了=Q,g)，根据向量模的坐标表示及胃•了=2c—y=0得到方程组，解得即可.

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.

20.【答案】解：⑴,1(2Q-c)cosB-bcosC=0,

/.(2sinA—sinC)cosB—sinBcosC=0,

2sinAcosB—sin(B+C)=0,

,/A+B+C=7F,

sin(B+C)=sin(7r—A)=sinA,

：.2sinAcosB-sinA=0,

,/sinA〉0，

/.cos8=

,/Be(0,7T),

-7T

B=—；

J

7T

⑵由3=司，b=2,

o

可得：b2=a2+cP—ac—(a+c)2—3QC,

又(Q+C)2-3QC2(Q+C)2—-(fl+C)2——(d+C)2’

(a+c)2<4俨=16,即a+cW4,

又Q+c〉b=2,

△48。的周长的范围为（2,4].

【解析】（1）由正弦定理把已知等式边化角，再由A+B+C=7r,得cos_B=g；

（2）由余弦定理及重要不等式得a+c<4,利用两边之和大于第三边可得a+c>2,即可得解△AB。的

周长的范围.

本题考查三角形的解法，正弦定理、余弦定理、重要不等式以及三角形内角和定理的应用，考查计算能

力，属于基础题.

21.【答案】解：（1）设圆锥SO的母线长为/，底面。。的直径为2r，所以1

2r=12，/|\

因为ASAB的面积为48,所以Sas4B=，2r-SO=48,解得S0=8，/DKK

由勾股定理，可得母线/='SO?+丁2=10,4/I\R

由圆锥的表面积公式有：S及=S侧+5底=7T”+?rr2=6（所+367r=967r；

（2）如图所示，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为。，

则。E1S6于E,。E=。。=/?（其中尺为球的半径），

则△SEOsaSOB,可得。E：BO=SD：SB,即解得7?=3cm,

610

333

所以球的体积匕=-7T1?=367rcm,圆锥的体积匕=勺=967rcm,

圆锥体剩余的空间体积为V=匕一%=6（）7Tcm3.

【解析】（1）设圆锥S。的母线长为/,底面00的直径为2r,由ASAB的面积为48,求得SO=8,结合

圆锥的表面积，即可求解；

（2）作出圆锥的轴截面，设球心为，根据△SEOsaSOB,求得A=3cm,利用体积公式求得球和圆

锥的体积，即可求解.

本题考查了圆锥的表面积和球的半径计算，属于中档题.

22.【答案】解：（1）在△4RC中，且48=4,AC=10,由余弦定理得[=”望孚二普，解得

22x4x10

BC=2，再，（负根舍去），故BC=2，团.

以A为原点，建立平面直角坐标系，易知4（0,0）,0（10,0）,

如图所示：

设BQM，由两点间距离公式得/+/=i6@—10）2+/=76