广东深圳某中学2025届高三年级上册第一次诊断测试数学试题+答案

深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试

、、九

数学

（本试卷共3页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。）2024.10

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.已知集合。={-2,-1,0,1,2,3},A={1,2},B={-1,0,1},则1（AU3）=（）

A.{-2,3}B.{-2,2,3}

C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}

2.e1,是平面内不共线两向量，已知48=,-左02，CB=2ex+e2,CD=3e1-e2,若A,B,D三

点共线，则上的值是（）

A.-2B.2C.-3D.3

S(~y

3.若a是第三象限角，且sin(a+/?)cos/?-cos(a+/?)sin〃=一百，则tan,的值为()

4.已知函数的定义域为[―2,2],则函数=的定义域为（）

A.[-1,3]B.[-3,1]C.[-l,0）U（0,3]D.[-3,0）U（0,1]

5.已知函数=一〃九一3+4）在[1,+co）上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（—oo,—1]B.（—oo,—1）C.（—oo,2]D.（2,+oo）

6.已知平面向量弓和弓满足同=2同=2,弓在[上的投影向量为则[在口上的投影向量为

（）

1-11--

A.—e,B.—C.—D.-e、

222422

7.已知关于x不等式』-2）（以+"»0的解集为（―叫—2]U（1,2],贝卜）

A.c=2

B.点（。,。）在第二象限

C.y=ax?+历:一2a的最大值为3。

D.关于x的不等式。好+以一》20的解集为[—2,1]

8.已知。〉0,不，%分别是函数〃x)=xex—a与g(x)=—U廿—a的零点，则一^的最大值为

()

248

A.2B.——C.—-D.——

eee

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,下列结论一定成立的有().

A.sin(A+B)=sinC

B.若A>B,则sinA>sinB

C.若aABC为锐角三角形，则siYA+siYBvsiYc

D.若上彳则△ABC是等边三角形

AnC

COS——cos——cos——

222

10.已知复数Z1,z2,下列说法正确的是()

A.Zj+z2=Zj+z2B.若Z1-z2>0,贝。Z1〉z2

C.|z1-z2|=|z1|-|z2|D.若z；<0,则Z］为纯虚数

11.若定义在R上的函数g(x)满足++—x)=0,〃x+3)+g(x)=2,

〃x)+g(l-x)=2,则下列结论中正确的是()

A.〃x)是偶函数B.g(x)是周期为4的周期函数

20

C./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0D.25)=30

n=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数/'(x)=ar+i—2(。〉0且。Hl)恒过定点尸，则点P的坐标为.

13.若曲线y=e'+"过坐标原点的切线与圆(x—iy+(y+l)2=2相切，则实数。=.

14.已知3〃=2+3",则2a—6的最小值为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.设函数〃x)=V^sin2x+cos2x,xeR.

(1)求函数/(x)的最小正周期及对称轴方程;

⑵若/⑻=|,求cos11—的值.

16.设/(x)是定义在R上的奇函数，且当x〉0时，/(x)=4v+5\

(1)求函数/(x)在R上的解析式；

(2)解关于尤的不等式/(x)〉2x3、.

17.已知函数/(x)=e"-2ax,aeR.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若对于任意的x>0,都有恒成立，求°的取值范围.

18.已知在△ABC中，满足asirLB-G6cosBcosC=Gccos23(其中a,b,c分别是角A,B,C的对

边).

(1)求角B的大小；

(2)若角2的平分线8。长为1,且。c=2,求△ABC外接圆的面积；

(3)若△ABC为锐角三角形，c=l,求a+匕的取值范围.

19.已知函数/(%)=1皿+旦—l(aeR),且x轴是曲线y=/(x)的切线.

(1)求八％)的最小值；

(2)证明：--——I——-——I----F—<ln2(neN；

n+1n+2In')

(3)设厂(x)u5—lnx-时[1)加>2),/(1)二/(〃)(〃〉1),证明：对任意元£(1,〃],

(m-l)lnx>x-1.

深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试答案

1-8ABADBCDC

9-11ABDACDABC

12-14(1,-1)-1310g32

【详解】

8.由题意可知XR国一a=—四一a=0,则再1|=—生”=。，

11\1]In—1n_v

即天炉=—In—=In—e迎，又％〉0,——-=t?>0

九2%2l尤2J元2

所以一In%2〉。，则以2>>0.设/z(x)=〉0),则/z'(x)=(l+x)e"〉0,

所以力(%)在(0,+oo)上单调递增，所以玉=ln‘，则e』=’，所以％^二1，

2,_2

设9(x)=：(x〉0),则d(x)=%/，

ee

当0<x<2时，e'(x)〉0,当x〉2时，d(x)<0,

所以°(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

4V24

则9(x)=9⑵=三，所以的最大值为之.故选：c.

—max八)e2/ee2

11.因为/(x)+g(l—x)=2,所以/(l-x)+g(x)=2.

又因为〃x+3)+g(x)=2,所以/(x+3)=/(1-x).

又/(l+x)+/(l-x)=0,则/(l+x)+/(x+3)=0,

即〃x+2)=—〃x),所以〃x+4)=〃x),故/(x)是周期为4的周期函数.

因为〃x+3)+g(x)=2,所以g(x)也是周期为4的周期函数，选项B正确；

因为++—x)=0,则〃x+2)=—〃一x),则—"x)=—/(—x),

所以〃T)=/(X)，所以/(x)为偶函数，选项A正确；

因为〃x+2)=_〃x),令x=l,得〃3)=_〃1),即/⑴+〃3)=0,

令x=2,得/(4)=一/(2),即/(2)+/(4)=0,

故/0)+/(2)+/(3)+/(4)=0,选项C正确；

由g(x)=2-/(x+3),

得g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=[2—〃4)]+[2—〃5)]+[2一/⑹]+[2—〃7)]

20

所以Z?(")=5x[g⑴+g(2)+g⑶+g(4)]=40,选项D错误.

n=l

故选：ABC.

14.法一：令1=3"=2+3”,t>2,则〃=log3%,b=logs(1—2),

2a-b=210g3%-log3«-2)=log3

：.m=~,t>2,贝―2)+4«―2)+4=2)+4+422“/_2)><±+4=8,

t-2t-2')t-2V)t-2

4

当且仅当/—2=——，即/=4时等号成立，

t-2

t2

log3---->log38，即2a->log38=310g32.

t—2

法二：32fl=4+32Z?+4x3\所以32"一"=4x3-"+3”+428,

因此2〃-b=3k)g32.

jrKT?4

15.(1)T=n,/(x)的对称轴％=—+—,keZ(2)-

625

【详解】(1)/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin^2x+^,则/(x)的最小正周期T=/=兀，

2x+^=^+kn,左eZ,解得》=6+当，左eZ,即/(x)的对称轴x=^+当，keZ.

(2)/(^)=2sin|2^+-|=-,解得si[26+工]=±

.吟4

cos[^--2^1=cosT=sm20+—=—

I6j5

4Y+5\x>0

16.(1)/(x)=<0,x=0(2)(0,+oo)

-(4-x+5一)％<0

【详解】(1)当x〉0时，f(x)=4x+5x,

当x<0时，-x〉0,所以/(-x)=+5-*,

因为〃x)是定义在R上的奇函数，所以/(-x)=-/(x)，

当x=0时，有/(—o)=-/(o),从而/(0)=0,

4'+5A,x>0

所以/(x)=<0,x=0.

-(4-'+5"r),x<0

(2)由(1)知，当x<0时，因为4-*〉0,5-*〉0,所以一(47+5-工)<0,

当x=0,/(0)=0,所以当xWO时，/(x)<0,

而当xKO时，2'3工〉0,所以不等式〃x)〉2x33在(—oo,0］上无解；

当x〉0时，不等式〃》)〉2*33为4'+5'〉2*3,所以(8>2.

记函数g(尤)=%>0,

因为g,|e(l,+oo),所以函数y=7=均为R上的单调增函数,

所以函数g(x)=[£|+[]为R上的单调增函数.

又8(。)=0"+图°=1+1=2,

所以当x〉0时，不等式[g[〉2的解集为(O,+s).

从而关于x的不等式/(x)>2x33的解集为(O,+s).

17.(1)当。W0时，/(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间；

当a〉0时，/(x)的单调递减区间为1―oo,glna],单调递增区间为[glna,+oo

(2)ae(-℃,1]

【详解】(1)对/(x)=e2「2ax求导，可得尸(x)=Ze?，-2a,

令r(x)=0,即Ze?"2a=0,即e2一。，

当〃<0时，/'(x)〉0恒成立，/(%)在R上单调递增；

当。〉0时，e2r=a,2x=Ina,x=—lna,

2

当无<；lnq时，/r(x)<0,/(x)在1—8,glna］上单调递减；

当x〉fna时，/'(x)>0，/(x)在］glnQ,+oo］上单调递增；

综上，当。<0时，/(%)的单调递增区间为R,无单调递减区间；

当a〉0时，/(x)的单调递减区间为1—00,gin］,单调递增区间为［glna,+oo；

(2)因为对于任意的x〉0,都有恒成立，

对/(x)=e2x—2ox求导，可得/'(x)=2e2、—2a,

/'(x)=0,即Ze?*—2a=0,即e?”'。，

①当oKO时，/(x)〉0,则在(0,+⑹单调递增，/(%)>/(0)=1,符合题意;

②当0<。41时，e2'=a,则x=，lnaV0,

2

则/(x)〉0，/(X)在(o,+8)单调递增，/(%)>/(o)=l,符合题意;

③当。〉1时，e2'=a,则》=！111<7〉0,

2

当xe〔O,glna1时，/'(x)<0,贝U/(x)在［o,glna］单调递减，

当xe1；lna,+co］时，/'(x)〉0,则/(x)在［glna,+oo］单调递增，

所以/(x)2=e!nfl-2tz=a-a\na,

令g(a)=a-olna,a>l,则g'(a)=-Ina<0,

所以g(a)在(1,+⑹上单调递减，所以g(a)<g⑴=1,不合题意；

综上所述，ae(-℃,1］.

n

18.(1)-(2)2兀(3)

3

【详解】(1)因为asinB-GbcosBcosC=J^ccos^B,

由正弦定理得sinAsinB-V3sinBcosBcosC=V3sinCcos2Bn

sinAsinB=V3sinCcos25+V3sinBcosBcosC

=V3cosB(sinCcosB+sinBcosC)=V3cosBsin(B+C),

所以sinAsinB=V3sinAcosB,又sinA>0,

即tanB=百，且3e(0,兀)，即3=]

1

(2)由等面积法：gxax忸D|xsin30。+—xcx\BD\ksin30°=—xtzxcxsin60°,

22

即一(a+c)=——etc,即a+c=yfSac=2-\/3,

4、74

由余弦定理得，〃=+,2_2accosB=/+，=(〃+c)2-3ac

(2南-3x2=6,则人屈

设ABC外接圆半径为R,则2R=—也=*=2后，R=6,

sinBV3

2

则ABC外接圆的面积为HR?=27t.

0<C<-0<C<-

2

(3)由ABC为锐角三角形可得《2=,得乌<C<4,

C4兀_2)1_7162

0<A<—0<-----C<—

232

皿7sinAsinB21V31+cosC1V3

则〃+6=c------+c------—I---------=--1------

sinCsinCsinC22sinC22tan£

2

।兀-7T/071C71

由一<c<一,得一

621224

7171

tan—tan

兀7171

又tan—=tan3生=2-6

3-4,Tl71

121+tan—tan一

34

所以2—6<tanC<l,

2

则且!!<a+b<6+2.

2

19.(1)/(x)的最小值为/(1)=0(2)(3)证明如下

【详解】(1)由/(》)=1皿+q—l(aeR)得/'(x)=L—鸟，

XXX

因切线方程为y=0,令/'(x)=工—==0,得x=o,故可知切点为(a,0),

XX

所以/(〃)=lna+@-1=0,得a=l,

a

故y(x)=ln%+，—1,/f(x)=---\=

XXXX

当xe(0,1)时，/,(x)<0,/(x)在区间(0,1)上单调递减，

当xe(l,+s)时，/(x)〉0，〃x)在区间(L+oo)上单调递增，

故/(x)的最小值为/(1)=0,

1Y-1丫

(2)由(1)可知/(x)=ln%H-----1>0,故InxN------,故ln(%+l)2------,

x=~,neN*,则+=^—,即,即ln(〃+1)—In“2

n\n)，+]〃+1