高一数学专项复习：一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇）

第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇）

【人教A版2019】

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性

较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！

选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2023春・福建莆田•高二校考阶段练习）对于任意实数a,6,c,d,以下四个命题中的真命题是（）

A.若a>b,cW0,则ac>beB.若a>b>0,c>d,则ac>bd

C.若Q>b,贝壮〈工D.若。。2>儿2,则a>b

ab

2.（5分）（2023•全国•高三专题练习）若实数x,y满足，则"+y的取值范围（）

A.[1,+oo）B.[3,+oo）C.[4,+oo）D.[9,+8）

3.（5分）（2023春・河北保定•高一校考期中）已知。=鱼，b=V7-V3,c=V6-V2,则a,b,c的大

小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

4.（5分）（2023春・山西太原•高二校考阶段练习）已知函数/（久）=/+。％+力5/GR）的值域为[0,+8）,

若关于％的不等式f（'）<c的解集为（孤血+6）,则实数c的值为（）

A.9B.8C.0D.6

5.（5分）（2023•全国•高三专题练习）已知关于%的不等式a/+ft%+c<0的解集为｛久<一1或%>4],

则下列说法正确的是（）

A.a>0B.不等式aM十次+b>0的解集为｛%|2-近<%V2+夕｝

C.a+b+c<0D.不等式a%+h>0的解集为｛汽|%>3｝

6.（5分）（2023•全国•高三专题练习）若久>0,、>0且％+37=2,则下列结论中正确的是（）

A./+、2的最小值是1B.孙的最大值是:

C.|+：的最小值是4鱼D.«+后的最大值是2

7.（5分）（2023•全国•高三专题练习）若对任意实数第>0,y>0,不等式％+〈a（%+y）恒成立，则

实数a的最小值为（）

A.—B.V2-1C.V2+1D.四

22

8.（5分）（2023•全国•高三专题练习）已知对一切％6[2,3],yG[3,6],不等式一盯+丫2之0恒成立，

则实数m的取值范围是（）

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2023•全国•高三专题练习）[多选]下列说法正确的是（）

A.若出？>0,则a+b>2y[abB.若a>b>0,则M—fa3>a2b—0炉

C.若a>b>0,则a+6<J2（a2+胡）D.若ab<0,贝!|2+巴>2

vab

10.（5分）（2022秋・广东.高一校联考期中）下列说法正确的有（）

A.丫=①的最小值为2

X

B.已知久>1,则y=2%+'——1的最小值为4或+1

JX-1

C.已知正实数居y满足％+2y=3%y,则2%+y的最大值为3

D.若关于％的不等式（a-2）%2+2（a-2）%-4<0对一切久ER恒成立，则实数a的范围是一2<a工2

11.（5分）（2022秋•湖北十堰•高一校考阶段练习）已知正实数%,y满足3%+y+-13=0,且2/-t-4<

2y-孙恒成立，则t的取值可能是（）

A.--B.-1C.1D.-

22

12.（5分）（2023•全国•高三专题练习）已知二次函数y=aM+力％+c（a。0,a,仇c为常数）的对称轴为

%=1,其图像如图所示，则下列选项正确的有（）

B.当时，函数的最大值为。一小

C.关于％的不等式a/+bx2＞a(x2—2)2+b(x2—2)的解为X＞迎或汽＜—V2

D.若关于％的函数£=x2+bx+1与关于t的函数y=产+况+1有相同的最小值，则仍一1|2通

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2023•全国•高三专题练习）若实数乃y满足j,则3x+y的取值范围为.

14.（5分）（2023•全国•高三专题练习）已知无€[4,+8）,ye（0,5],ze（0,1],则艺竺上+灯的最小

x+2zy

值为.

15.（5分）（2023秋•湖南长沙•高一校考期末）已知实数a,6满足0<b<1+a,若关于x的不等式（a2-I）%2+

2bx-b2<。的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是.

16.（5分）（2023春・浙江•高一校联考期中）已知对任意xeR,均有不等式a/+bx+c>。成立，其中。<0.

若存在teR使得（1—t）a+（1+2t）b+3c=0成立，贝股的最小值为.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2023•高一课时练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地

板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为am2,地板面积为

bm2,

（1）若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为330m2,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？

（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为tm2,则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？

请说明理由.

18.（12分）（2023・高一课时练习）（1）比较/与/一%+1的大小;

（2）已知a>6>c,且a+6+c=0,

①求证:

—a-c>—b-c.

②求?的取值范围.

19.(12分)(2023春・河北石家庄•高一校考阶段练习)若正数”，b,c满足a+b+c=l.

(1)求ab+be+ca的最大值；

(2)求证：念+士+£对.

20.(12分)(2023春•江西景德镇•高二校考期中)已知函数/(%)=(7H+1)%2一瓶%+租—1(租eR).

(I)当m>一2时，解关于x的不等式/(%)>m；

(II)若不等式/(%)之。的解集为D,且[一1,1]1。，求m的取值范围.

21.(12分)(2022•高一课时练习)已知％>0,y>0.

(1)若久y=2,x>y,不等式％2+y2-47n%+4/nyz0恒成立，求实数机的取值范围;

(2)若不等式工+工+'20恒成立，求实数m的最小值；

xyx+y

(3)若x+y=l.且工+229恒成立，求正实数a的最小值.

xy

22.(12分)(2022秋.广东广州•高一校考阶段练习)已知函数了=£1/一(2(1+3)%+69610.

(1)若y>。的解集是{xI%<2或x>3},求实数a的值；

(2)若y+2>0恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a=1.时，若一2W%<2时函数yW—(m+5)x+3+m有解，求根2+3的取值范围.

第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2023春・福建莆田•高二校考阶段练习）对于任意实数a,仇c,d,以下四个命题中的真命题是（）

A.若c#=0,贝！Jac〉beB.若a>b>0,c>d,则ac>bd

C.若a>b,贝壮〈工D.若。。2>比2,则a>b

ab

【解题思路】采用举反例的方法，可判断A,B,C,利用不等式性质可判断D.

【解答过程】若a>b,当c<0,则ac<be,A错误；

若a>b>0,c>d,取a=2,b=l,c=—1,d=-2,满足条件，但ac=bd,B错误;

若a>b,取Q=1,b=—1，则工>=，C错误；

若知2>儿2,则必有。,故02>0,则a>b,D正确，

故选：D.

2.（5分）（2023•全国•高三专题练习）若实数尤，y满足晨;短、，则勿+y的取值范围（）

A.[1,+oo）B.[3,+oo）C.[4,+oo）D.[9,+8）

【解题思路】设2%+y=+y）+九（5%+2y）,求出成九，再根据不等式的性质即可得出答案.

【解答过程】解：设2%+y=+y）+几（5%+2y）,

解得m=n=I，

故2久4-y=1(x+y)+|(5%+2y),

%+y>1

又因

5%+2y>2

所以久久+y)>+2y)>

所以2x+y>1.

故选：A.

3.（5分）（2023春•河北保定•高一校考期中）已知a=V^,fa=V7-V3,c=V6-V2,则a,b,c的大

小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【解题思路】通过作差法，。-6=奁+遮-夕，确定符号，排除D选项;

通过作差法，a_c=2五一显确定符号，排除C选项；

通过作差法，b-c=(V7+V2)-(V6+V3),确定符号，排除A选项；

【解答过程】由a-6=鱼+8一夕，且(鱼+b>=5+2遥>7,故a>b；

由a—c=2V2—V6_IL(2V2)2=8>6,故a>c；

-c=(V7+V2)-(V6+百)且(乃+V3)2=9+2V18>9+2V14=(V7+V2)2,故c>b.

所以a>c>b,

故选：B.

4.(5分)(2023春•山西太原•高二校考阶段练习)己知函数/(*)=无2+a*+6(a,bGR)的值域为[0,+8),

若关于久的不等式/(K)<c的解集为(犯小+6),则实数c的值为()

A.9B.8C.0D.6

2

【解题思路】由题意可得％=n然后求出不等式/(无)<C的解，结合已知条件可得出关于C的方程，进而

4

可求得C的值.

【解答过程】由题意知/(%)=/+Q%+b=(%+§+匕-亍，

22

因为函数/(%)的值域为[0,+8),所以，b-亍=0,可得6=亍，

由/(%)Vc可知c>0,且有(％+])<c,解得一'一五V%+正，

所以，771=———VF,771+6=——+VF,

所以，6=(m+6)—m=2y[c,解得c=9.

故选：A.

5.(5分)(2023•全国•高三专题练习)已知关于%的不等式a/+/)%+c<0的解集为｛%|%<一1或久>4),

则下列说法正确的是()

A.a>0B.不等式a/+ex+b>0的解集为｛%|2—V7<x<2+V7｝

C.a+b+c<0D.不等式a%+b>0的解集为｛%|%>3)

【解题思路】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为/-4%-3V0,即可判断选项B正确；设f(%)=

ax2+fox+c,则判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.

【解答过程】解：因为关于％的不等式Q/+b%+cV0的解集为｛%[%<一1或%>4｝,所以QV0,所以选项

A错误；

a<0

-1+4=~~b=—3a,c=—4a,所以a/+c%+ft>0为％2—4%—3V0,.，.2—夕〈x<2+

-1x4=-

{a

夕.所以选项B正确；

设f（%）=a/+bx+c,贝！J/（l）=a+b+c>0,所以选项C错误；

不等式a%+Z?>0为ax—3a>0,.<-%<3,所以选项D错误.

故选：B.

6.（5分）（2023•全国•高三专题练习）若无>0,、>0且％+〉=2,则下列结论中正确的是（）

A./+y2的最小值是1B.的最大值是（

C.：+?的最小值是4鱼D.«+后的最大值是2

）

【解题思路】根据％2+y2=（%+y2_2%y、-+i=if-+iV%+y）A（V%+4丫=%+V+2^/xy,利用

基本不等式依次求解最值即可.

【解答过程】对于A,%2+y2=（%+y）2—2xy=4-2xy>4—2x（苫^）=2（当且仅当％=y=1时

取等号），・•・（/+y2）mE=2,A错误;

对于B,,・・Xy工（学）=1（当且仅当％=y=1时取等号），（%y）max=1，B错误；

对于C,V-+A=1（-+i）（%+y）=1（3+^+-）>-Xfs+2I型.4=巴叱（当且仅当2=工时取等号），

xy2\xyJ2\xy/2\-Jxy）2xy

对于D,（V%+Jy}2=x+y+2yfxy=2+2^/xy<2+x+y=4（当且仅当x=y=1时取等号），二

（G+J7）max=2,D正确.

故选：D.

7.（5分）（2023•全国•高三专题练习）若对任意实数x>0,y>0,不等式x+Wa（久+y）恒成立，则

实数。的最小值为（）

A.—B.V2-1C.V2+1D.—

22

【解题思路】分离变量将问题转化为a>出亚对于任意实数久>0,y>。恒成立，进而求出出殛的最大值,

x+yx+y

设卡=t（t>0）及1+t=m（m>1）,然后通过基本不等式求得答案.

【解答过程】由题意可得，a>空运对于任意实数x>0,y>0恒成立，则只需求也空的最大值即可,生亘=

x+yx+yx+y

1+1+化1+X

设g=9>0)，则券，再设1+「=m（血>1）,则，=含mm1

22

l+(m-l)m-2m+2m+-m-2

心=等，当且仅当=V2-1时取得

X

所以a2等，即实数。的最小值为学.

故选：D.

8.（5分）（2023•全国•高三专题练习）已知对一切％E[2,3],y6[3,6],不等式—盯+y220恒成立,

则实数m的取值范围是（）

A.m<6B.-6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【解题思路】令t=3分析可得原题意等价于对一切t6[1,3],m2t-t2恒成立，根据恒成立问题结合二

次函数的性质分析运算.

【解答过程】Vxe[2,3],ye[3,6],贝46扇刍，

••.汴[1，3]，

X'-,mx2—xy+y2>0,且％6[2,3],x2>0,

2

可得小22-0），

x\x/

令t则原题意等价于对一切tW[1,3],77121一产恒成立，

Ty=t—/的开口向下，对称轴力=5

则当t=1时，y=1-/取到最大值'max=1-I2=0,

故实数血的取值范围是m>0.

故选：C.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2023•全国•高三专题练习）[多选]下列说法正确的是（）

A.若ab>0,则a+B.若a>b>0,则/一/>a2人一

C.若a>b>0,则a+bV，2（屋+炉）D.若ab<0,贝壮+2>2

vab

【解题思路】取a,b为负数可判断A；作差法可判断B；对a+b<J2（4+炉）平方作差可判断C;取a=4,

b=-1可判断D.

【解答过程】对于A,若ab>0,则a,b可能均为负数，此时a+b<0,而>0,故A错误.

对于B,因为Q>b>0,所以a—b>0,

所以M—b3—a2b+ab2=a2(a—b)+h2(a—b)=(a—b)(a2+b2)>0,

即M—ft3>a2b—ab2,故B正确.

对于C,将不等式a+bVJ2g2+炉)两边同时平方,得(a+b)2<292+52),

整理得。2+62一2防>0,即(a—b)2>0,因为a>b,所以不等式成立，故C正确.

对于D,因为abv0,所以不妨取。=4,b=-1,贝胆+：=一工一4<0,故D错误.

故选：BC.

10.(5分)(2022秋・广东•高一校联考期中)下列说法正确的有()

A.y=也的最小值为2

JX

B.已知久>1,则y=2%+W—1的最小值为全匹+1

C.已知正实数须y满足％+2y=3%y,则2%+y的最大值为3

D.若关于汽的不等式(a-2)%2+2(a-2)%-4<0对一切％ER恒成立，则实数a的范围是一2<a<2

【解题思路】对于A选项，y=3=%+,利用基本不等式式可判断，但要注意x范围.

，XX

对于B选项，y=2x4—1=2(%—1)H---+1,后利用基本不等式解决问题.

/X-lX-1

对于C选项，由x+2y=3盯得翳=金+2=1,贝忸+y=(2x+y)圈+3,后利用基本不等式可解

决问题.

对于D选项，当a=2时，显然成立.当a片2时，转化为/(x)=(a-2)/+2(a-2)x-4图像恒在x轴下方

即可.

【解答过程】对于A选项，y=9=易得

当久>0时，y=匚匚=%+->2lx--=2,当且仅当久=即久=1时取等号.

XXVXX

当％<0时，y==%+}=—(—%+$-2J(r)•=一2，

当且仅当一支=工，即％=-1时取等号.因条件中未告知x范围，故A错误.

-X

对于B选项，“y=2%4-—V———11V—=12(x—1)+—+1,因久>1,

则2(%-l)+^-+l>2J2(x-1)~+1=4V2+1,

当且仅当2(%-1)=士，即％=/+1时取等号.故B正确.

X—1

对于C选项，由％+2y=3盯得匕空=—+—=1,

/173xy3y3x

则2x+y=(2x+y)岛++|^+|>又/y为正实数.

则兹+江+三？2户方+§=3.

3y3x373y3x3

取等号时有|^=小即x=y,代入x+2y=3xy,得x=y=1.

即当且仅当x=y=1时，上述不等式取等号.则2x+y的最小值为3.

又;+£=1,当;无限接近1时，y无限接近"此时j无限接近于0,得x接近正无穷大，故2x+y无最大

3y3%3y,33%/

值.综上，C选项错误.

对于D选项，当。=2时，原式化为一4V0,故。=2满足条件.

当aW2时，不等式(a—2)%2+2(a—2)x—4<0对一切汽6R恒成立

等价于/(%)=(a-2)x2+2(a-2)x-4图像恒在x轴下方.

有IA<0°,叫4(a一2尸+16(a-2)<0得-?<a<2.

综上一2<aW2,故D正确.

故选：BD.

11.(5分)(2022秋・湖北十堰•高一校考阶段练习)已知正实数尤,y满足3x+y+xy-13=0,且2t2-t-4<

2y-%y恒成立，则/的取值可能是()

33

A.--B.-1C.1D.-

22

【解题思路】对式子变形，构造定值，利用基本不等式求解最值，利用最值解决恒成立问题.

【解答过程】由3x+y+xy-13=0,得(％+l)y=-3%+13,因为x>0,所以刀+140,所以y=考含=

-3+—,贝ik+y=x+2■—3=x+l+”一4》2V16-4=4,

x+1Jx+1X+1

当且仅当％=3时，等号成立，故2y-=3(%+y)-13》一1,

因为2t2—t—442y—%)/恒成立，所以2t2—t—340,解得—14t《*故A错.

故选：BCD.

12.(5分)(2023•全国•高三专题练习)已知二次函数y=0%2+力%+0。。,见仇c为常数)的对称轴为

%=1,其图像如图所示，则下列选项正确的有()

B.当。4支<1一。时，函数的最大值为c—M

C.关于式的不等式a—+bx2>a(x2—2)2+b{x2—2)的解为%>鱼或％<—V2

D.若关于％的函数£=%2+b%+1与关于t的函数y=12+从+1有相同的最小值，则仍一1|之而

【解题思路】A选项，由开口方向，与y轴交点，及对称轴，求出见hc的正负，得到A正确；B选项，当

a<x<l-a0^,数形结合得到函数随着%的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合力=-20，化简

不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到21-9，求出g-1|2遍.

【解答过程】A选项，二次函数图象开口向上，故a>0,

对称轴为x————故b=—2ci<0,

2a

图象与y轴交点在y轴正半轴，故c>0,

所以abc<0,故|abc|+abc=—abc+abc=0,A正确；

B选项，因为b=-2a,故y=ax2-2ax+c,

因为a>0,所以

当。<%<1—a<1时，y=ax2—2ax+c随着%的增大而减小，

所以％=a时，y取得最大值，最大值为y=。3一2小+仁B错误；

C选项，因为b=—2a,所以a/+_2ax2,

a(x2—2)2+b(x2-2)=ax4—4ax2+4a—2a(x2-2)=ax4-6ax2+8a,

故不等式a-+bx2>a(x2—2)2+b(%2—2)变形为4a广—8a>0,

因为a>0,%2>2,解得：、>鱼或％<一加,故C正确；

D选项，t=%2+6%+l=(x+1)2+l-^,当第=一g时，t取得最小值，最小值为1一日，

y=/+从+1=+1—空当方=—削寸，y取得最小值，最小值为1—彳，

所以一g21—彳，即炉―2b—420,所以(b—1)2>5,

即仍一1|>V5,故D正确.

故选：ACD.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2023•全国•高三专题练习）若实数x,y满足则3x+y的取值范围为

【解题思路】将3尤+y表示成关于（x+y）和（％-y）的表达式进行求解即可.

【解答过程】由不等式的性质求解即可.

解：3%+y=2(%+y)+(%-y),

因为实数*，y满足

所以2<2(x+y)+(x—y)<5,

即3%+丫的取值范围为(2,5).

故答案为：(2,5).

14.（5分）（2023•全国•高三专题练习）已知xe[4,+8）,ye（0,5],ze（0,1],则殁罗+等的最小

值为2+2鱼

【解题思路】将四，竺+二上变形为高+学+；-+2,然后利用基本不等式求解得5空+9工+

x+2zyx+2z2y2yx+2z2y2y

22夜+19+2,再根据取等号的条件可得;=焉=备，判断出（的范围，进而判断得当勺范围，可得

1•连也可得所求最小值・

2x+y+4z,2x+z。,y(x+2z)+3xy.x+2z3X)

【解答过程】------------1-------=2-1----------F=-------1---------1---------FZ>Z|+|-|+2=V2+|^+

x+2zyx+2z2yx+2z2y2y

2,

当且仅当品=詈，即2y2=（%+2z¥时取“=”，

此时±==Vxe[4,+oo）,z6（0,1],

yxz+%

1

/.-e（o,1，.•-24=越，

x\4jy1+^32y

；・原式22+2近，此时x=4,y=3V2,z=1.

故答案为：2+2&.

15.（5分）（2023秋•湖南长沙•高一校考期末）已知实数a,6满足0<6<1+a,若关于x的不等式（a2-I）%2+

2bx-b2<0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（L3）.

【解题思路】先对不等式左边进行因式分解，再结合a>-1对a进行分类讨论，分ae（-1,1）.a=1和a>1

三种情况，求出符合要求的实数〃的取值范围.

【解答过程】(a2—l)x2+2bx—b2<0可变形为[(a+l)x—b]-[(a—l)x+fa]<0,

因为0<bV1+a,所以0<--<19

a+l

其中a>—1,

当时，y=(十一I)/+2bx-扰开口朝下，不合题意；

当a=l时，2版一。2<0,解得：所以不满足整数解有且仅有3个，舍去；

当a>1时，y=(a2—l)x2+2bx—力2开口朝上，

因为匕<°，所以不等式解集为拉1匕<刀<^｝，

此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0,-1,-2,

则必有—3<<—2,所以2(a—1)<Z?<3(a—1),结合0<6<1+a,

所以2(a—1)<1+u,所以l<a<3,

综上：aG(1,3)

故答案为:(1,3).

16.(5分)(2023春・浙江•高一校联考期中)已知对任意xeR,均有不等式a/+bx+c>。成立，其中人<0.

若存在teR使得(1-t)a+(1+2t)b+3c=0成立，则t的最小值为(.

4

【解题思路】由一元二次不等式恒成立得c2&>0、a>0,将问题化为求t=列禁的最小值，令m=2<0

4aa-2ba

则t21+9当皿，应用基本不等式求最值，注意取值条件.

8——2m

【解答过程】由题设有炉W4ac,又b<0,贝肥2(>0,

(△=b/一4ac<04a

又(1—t)a+(1+2t)b+3c=a+b+3c+(2b—a)3贝！J2b—aV0,

a+b+3c

故存在tER使a+b+3c+(2b—a)t=0成立,则”

a—2匕

所以t=1+i+3令„i=2<o,故+

a—2b1——a8—m

”…3(--7n)2+5(m--)+-

所以t21+'~il+i-[(|-m)+^-5],且>小>0,

-2m

而卷,〔G_血)+“J、-5]>^•[2]G-叫.小9-5]=—：,仅当；—m=I，即m=-1等号成立,

oz4(--m)07z4(--m)4zz

所以t",仅当a=一且c=?=?时等号成立，故t的最小值为

故答案为：

4

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.(10分)(2023•高一课时练习)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地

板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为am2,地板面积为

bm2,

(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为330m2,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？

(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为tm2,则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？

请说明理由.

【解题思路】(1)根据题意列出关于a,b的等量关系和不等量关系，化简求解即可

(2)分式的分子分母同时增加t,通过作差法比较新的分式与原来分式的大小，从而判断采光效果变好了还

是变坏了

a+b=330„

【解答过程】(1)根据题意可得：｛a>ino/，贝帕=330-a,所以三一210%，解得：a230,所

'7bNlUvo330-a

以这所公寓的窗户面积至少为30平方米

(2)同时增加窗户面积和地板面积后，比值为二,则"-f=*3,因为b,t>O,b>a,

b+tb+tb%七匕(b+Rt)-atb(b+t)>O

r-ra+tat(匕一a)、M匚匚a

所以-b+-t----b=-7匕一(匕+~£)>0,所以b一+t>b

所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后，公寓的采光效果变好了.

18.(12分)(2023・高一课时练习)(1)比较/与—+1的大小；

(2)已知a>b>c,且a+力+c=0,

①求证：—>

a-cb-c

②求£的取值范围.

a

【解题思路】(1)对两式作差，然后因式分解并分X=l,%>1,X<1三种情况讨论，即可求解；

(2)①由a>b>c且a+b+c=O,可得c<0,再结合不等式的基本性质，即可求解；

②由题意，有a>0,c<0,又2=—£-1<1即可求解.

aa

【解答过程】解：(1)炉—(x2—X+1)=(%3—X2)+(%—1)=(%2+1)(%—1),

当％=1时，(/+1)(%—1)=0,故第3=X2—X+1,

当%>1时，(/+1)(%—1)>0,故％3>%2—%4-1,

当光<1时，(/+1)(%—1)<0,故/<%2—X+1；

(2)①证明：a>b>c且a+b+c=0,

••・c<0,

•・•a>b>c,

a-c>h-c>0,两边取倒数得―-<―

a-cb-c

又CV0,

,从而得证.

(2)va>b>c且a+b+c=0,

a>0,c<0,

所以£<o,-<i,

aa

因为a+b+c=0,所以1+2+工=0,即2=—£一1,

CLCLCLCl

所以一£一1<1,即£〉—2,

aa

综上，—2<-<0.

a

19.(12分)(2023春•河北石家庄•高一校考阶段练习)若正数a,b,。满足a+b+c=l.

(1)求ab+be+ca的最大值；

(2)求证：/+三+二n士

b+cc+aa+b2

【解题思路】(1)由(a+b+c)2=](2a2+2〃+2c?)+2(ab+be+ca),应用基本不等式求最大值，注

意取值条件；

(2)利用基本不等式求三+比2a、—+—>b,^-+—>c,即可证结论，注意等号成立条件.

b+c4c+a4a+b4

【解答过程】(1)由(a+b+c)2=标+力2++2(ab+be+ca)=1(2a2+2b2+2c2)+2(ah+be+ca),

所以(a+b+c)2>3(ah+be+ca),即ab+be+ca<|,仅当a=b=c=[时等号成立，

综上，ab+be+ca的最大值为

(2)由它■+比22叵豆=a,仅当乙=比，即2a=b+c=三时等号成立，

b+c47b+c4b+c43

由£+汇22隹二五=b,仅当乙+虫，即2b=c+a=2时等号成立，

c+a47c+a4c+a43

由士+^>2I—■—=c,仅当士+—,即2c=a+b=々时等号成立，

a+b4、/a+b4a+b43

综上，乙+—+=2a+b+c-（空+色+山）=山=工，仅当a=b=c=工时等号成立.

20.（12分）（2023春•江西景德镇•高二校考期中）已知函数/（%）=（7H+1）%2—772%+租—1（772eR）.

（I）当相>一2时，解关于x的不等式/（久）>m；

（II）若不等式/（%）Z0的解集为D,且［一1,1］1。，求m的取值范围.

【解题思路】（I）将不等式化为一般形式，然后根据血的取值情况分类讨论求解即可.（II）将条件中的

集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后

根据基本不等式求解可得所求.

【解答过程】（I）由/（%）>m得，（m+l）x2-mx-1>0.

即［（TH+l）x+l］（x—1）>0.

①当zn+l=0,即zn=—1时，解得％N1；

②当TH+1>0即zn>一1时，解得％<——'或久>1；

771+1

③当zn+1<0,即一2VznV—1时，

m+2、„

由T于----1---«，

m+11=----m--+--1>0

故解得1W%工--m-+1

综上可得：当>—1时，解集为｛式[%4—7nx或％-1｝；

当血=一1时，解集为｛%|第21｝；

当一2<m<一1时，解集为｛%|1<x<一品I

(II)不等式/(%)>0的解集为D,且[一1,1]UD,即任意的久6[—1,1]不等式(m+I)%2—mx4-m-1>0恒

成立.

即m(%2—%+1)>—x2+1对任意的%6[—1,1]恒成立,

由于久2—%+1>0,

Am>x二2-:x++：l=-1+x2-x+l对任意的久e恒成立.

令力=2—xE[1,3],则x=2—3

..2-xtt，

・---------=-------------------=----------=————1v,——1——=1y----2-V-3-,

一%+i(2—t)2—(2-t)+lt2—3t+3t+——32.y/3—33

当且仅当t=g,即％=2-遮时等号成立.

・—x2+l12—x2V3

••~；----——14—；----工,

x^-x+l*-％+13

实数小的取值范围是[/,+8)

另解：

不等式/(%)>0的解集为。，且[一1,1]UD,即任意的％6不等式(6+I)%2-mx+m-1>0恒成

立.设g(%)=(m+l)x2—mx+m—1

⑴当巾+1<0时产二？，解得巾e0

(g(l)>0

(2)当m+1=0时,gQv)=x-2,当％6时恒小于0,不满足，舍去

(3)当zn+1>0时，

(i)21=m2—4(m+l)(m—1)<0,即m<—手或m>?,得m>手

mm

(>1(《I

(ii)[2(m+l)或12(m+l)，解得7ne0

1^(1)>0l5(-i)>o

综上可得实数m的取值范围是[竽,+00).

21.(12分)(2022