与导数相关的极值、最值-高考数学复习压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题33与导数相关的极值、最值

【方法点拨】

1.极值问题转化为（二次）方程根的问题，为求某个表达式的范围，其难点在于消元、新元的

范围.

2.利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体

现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

⑶参变量分离法：由〃九）=0分离变量得出Q=g（%）,将问题等价转化为直线>与

函数y=g（x）的图象的交点问题.

【典型题示例】

例1（2022•全国乙卷17）已知x=芭和x=%分别是函数/（x）=2优-ex?（a>0且

awl）的极小值点和极大值点.若不<々，则a的取值范围是.

【答案】

【分析】由国,无2分别是函数/（力=2优-eV的极小值点和极大值点，可得

%«-00,%）。（％2，+00）时，xe（X],X2）时，r（x）>0,再分4>1和o<a<l

两种情况讨论，方程21na•优—2ex=0的两个根为和马，即函数y=lna•优与函数

>=ex的图象有两个不同的交点，且满足石时，In〃•优<ex，

%6（%,々）时，111人,>Q，求出函数y=lna•优与函数>=夕相切时。的值，结合图

象即可得出答案.

【解析】f'（x）=21na-a'—2ex,

因为为,尤2分别是函数/（尤）=2ax-ex2的极小值点和极大值点，

所以函数/'（x）在和（%2，+°°）上递减，在（%，9）上递增，

+00

所以当XC(YO,X1)5W，)时，r(x)＜。，当％«石,兀2)时，r(x)＞。,

若〃〉］时,

当x<0时，21n〃•[*>0,2ex<0,

则此时/'(%)＞0,与前面矛盾，

故a＞1不符合题意(如下图左立知)

设函数y=lna•优与函数>=ex的图象的切点为（毛,%）,

In2a•/=e①

则、

x

Ina-a°=ex0②

①।1

内得lna=—即x（）lna=l,a^=e

代入①得In2a=1，解得a=e(不合题意，舍去)，或a=，

e

此时，当。增大时，函数y=lna•优与函数y=ex的图象有两个不同的交点(如上图右)，

又0<a<l,所以

e

综上所述，4的范围为

例2已知/(x)=(x-l)2+alnx在］;,+00)上恰有两个极值点X］,%，且占＜%,则

3上的取值范围为（）

X2

A.卜3,；—ln21B.—

C.f-oo,^--ln2jD,f^--In2,-1-ln2

【答案】D

【分析】由题意得导函数在区间有两个零点,根据二次函数性质可得3＜。＜!，

U）82

%+9=113/（x）

由根与系数的关系可得1a以及一＜.＜一,求出口12的表达式，将占用超表

­=-24x2

示，表示为关于马的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.

【解析】由题意得/'（力=2%-2+q="凸士@（x〉0）,

令r（X）=O,得2/_2苫+4=0,

由题意知2/—2x+a=0在上有两个根匹，々，

tz＞0,

f17131

⑷482

△=4—8。〉0

%+/=1

由求根公式得菁2=8。=1士;2a,

由根与系数的关系得《a

\X2=~

1+J1—2。,...U.」＜/＜工

2822-4

则上hl」%—1）+4如石=石+2石々如石=々+2（1_々）如（1_々）

=x?-]+2(1-%2)ln(l-/j+l3＜々＜力,

人ii

令。=1一%2，贝nr!!-</<一.

42

11

设g(%)=—t+2/In/+1—<t<—，则g'⑺=l+21n，,

42

易知g’⑺在d

上单调递增,

Ag,(r)=l+21nr<l-21n2=ln1<0,

,当（＜/＜;时，函数g（'）为减函数，

1113n/\1111,

<---l-2x—In—+1=——In2,且g⑺〉----l-2xln—In—+1=——In2,

4444v72222

故选：D.

点评：

1.根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数”的取值范围，

以及占与马之间的关系；

2.将题意转化为关于％的函数，构造出/=利用导数判断单调性.

例3已知玉，%是函数/（%）=彳2+相历，机eR的两个极值点，若不＜々，则*”）

的取值范围为.

【答案】（-&Tn2,o]

mf（1

【分析】先由题得所以菁+尤2=1，%-々=一，化简得±3=（1一再）+2%比玉一「，

2%21—

再构造函数g（x）=（1-X）+2xlnX]-—匚（0＜x＜3,利用导数求函数的值域即得解.

1-x2

2

\cmA2x-2x+m

【解析】7(%)=2%+——2=----------------(XG(0,+O)))

XX

丁玉，%是函数/(%)=%2+minx-2x的两个极值点

项、％是2好-2x+m-G两个根，

由韦达定理得万+%2=1，%%2=晟，且A=4—8机>。

故加<g,m-2%%-2/0—%)

22

/(%1)_x,+m]nx1-2xi_-I)+2^X2^^-1

所以---------------------------------------------

/X?X?

~(11%)+2X]InXj---------

\-xx

令g(x)=(l-x)+2xlnx———(0<x<—),

1x2

贝!Jg'(%)=-l+21nx+2-----------=ln(ex2)----------

(x-1)2(x-1)27

由%〈工

0<=^>0<<—<1,/.ln(^x2)<0,

24

所以g'(x)<0,.-.g(x)在(0,-)单调递减，

2

1113

又当xf0时，xlnx-O,g(—)=—+ln—2=------In2,

2222

所以函数g(x)的值域为1—^—1112,0)

即的取值范围为[-5—In2,0).

点评：解决以极值为背景的范围问题，关键点有二，一是减元，二是构造函数，最终转化为

区间上的最值问题.

例4已知函数/（尤）=以+,+（〃—1）111元（々£外的最小值为2,则实数Q的值是

【答案】Q=1或a=e

1〃一1(A：+l)(at-l)

【解析】Vf\x)=a--+——

xx

当aWO时，r（X）＜0,，/（X）是（0,+8）上的减函数,

函数/（X）无最小值，舍去;

当a>0时，由/>'(x)>0得，x>~,

a

y（x）在（0,工）上单调递减，在（,，+8）上单调递增,

aa

函数/（X）的最小值为/（-）=l+«+（l-«）lna,

a

由l+〃+（l-〃）ln〃=2,得（〃一1）（1一In〃）=0,

解得a=1或a=e.

【巩固训练】

1.设函数/（x）=ax+L+lnx有两个极值，实数。的取值范围是.

2.若函数/00=,办2_，+1在x=%和％=/两处取得极值，且迤22,则实数。的取

2Xj

值范围是.

3.己知函数/（x）=ad—2x+lnx有两个不同的极值点为，/，若不等式丸＞/（%）+

/（%）恒成立，则实数力的取值范围是.

4.已知函数f（x）=x2-ax+21nx（其中〃为常数）,设函数/（%）有两个极值点七,/（不＜/），

若/（%）＞哗恒成立，求实数机的取值范围.

5.已知函数段）=lnx+coHbH其中a,6为常数且。=0）在x=l处取得极值，若黄尤）在（0,

e］上的最大值为1,则。的值为.

x1

6.设函数/（%）=e—+“历x-2%—-）恰有两个极值点，则实数/的取值范围是（）

XX

A.停｝U（l,+8）B.申UL+8）c.性汕［1,+8）D.口,+8）

7.（2022•全国乙卷」7改编）已知％和%分别是函数/（冗）=2优一ed（〃>0且

QW1）的极大值点和极小值点.若玉<%2，则〃的取值范围是.

【答案或提示】

1.【答案】（—，0）

4

・皿7..「,/、11ax2+x-1

【角牛析1・f（x）=〃--H—=----------,

XXX

a<0

11

若函数/（%）有两个极值，则4——>0,解得——<〃<0,

2a4

1+4〃〉0

故〃的取值范围是（-工，0）.

4

2

2.【答案】［■；——,+8）

m2

【解析】•.•函数/（刈=；以2—，+1在X=X］和％=%两处取得极值，且个22

，方程/'（%）=。%-/=0有两个根％=%和%=%2，且工

石

考虑函数y=⑪和y=/的图象，利用导数，不难得到a〉e时，方程f'（x）=ax-ex=0

有两个根

ax-eXx=0eXleX1

进一步的，由《x—sa————

X2

ax2-e=0为冗2

构造函数R(x)=J,可知/(X)在区间(0,1］上减，在区间［1,+00)上增，且

X

x2>l>x1>Q

X22%jx1

即解之得0<』Wln2

x22%i再2%

・•.L里=3,故a上之2

再In2In2石In2

综上得：实数a的取值范围是—

In2)

3.【答案】［—3,+oo)

■Ev„,八12ax2-2x+1

【解析】f(zx)x=2ax-2+—=-----------------

XX

不难得出：OVQ<1,Xj+x=—>0,xx=—>0

2ar22a

/(%1)+/(%)=---ln2a-l(下略).

2a

4.【答案】(-a),-3］

【解析】f\x)=2/9+2(X>0),

X

若/(%)有两个极值点不，％2,则不，％2是方程212-改+2=。的两个不等正实根,

易知。>4.则％1+%2=W>2,玉%2=1，故。<玉

要使/(%)>〃加恒成立，只需加恒成立.

x2

因为四2=.-啊+21哼=x；-2x；12+21哼=十项，

x2x2

石

令h(t)=-t3-2t+2t\nt(0<^<1),则hr(t)=一3产+21n5,

当Ovtvl时，W)<0,为⑺为减函数,所以用⑺>"(1)=一3.

由题意，要使/(%,)>如；2恒成立，只需满足mW-3.

所以实数m的取值范围(-00,-3］.

5.【答案】或。=—2

e-2

【解析】因为所以/(x)的定义域为(0,+°°),f'(x)=~+2ax+b9

因为函数“x)=lnx+a^+bx在x=1处取得极值，

所以/(1)=1+2〃+。=0,b=~2a~\

2加一2〃+1%+12ax-lx-1

f(x)=---------------=---------(x>0),

令/(X)=O，得制=1,X2=*,

因为y(x)在x=i处取得极值，所以尤2=方须=1.

①当。<0,即£<0时，八劝在(0』)上单调递增，在(1,e］上单调递减，

所以1x)在区间(0,e］上的最大值为式1),令11)=1,解得。=—2.

②当°>0,即X2=^>0时，

若亡<1,危)在(0,/［1，e］上单调递增，在氐，1)上单调递减，所以最大值可能

在x=4或x=e处取得，而也)=1弓+七)2_3+1%=心-表-1<0,

令7(e)=lne+ae?—(2a+l)e=l,解得

若於)在区间(0,1),七，e上单调递增，在［1,为上单调递减，

所以最大值可能在x=l或x=e处取得，

而/U)=lnl+a—(2a+l)<0,

令/(e)=lne+ae2—(